2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第28讲：复数(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第28讲：复数(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)，共27页。学案主要包含了新高考课标要求，知识梳理，课前自测，真题体验，针对训练，解题策略，考点三：复数的运算等内容，欢迎下载使用。
1. 理解复数基本概念：需透彻认识复数的定义，明晰形如（）的数即为复数，其中是实部、是虚部，且为虚数单位，满足。这要求学生能精准辨别复数的实部与虚部，理解纯虚数（且）、实数（）等特殊复数类型的概念差异。比如面对复数，能迅速指出实部是，虚部是；看到，知道它是纯虚数，实部为 。
2. 掌握复数相等条件：要深刻理解复数相等的充要条件，即当且仅当且（）。在解题中，若遇到等式，学生应能依据该条件列出方程组求解。这一知识点常与方程、函数等知识结合，考查学生的综合运用能力。
3. 明晰复数代数表示与几何意义：一方面，要熟悉复数的代数表示法，能够熟练进行复数的代数形式书写与转换；另一方面，要理解复数的几何意义，知晓复数与复平面内的点以及平面向量存在一一对应关系。例如，复数在复平面内对应的点为，对应的向量从原点出发，终点坐标为 。这有助于学生从几何直观角度理解复数运算，如复数的加法对应向量的加法，在复平面上体现为向量的平移。
4. 熟练进行复数代数形式四则运算：涵盖复数的加、减、乘、除运算。加法和减法运算遵循实部与实部相加减、虚部与虚部相加减的规则，即 。乘法运算类比多项式乘法，但要注意的运用，如 。除法运算则需将分母实数化，通过乘以分母的共轭复数来实现，如（） 。学生需通过大量练习，提升运算的准确性与速度。
5. 了解复数加、减运算几何意义：复数加法的几何意义是，两个复数相加对应复平面内相应向量的加法，其和对应的向量是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（从共同起点出发）；复数减法的几何意义是，两个复数相减对应复平面内相应向量的减法，差对应的向量是从减数向量的终点指向被减数向量的终点。例如，已知复数，，在复平面内，对应的向量可由与通过平行四边形法则得到，对应的向量则是从指向 。
【知识梳理】
一、复数核心知识梳理（紧扣高考高频考点）
1. 复数的基本概念（高考基础送分点）
定义：形如（）的数称为复数，其中为虚数单位，满足。
实部：（必须为实数，不可含）；
虚部：（同样为实数，是虚数单位的系数，不含）。
分类：
实数：（如，可表示为）；
纯虚数：且（如，不可忽略的条件）；
非纯虚数的虚数：且（如）。
2. 复数的相等与共轭（高考常考方程求解）
相等条件：对任意复数，（），且。
核心应用：通过实部、虚部分离列方程组，求解复数中的参数（如已知，得，解得，）。
共轭复数：设，则其共轭复数为（实部不变，虚部变号）。
几何特征：复平面内，与对应的点关于实轴对称；
运算性质：（实数），（纯虚数或零），（高考高频，常用于分母实数化或求模长）。
3. 复数的几何意义（高考多选题常考）
一一对应关系：
复数 复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴，原点对应复数）；
复数 平面向量（为原点）。
模长的几何意义：
复数的模，表示复平面内点到原点的距离，或向量的长度；
两点距离：复平面内两点，对应的复数分别为，，则（高考常结合圆、线段等几何图形考查）。
4. 复数的四则运算（高考必考运算题）
加法：（实部相加，虚部相加）；
减法：（实部相减，虚部相减）；
乘法：类比多项式乘法，结合化简：
特殊公式：（共轭复数乘积，即模长平方），（高考高频，需熟记）；
除法：核心是分母实数化，乘以分母的共轭复数：
5. 复数加减运算的几何意义（高考偶尔结合向量考查）
加法：复平面内，对应的向量为，遵循平行四边形法则（以，为邻边，对角线即为和向量）；
减法：复平面内，对应的向量为（从对应点指向对应点的向量）。
二、常用结论（高考真题高频调用）
1. 虚数单位的幂次循环：，，，，周期为，即（，）。
示例：，（高考常考指数化简）。
2. 常见复数运算结果：
（分子分母同乘，得）；
（分母实数化：）；
（同理推导，与上式互为相反数）。
3. 模长的运算性质：对任意复数，，有：
；
（）；
（）。
4. 共轭复数的运算性质：，，（）。
三、微点提醒（高考易错点规避）
1. 虚部的概念误区：复数的虚部是（实数），而非。例如，的虚部是，不是（高考选择题常设置此陷阱）。
2. 纯虚数的条件遗漏：判断纯虚数时，需同时满足“实部为”且“虚部不为”。例如，为纯虚数，需，解得，不可仅由得（模拟题高频易错点）。
