第五章 5.2平面向量基本定理及坐标表示-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测




判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　√　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　)

作业检查



无
第2课时


阶段训练



题型一　平面向量基本定理的应用
例1　(1)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________.(用e1，e2表示)
(2) 如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为(　　)

A. B.
C. D．2
答案　(1)－e1＋e2　(2)C
解析　(1)如图，＝－
＝＋2＝＋
＝－＋(－)
＝－e2＋(e2－e1)
＝－e1＋e2.

(2)因为＝2，所以＝＋＝＋.又∥，可设＝m，所以＝＋＝＋＋＝(1＋)＋.因为＝＋λ，所以＝，λ＝1＋＝.
思维升华　平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
　在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，
所以＝－，所以λ＋μ＝.
题型二　平面向量的坐标运算
例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b等于(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
答案　(1)D　(2)C
解析　(1)由已知3c＝－a＋2b
＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．
所以c＝.
(2)因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，
所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，
所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．
思维升华　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
　(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．(2，) B．(2，－)
C．(3,2) D．(1,3)
答案　(1)4　(2)A
解析　(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
(2)设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，
又＝2，∴∴故选A.
题型三　平面向量坐标的应用
命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标
例3　已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案　(3,3)
解析　方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，
所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
命题点2　利用向量共线求参数
例4　(1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则锐角θ＝________.
(2)设＝(－2,4)，＝(－a,2)，＝(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
答案　(1)45°　(2)
解析　(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，
所以cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，
又θ为锐角，∴θ＝45°.
(2)由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2 )＝(当且仅当b＝a时，等号成立)．
思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
命题点3　利用平面向量的坐标求最值
例5　在平行四边形ABCD中，∠BAD＝，AB＝1，AD＝，P为平行四边形内一点，AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________．
答案　1
解析　以点A为原点建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，D(，)，所以＝(1,0)，＝(，)．设，的夹角为θ(0<θ<)，则P(cos θ，sin θ)，


所以＝(cos θ，sin θ)，
则由题意有(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ(，)，
所以
所以
所以λ＋μ＝－sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ
＝sin(θ＋)．
因为0<θ<，所以<θ＋<，
所以sin(θ＋)的最大值为1，即λ＋μ的最大值为1.
　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
(2)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．

答案　(1)(2,4)　(2)
解析　(1)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，
∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
(2)设CN＝n，CM＝m，则＋＝1，
设＝sin α，＝cos α(α∈(0，))．
因为＝x＋y＝x(＋)＋y(＋)
＝x(＋)＋y(＋)
＝[x＋y(1－)]＋[x(1－)＋y]，
又＝＋，所以
所以
所以x＋y＝＝1－
＝1－＝1－
＝1－，其中(cos φ＝，sin φ＝)，
所以(x＋y)min＝1－＝.
第3课时


阶段重难点梳理




1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
【知识拓展】
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.

重点题型训练



典例　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

思想方法指导　建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．
规范解答
解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(1,0)，B(－，)． [6分]
设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cos α，sin α)，
由＝x＋y，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， [10分]
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)， [12分]
又α∈[0，]，
所以当α＝时，x＋y取得最大值2. [14分]

1．设e1，e2是平面内一组基底，那么(　　)
A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
答案　A
2．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
答案　A
解析　＝(3,1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
答案　－
解析　由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－.
4．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案　(1,5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得


作业布置



1．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝2，则等于(　　)
A．b－a B．b－a
C．b－a D．b＋a
答案　C
解析　因为＝－，＝2，
所以＝＋＝＋＝－
＝－－＝－＝b－a，
故选C.
2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
答案　A
解析　设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
∴x＝2，y＝0.
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　B
解析　∵a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，
且(a＋λb)∥c，∴＝，∴λ＝，故选B.
4．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A．(－，5) B．(，5)
C．(，－5) D．(－，－5)
答案　D
解析　∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
∴＝＝(，5)，
∴＝(－，－5)．
5．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于(　　)
A. B. C．－3 D．0
答案　D
解析　因为＝2，所以＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0，故选D.
6．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)
A．2 B.
C．3 D．4
答案　C
解析　∵·＝0，∴⊥，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系(图略)，
＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．
∵tan 30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3，故选C.
7．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________．
答案　(－3，－5)
解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝－＝(－3，－5)．
8．设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.
答案　
解析　∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0，
∴2sin θcos θ－cos2θ＝0，
∵0＜θ＜，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，
∴tan θ＝.
9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案　
解析　选择，作为平面向量的一组基底，
则＝＋，＝＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)，
于是得解得
所以λ＋μ＝.
*10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

答案　(－1,0)
解析　由题意得，＝k(k＜0)，
又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.
又∵B，A，D三点共线，
∴＝λ＋(1－λ)，
∴m＋n＝kλ＋k(1－λ)，
∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，
∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．
11．正△ABC的边长为1，向量＝x＋y，且x≥0，y≤1，≤x＋y≤，则动点P所形成的平面区域的面积为________．
答案　
解析　如图所示，

{(x，y)|＝x＋y，x≥0，y≤1}表示的区域为平行四边形ABDC，因为当x＋y＝1时，＝x＋y，此时点P在BC上运动；当x＋y＝时，＝x＋y，此时点P在B1C1上运动，且B1，C1分别为AB，AC的中点，当x＋y＝时，＝x＋y，此时点P在B2C2上运动，且AB2＝AC2＝，所以{(x，y)|≤x＋y≤}表示平行四边形ABDC中夹在B1C1和B2C2之间的部分，其面积为×××3＝.
12．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
*13. 如图所示，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
(1)解　＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)证明　一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)x＋λy； ①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)
＝＋. ②
由①②得
∴＋＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．