2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第22讲：等差数列及其前N项和(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第22讲：等差数列及其前N项和(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了新高考课程标准要求，知识梳理，课前自测，针对训练，解题策略等内容，欢迎下载使用。
1. 理解等差数列的概念和通项公式的意义：明确等差数列是从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，掌握其通项公式，并能运用通项公式解决相关问题，理解通项公式中各参数的含义及作用。
2. 掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系：熟练掌握等差数列前项和公式，明白通项公式与前项和公式都与首项、公差有关，可通过已知条件建立方程或方程组，求解相关量。
3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题：能够从实际问题或数学问题情境中，识别出等差数列模型，将问题转化为等差数列的相关问题，如求通项、求前项和等，进而利用等差数列的知识进行求解，体现数学建模和数学应用的能力。
4. 体会等差数列与一元一次函数的关系：了解等差数列的通项公式是关于的一次函数（时）或常数函数（时），前项和公式是关于的二次函数（时），利用函数的性质来分析等差数列的单调性、最值等问题。
【知识梳理】
一、知识梳理
1. 核心概念
等差数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数（记为公差），即（，为常数）。
等差中项：若，，成等差数列，则，且。
2. 关键公式
3. 性质关联
函数属性：
通项：当时，是关于的一次函数，图像为直线上的孤立点，斜率为；当时，为常数列。
前项和：当时，是关于的二次函数，图像为抛物线（或其一部分）上的孤立点，且无常数项；当时，，为关于的一次函数。
项的对称性：若（），则；特别地，当时，。
二、常用结论
1. 前项和的衍生结论：
若等差数列的前项和为，则（利用，结合推导）。
前项和的比值：若与均为等差数列，前项和分别为与，则。
2. 项数与和的关系：
等差数列中，连续项的和仍成等差数列，即，，，…成等差数列，公差为。
若等差数列共有项，则，；若共有项，则，（、分别为奇数项和、偶数项和）。
3. 单调性与最值：
当时，数列单调递增，有最小值（可通过且求最小值对应的项数）；当时，数列单调递减，有最大值（可通过且求最大值对应的项数）。
三、微点提醒
1. 定义理解误区：判断数列是否为等差数列时，需验证“从第2项起，每一项与前一项的差为常数”，不可仅验证前几项；若仅说“”，需补充，否则定义域不完整。
2. 公式使用细节：
运用通项公式时，注意和的取值范围（均为正整数），避免因下标错误导致计算失误。
前项和公式中，是第项，不可与“项数”混淆；当时，数列是常数列，，此时不可用二次函数性质分析最值（无最值，除常数本身）。
3. 性质适用条件：“若，则”的逆命题不成立，即若，不一定有（如常数列中，任意两项和相等，但下标和可不同）。
4. 与函数结合的注意点：
通项公式对应的一次函数，其定义域是正整数集（而非全体实数），因此图像是孤立点，而非连续直线。
前项和对应的二次函数，若无常数项，但其最值对应的需为正整数，若计算出的为非整数，需取其附近的正整数代入计算实际最值（如，则需比较和时的）。
【课前自测】
一、单选题
1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（ ）
A．9或10B．8C．9D．10或11
2．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A．35B．40C．45D．50
3．（24-25高二下·陕西榆林·期末）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．43B．44C．87D．88
4．（24-25高二下·广东韶关·期末）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，最大D．使的n的最大值为13
三、填空题
6．（2025高三·全国·专题练习）把数列与的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列，则数列的前202项和为 .