3. 复平面与直角坐标系的区别：复平面的纵轴是虚轴，单位为，对应复数的虚部；直角坐标系的纵轴是轴，单位为，二者不可混淆。例如，复数对应复平面内的点，而非直角坐标系中的向量。
4. 除法运算的分母不为零：进行复数除法时，需先判断分母是否为零（即分母的实部、虚部不同时为零）。例如，无意义，因分母对应的复数不能作为除数。
5. 模长的非负性：复数的模长是实数且非负，计算时需注意根号下的表达式为平方和（恒正），例如，不可遗漏负号的平方。
【课前自测】【真题体验】
一、单选题
1．（2023·全国甲卷·高考真题）（ ）
A．B．1C．D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）（ ）
A．1B．2C．D．5
4．（2007·陕西·高考真题）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
6．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．4D．8
二、填空题
7．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ．
8．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
9．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ．
10．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：复数的相关概念】
【例题】1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【针对训练】3．（2025·全国·模拟预测）若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A．的实部是
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称
4．（2025·海南·模拟预测）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为4
C．若复数z满足，则的最大值为2
D．若是关于x的方程的一个根，则
5．（2025·河北·模拟预测）复数满足：，则（ ）
A．B．6C．D．
【解题策略】
一、复数基本概念（实部、虚部、分类）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：识别实部与虚部
解题步骤：① 明确复数标准形式（），若复数非标准形式（如含、分母含），先化简为；② 直接提取实部（不含的实数部分）、虚部（的系数，且为实数）。
适配场景：题目直接要求求复数的实部/虚部，或结合实部、虚部求参数（如“已知的实部为，求”）。
考点2：复数分类（实数、纯虚数、虚数）
解题步骤：① 先将复数化为标准形式（）；② 按分类条件判断：
实数：满足；
纯虚数：满足且（需同时满足两个条件，缺一不可）；
虚数：满足（包含纯虚数与非纯虚数的虚数）。
适配场景：题目明确要求判断复数类型，或已知复数类型求参数（如“已知为纯虚数，求”）。
2. 避错关键
虚部不可带：如的虚部是，而非；
纯虚数需“双条件”：不可仅由“实部为”判定为纯虚数，需额外验证“虚部不为”，避免漏解或错解参数。
二、复数相等与共轭复数解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数相等
解题步骤：① 确保两个复数均化为标准形式、（）；② 根据“实部相等且虚部相等”列方程组；③ 解方程组求参数或验证相等关系。
适配场景：题目给出复数相等的等式，求其中的参数（如“，求”），或证明两个复数相等。
考点2：共轭复数
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接得共轭复数（实部不变，虚部变号）；② 若复数非标准形式，先化简为，再求共轭；③ 利用共轭复数性质解题：（实数）、（纯虚数或零）、（模长平方）。
适配场景：题目要求求共轭复数，或结合共轭复数性质求模长、数量关系（如“已知，求”）。
2. 避错关键
复数相等的“前提条件”：必须保证两个复数的实部、虚部均为实数，否则不可直接用“实部、虚部分别相等”；
共轭复数的“符号变化”：仅虚部变号，实部不变，避免将误写为或。
三、复数几何意义（点、向量、模长）解题思路
1. 核心考点与解题步骤
考点1：复数与点、向量的对应关系
解题步骤：① 明确对应规则：复数对应复平面内点，对应向量（为原点）；② 若已知复数，直接写出对应点坐标或向量坐标；③ 若已知点或向量，反向写出对应复数（点对应，向量对应）。
适配场景：题目要求指出复数对应复平面内的点或向量，或由点/向量求复数（如“求复平面内点对应的复数”）。
考点2：复数模长的计算与几何意义
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接用公式计算；② 若复数为非标准形式（如），先化简为，或利用模长性质（，、）；③ 结合几何意义：表示点到原点的距离，表示点到的距离，辅助分析几何图形（如圆、线段）。
适配场景：题目要求求复数模长，或结合模长的几何意义求最值、判断轨迹（如“求表示的图形”）。
2. 避错关键
复平面与直角坐标系的“区别”：复平面纵轴为虚轴，对应复数虚部，不可将点误理解为直角坐标系中“，”；
模长的“非负性”：是实数且非负，计算时需注意根号下为平方和（恒正），避免遗漏负号的平方（如）。
四、通用解题流程（适用于所有复数概念题）
1. 化简优先：无论何种题型，先将复数化为标准形式（），避免非标准形式导致的概念混淆；
2. 定位考点：根据题目要求，判断考查“基本概念”“复数相等/共轭”还是“几何意义”，匹配对应解题步骤；
3. 列关系/用性质：结合考点列方程（如复数相等列方程组）、用公式（如模长公式、共轭性质），确保每一步紧扣概念本质；
4. 验证检查：解题后验证结果是否符合概念要求（如纯虚数需验证虚部不为，模长需验证非负），规避常见易错点。
【考点二：复数的几何意义】
【例题】1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（ ）
A．复数的共轭复数
B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足，则的最小值为2
D．若，且，则
【针对训练】1．（2025·山东·三模）已知i是虚数单位，若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17B．C．13D．
3．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
【解题策略】
一、复数与复平面内点、向量的对应关系（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：由复数确定点/向量
解题步骤：① 确保复数化为标准形式（），若为非标准形式（如含、分母含），先化简（如）；② 依据对应规则：复数对应复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴），对应从原点出发的向量；③ 直接写出点的坐标或向量的坐标，无需额外运算。
适配场景：题目要求指出复数在复平面内对应的点的位置（如象限、坐标轴），或写出对应向量（如“求复数对应复平面内的点及向量”）。
考点2：由点/向量确定复数
解题步骤：① 明确已知条件类型：若已知复平面内点，直接对应复数；若已知向量（为原点），同样对应复数；② 若向量起点非原点（如，、），先计算向量坐标，再对应复数。
适配场景：题目给出复平面内点的坐标或向量坐标，求对应复数（如“复平面内点对应什么复数”“向量对应什么复数”）。
2. 避错关键
区分“复平面与直角坐标系”：复平面纵轴是虚轴，仅对应复数的虚部，不可将点误写为“”，也不可将向量坐标中的带；
非原点向量的转化：若向量起点不是原点，需先计算向量的坐标（终点坐标减起点坐标），再对应复数，避免直接用起点或终点坐标对应复数。
二、复数模长的几何意义（高考重难点考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：模长的基本计算（点到原点的距离）
解题步骤：① 若复数为标准形式，直接代入模长公式计算（根号下为实部、虚部的平方和，恒非负）；② 若复数为非标准形式（如），先化简为（如），再代入公式；③ 若复数与共轭相关（如），可利用性质简化计算（如，，则）。
适配场景：题目直接要求求复数的模长（如“求”），或结合复数运算求模长（如“求”）。
考点2：模长的几何应用（两点间距离与轨迹问题）
解题步骤：① 两点间距离：若复数、对应复平面内点、，则，即两点间的距离；② 轨迹判断：根据模长表达式的结构确定轨迹：
（，为定复数）：表示以对应点为圆心、为半径的圆；
（为定复数）：表示线段的垂直平分线；
（）：表示以为焦点的椭圆。
适配场景：题目要求求复平面内两点间的距离（如“求与对应点的距离”），或判断模长表达式表示的几何图形（如“判断表示的图形”）。
考点3：模长的最值问题
解题步骤：① 几何法（优先用）：将复数模长转化为复平面内的距离，结合图形求最值（如求的最小值，即求点到点的最小距离，若在某定图形上，如线段、圆，则结合图形性质找最近点）；② 代数法：设（），将模长表达式化为关于的函数（如），结合约束条件（如）求函数最值。
适配场景：题目要求求模长的最值（如“已知满足，求的最大值”），常结合圆、线段、椭圆等图形考查。
2. 避错关键