7．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
四、解答题
8．（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前项和．已知，且为等差数列．求证：数列为等差数列．
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：等差数列基本量的运算】
【例题】1．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2025高三·全国·专题练习）已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列，的各项均不为0，记的公差为d，前n项和为，且．
(1)若，求k；
(2)记的前n项和为，若，且，求d的取值范围．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【解题策略】
一、核心解题步骤
1. 梳理条件与目标：明确题干给出的已知信息（如特定项的值、前项和、项数关系等），确定需求解的量（如某一项、前项和、项数、公差等）。
2. 选择关联公式：优先选用与、直接关联的核心公式，避免复杂推导：
通项公式：（连接“项”与基本量）；
前项和公式：（连接“和”与基本量）。
3. 建立方程（组）：根据独立条件的数量列方程：
1个独立条件：列1个关于和的一元方程（需结合其他隐含条件，如项数）；
2个独立条件：列二元一次方程组（因2个基本量需2个方程确定，可直接解出和）。
4. 求解与验证：解出和后，代入目标公式计算结果；必要时验证结果是否符合隐含条件（如项数为正整数、公差符号与数列单调性一致等）。
【考点二：等差数列的判定与证明】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，．证明：数列为等差数列；
【针对训练】3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，.
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
4．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的前n项和为，且满足.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的通项公式.
【解题策略】
等差数列的判定与证明的解题策略
等差数列的判定与证明核心是紧扣定义或等价条件，通过代数推导验证数列是否满足“从第二项起，每一项与前一项的差为常数”，避免仅通过有限项规律（如前3项差相等）直接判定。
一、核心判定依据（4类关键方法）
判定或证明数列为等差数列，需从以下方法中选择，优先用定义法或等差中项法，具体如下：
二、通用解题步骤
1. 明确已知条件：梳理题干给出的信息（如递推式、通项、前项和、特定项关系等），确定可调用的判定方法。
2. 选择判定方法：
若给递推关系（如的表达式），优先用定义法；
若给三项关系或需证明“成等差”，优先用等差中项法；
若已知或可求通项公式，验证是否为“”形式（通项公式法）；
若已知或可求前项和，验证是否为“”形式（前项和公式法）。
3. 代数推导验证：
定义法：计算（），证明其结果为与无关的常数；
等差中项法：推导，证明其结果为；
公式法：将通项或前项和整理，验证是否符合“一次函数”或“不含常数项的二次函数”形式。
4. 补充首项/初始条件：若推导仅从开始，需验证是否等于前述常数（定义法），或确认首项满足通项/前项和公式，确保数列整体为等差。
三、常见易错点与规避策略
1. 忽略“任意”：仅验证前3项（如）即判定为等差，需强调“对所有成立”，必要时用数学归纳法辅助证明（针对递推复杂的数列）。
2. 前项和公式误用：若（），则从第二项起为等差，而非整个数列，需排除常数项的干扰。
3. 递推式变形错误：对含与的递推关系（如），需先通过（）消去，再用定义法判定，避免直接套用公式。
【考点三：等差数列的性质及其应用】
【角度1：等差数列的性质】
【例题】1．（2025·陕西汉中·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．30B．40C．60D．120
2．（2025·江西·二模）已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ）
A．B．C．D．
【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，当为定值时，也是定值，则 .
4．（2025·安徽·三模）已知等差数列的前n项和为，，若，，则 ．
【角度2：等差数列的前N项和的性质】
【例题】1．（24-25高二下·陕西榆林·阶段练习）在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为 ．
2．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）设等差数列的前项和分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【针对训练】3．（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ， .
【角度3：等差数列的前N项的最值】
【例题】1．（22-23高二下·广东佛山·期中）已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
多选题2．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．当时取最大值D．满足的最大的正整数为10
【针对训练】多选题3．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．B．的前项和中最小
C．使时的最大值为9D．的最大值为0
【多选题】4．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）等差数列的前n项和为，且，，，则下列说法中正确的有（ ）．
A．B．
C．当或6时，取最小值D．
5．（24-25高二下·湖北·期中）若数列满足，，，设数列的前项和为，则当取最大值时， .