模长公式的“平方和”：不可将误写为或，计算时需注意实部、虚部的正负（平方后均为正）；
轨迹条件的“限制”：判断椭圆轨迹时，需满足“”，若，则表示线段，不可直接判定为椭圆；
最值求解的“几何优先”：代数法计算较繁琐，且易因计算错误出错，优先用几何法转化为距离问题，结合图形直观求解。
三、复数加减运算的几何意义（高考低频但易漏考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：加法的几何意义（平行四边形法则）
解题步骤：① 确定两个复数、对应向量、；② 以、为邻边作平行四边形，从原点出发的对角线对应的向量即为，对应复数；③ 若需验证，可通过向量加法坐标运算或复数加法运算核对。
适配场景：题目要求结合平行四边形法则求两复数的和（如“已知、，用几何方法求”）。
考点2：减法的几何意义（三角形法则）
解题步骤：① 确定复数、对应向量、；② 复数减法对应向量减法，即从对应点指向对应点的向量，对应复数；③ 可通过两点间距离公式验证。
适配场景：题目要求结合向量减法求复数差（如“已知、，用几何方法求”），或解释复数差的几何意义。
2. 避错关键
加法的“平行四边形起点”：两向量需从同一原点出发，才能构成平行四边形的邻边，不可用非共起点的向量直接叠加；
减法的“向量方向”：对应向量是“从指向”，而非“从指向”，避免方向混淆导致复数符号错误。
四、通用解题流程（适用于复数几何意义题型）
1. 化简先行：无论何种题型，先将涉及的复数化为标准形式（），为后续对应点、向量或计算模长奠定基础；
2. 几何转化：将复数问题转化为几何问题——复数对应点/向量，模长对应距离，模长表达式对应轨迹，明确几何模型（如点、线段、圆、椭圆）；
3. 选法求解：基础计算用公式（如模长公式），轨迹与最值问题优先用几何法（结合图形性质），复杂约束条件下用代数法（设坐标转化为函数）；
4. 验证回归：解题后将几何结果回归到复数问题（如轨迹图形对应模长表达式，距离最值对应模长最值），验证是否符合题目要求，规避几何与复数的转化错误。
【考点三：复数的运算】
【例题】1．（2025·全国·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（ ）
A．B．2C．D．4
【针对训练】1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知复数，则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解题策略】
一、复数的加法运算（高考基础送分点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式加法
解题步骤：① 确保两个复数均为标准形式、（），若含非标准项（如），先化简（如）；② 按“实部相加，虚部相加”规则计算：；③ 结果保留形式，若虚部为，可直接表示为实数（如）。
适配场景：题目直接考查复数加法，或结合向量加法（复平面几何意义）考查，多为基础计算题（如“计算”）。
2. 避错关键
避免“实虚部混淆”：不可将实部与虚部交叉相加（如）；
化简非标准项：计算前需先处理、分母含等非标准形式，确保复数为后再运算，避免直接相加导致错误。
二、复数的减法运算（高考基础高频考点）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式减法
解题步骤：① 同加法，先将复数化为标准形式、；② 按“实部相减，虚部相减”规则计算：；③ 注意负号分配，若虚部为负，相减后变为正（如）。
适配场景：题目直接考查复数减法，或结合复平面内两点间距离（）考查，如“计算”，或先算减法再求模长。
2. 避错关键
负号分配完整：减去一个复数等于加上其相反数，即，避免漏改实部或虚部的符号（如）；
结果符号检查：计算后核对虚部符号，确保负号未遗漏（如若为负，虚部直接保留负号）。
三、复数的乘法运算（高考核心考点，多结合公式考查）
1. 核心考点与解题步骤
考点1：代数形式乘法（多项式乘法类比）
解题步骤：① 将复数视为多项式（为字母），按多项式乘法展开：；② 利用化简含的项：；③ 合并实部与虚部：实部为，虚部为，最终结果为。
适配场景：基础乘法计算（如“计算”），或结合共轭复数乘法（）考查。
考点2：特殊乘法公式（高频应用）
解题步骤：熟记高频特殊公式，直接代入计算以简化运算：① 平方公式：，尤其、；② 共轭乘法：（结果为实数，常用于分母实数化或求模长）；③ 立方公式（低频）：，可按多项式展开后化简。
适配场景：题目含平方、共轭乘法结构，如“计算”“计算”，用特殊公式可快速得出结果。
2. 避错关键
化简不遗漏：展开后必须将化为，不可保留（如）；
特殊公式记准确：避免混淆与，或共轭乘法符号错误（如）。
四、复数的除法运算（高考重难点，多为压轴基础题）
1. 核心考点与解题步骤