【解题策略】
等差数列的性质及其应用的解题策略
等差数列的性质是基于定义和公式推导的“简化工具”，核心是利用性质减少运算量，避免反复套用基本公式（、），尤其适用于求特定项、前项和或判断项的关系。
一、核心性质分类与应用场景
1. 项的下标规律性质（高频考点）
此类性质围绕“下标和相等”展开，是解决“项的和”“对称项关系”的核心，需牢记：
性质1：若（），则。
特殊情况：当时，，即（为与的等差中项）。
应用场景：已知某几项的值，求另外几项的和（如已知，求或）。
性质2：数列是等差，则下标成等差数列的子数列仍为等差（如，公差为）。
应用场景：求周期性间隔项的关系（如已知，求，利用子数列公差）。
2. 前项和的特殊性质
此类性质聚焦前项和的“局部与整体”关系，简化求和计算：
性质1：等差数列前项和，则仍为等差数列（公差为）。
应用场景：已知，，求（利用成等差，即，得）。
性质2：若项数为（偶数），则，且（为偶数项和，为奇数项和）；若项数为（奇数），则，且（为中间项）。
应用场景：已知项数为5（奇数），，直接得中间项，进而求。
性质3：前项和公式的“比值转化”：若两等差数列、的前项和分别为、，则。
应用场景：已知，求（直接得）。
3. 通项与前项和的关联性质
性质1：通项公式与前项和的关系：（），且；若，则（直接由二次函数推导一次通项）。
应用场景：已知求，或验证与的一致性。
性质2：前项和的“一次函数特征”：，即数列是公差为的等差数列。
应用场景：已知，，求（利用成等差，得）。
二、通用解题步骤
1. 识别问题类型：判断题目是求“特定项”“项的和”“前项和”还是“两数列比值”，匹配对应的性质（如下标和问题用性质1，前项和的局部关系用性质2）。
2. 优先调用性质：避免直接设、列方程（虽通用但运算量大），先观察下标是否有“和相等”“成等差”等特征，或前项和是否有“局部间隔”（如）。
3. 补充基本量运算：若性质无法直接求解（如缺少关键项或和），再设、（或、，利用中间项简化），结合性质列方程，减少未知数个数。
4. 验证结果合理性：利用性质反向验证（如用验证求得的项是否满足和的关系），避免下标对应错误。
三、常见易错点与规避策略
1. 下标对应错误：应用“”时，混淆下标和（如误将等同于，需确保而非），规避：先计算两边下标和，确认相等后再用性质。
2. 前项和的局部性质误用：忽略“成等差”的前提是“等差数列”，且公差为（非），规避：记忆公差推导过程（），避免记混系数。
3. 项数奇偶性混淆：应用“项数为奇/偶时的、关系”时，误将“项数为”的中间项记为（实际为），规避：明确“项数为时，中间项下标为（奇数项）”。
课后针对训练
一、单选题
1．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．36B．48C．60D．120
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
3．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2025·四川成都·一模）在等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ）
A．49B．50C．51D．52
6．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．27B．28C．54D．55
7．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是等差数列，公差，且，，成等比数列，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为的等差数列的前项和为，若，成等比数列，则满足的的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A．B．C．D．1
10．（2025·海南海口·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．25B．26C．27D．28
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ）
A．1013B．1014C．2026D．2028
二、填空题
12．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则 ．
13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为 ．
14．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 .
三、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，已知．
(1)若，求的通项公式；
(2)若对于任意，都有，求公差的取值范围
公式类型
表达式
说明
通项公式

为首项，为公差，可推广为（）
前项和公式
；
前者需已知首项、末项和项数；后者需已知首项、公差和项数
判定方法
核心等价条件
适用场景
1. 定义法（最根本）
对任意且，有（为常数）
已知数列的通项递推关系（如），或可通过变形得到相邻项差
2. 等差中项法
对任意且，有
已知数列中三项的关系，或需证明某三项成等差，或可通过前项和推导
3. 通项公式法
数列的通项公式可表示为（、为常数，且，）
已知数列的通项公式，或可求出通项公式后验证形式
4. 前项和公式法
数列的前项和可表示为（、为常数，且，）
已知数列的前项和公式，或可求出后验证形式（注意：需排除常数项，即无常数项）