考点：代数形式除法（分母实数化）
解题步骤：① 确保被除数、除数均为标准形式，除数不为（即除数实部、虚部不同时为）；② 核心操作“分母实数化”：分子分母同乘除数的共轭复数（除数的共轭为），使分母变为实数：
③ 拆分结果：实部为，虚部为，整理为（）形式，若分子为，结果为（如）。
适配场景：题目直接考查除法（如“计算”），或结合其他运算（先乘后除、先加减后除）考查，是高考复数运算的高频压轴基础题。
考点：特殊除法结果（熟记简化计算）
解题步骤：熟记常见特殊除法结果，直接调用：① （分子分母同乘，得）；② （分母实数化后得）；③ （同理推导）。
适配场景：题目含上述特殊结构，如“计算”“计算”，用熟记结果可大幅节省时间。
2. 避错关键
共轭复数符号正确：除数为时，共轭复数为（仅虚部变号），不可将实部变号（如）；
分子展开完整：分子乘共轭复数时，按多项式乘法完整展开，避免漏项（如）；
分母计算准确：分母（平方和），不可误算为。
五、复数混合运算（高考综合考点，多为多步运算）
1. 核心考点与解题步骤
考点：加、减、乘、除混合运算
解题步骤：① 遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，有括号先算括号内；② 每一步运算均按对应规则进行（乘除先化简，加减后合并）；③ 优先使用特殊公式（如共轭乘法、平方公式）简化中间步骤，避免复杂展开。
示例流程：计算：
第一步：先算分子乘法：；
第二步：算除法：；
第三步：算加法：。
适配场景：高考复数综合题，如“计算”，多为多步运算，考查运算准确性与技巧性。
2. 避错关键
运算顺序不颠倒：不可先算加减后算乘除，有括号需优先计算括号内内容；
分步验证：每一步运算后单独验证结果（如乘法后检查化简是否正确，除法后检查分母是否为实数），避免一步错导致后续全错；
结果形式规范：最终结果需化为最简形式，分数实部、虚部需化为最简分数（如），不可保留复杂分式。
六、通用解题流程（适用于所有复数运算题型）
1. 化简标准形式：无论单一运算还是混合运算，先将所有复数化为（）的标准形式，处理、分母含等非标准项；
2. 确定运算顺序：单一运算直接按规则计算，混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”；
3. 优先使用技巧：乘除运算优先用共轭复数、特殊公式（如）简化，减少计算量；
4. 分步验证结果：每一步运算后检查符号、化简、实虚部分类是否正确，避免积累错误；
5. 规范结果形式：最终结果整理为形式，实部、虚部为实数（可含分数），虚部为时直接表示为实数。
课后针对训练
一、单选题
1．（2025·全国·模拟预测）若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2025·全国·模拟预测）复数的模为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（24-25高二下·浙江舟山·期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．8B．C．2D．
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知复数，则|z|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2025·湖南长沙·三模）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2025·海南·模拟预测）已知为虚数单位，若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．6
9．（2025·安徽芜湖·模拟预测）复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·全国·模拟预测）复数的实部为（ ）
A．1B．C．0D．i
11．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
12．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
B．若，则点的集合所构成的图形的面积为
C．若，则的模为7
D．若是关于的方程的一个根，则
13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则
B．若复数z为纯虚数，则
C．当时，
D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
三、填空题
16．（2023·北京·三模）设是纯虚数，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则