2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲平面向量基本定理及坐标表示(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第02讲平面向量基本定理及坐标表示(精讲)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了平面向量的基本定理，平面向量的正交分解，平面向量的坐标运算，平面向量共线的坐标表示等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31344" 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 PAGEREF _Tc31344 \h 1
\l "_Tc2178" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc2178 \h 1
\l "_Tc7964" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc7964 \h 2
\l "_Tc16075" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc16075 \h 2
\l "_Tc885" 高频考点一：平面向量基本定理的应用 PAGEREF _Tc885 \h 2
\l "_Tc8132" 高频考点二：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc8132 \h 3
\l "_Tc19364" 高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数） PAGEREF _Tc19364 \h 4
\l "_Tc18064" 高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题） PAGEREF _Tc18064 \h 5
\l "_Tc5970" 第四部分：新定义题 PAGEREF _Tc5970 \h 5
第一部分：基础知识
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则 ， ．
精练高频考点
1．已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．1
2．如图，在中，，，，，交于点，过点的直线分别交于点，则 ．
3．设为的内心，，，，则 ， ．
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（23-24高三下·全国·自主招生）已知点，，点C满足，则C的坐标为 （ ）
A．B．C．D．
例题2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
精练高频考点
1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知点，点，向量，若，则实数的值是 ．
3．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则 ．

高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）
典型例题
例题1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．8B．4C．2D．
例题2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，，若，则 ．
精练高频考点
1．（2025·海南·模拟预测）已知向量，且，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2025·重庆·三模）已知向量若则的值为（ ）
A．B．0C．D．
3．已知平面向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求．
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）
典型例题
例题1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（ ）
A．B．C．D．
例题2．已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．2
精练高频考点
1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．无解
2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A．0B．1C．2D．3
第四部分：新定义题
1．（多选）（2025高一·全国·专题练习）定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ）
A．
B．若，则
C．设为线段的中点，则
D．设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则
第02讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31344" 第02讲 平面向量基本定理及坐标表示 PAGEREF _Tc31344 \h 1
\l "_Tc2178" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc2178 \h 1
\l "_Tc7964" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc7964 \h 2
\l "_Tc16075" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc16075 \h 4
\l "_Tc885" 高频考点一：平面向量基本定理的应用 PAGEREF _Tc885 \h 4
\l "_Tc8132" 高频考点二：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc8132 \h 8
\l "_Tc19364" 高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数） PAGEREF _Tc19364 \h 10
\l "_Tc18064" 高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题） PAGEREF _Tc18064 \h 12
\l "_Tc5970" 第四部分：新定义题 PAGEREF _Tc5970 \h 14
第一部分：基础知识
1、平面向量的基本定理
1.1定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.
1.2基底：
不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；
（2）基底一旦确定，分解方式唯一；
（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.
2、平面向量的正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3、平面向量的坐标运算
3.1平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个不共线的单位向量作为基底，存在唯一一组有序实数对使,则有序数对，叫做的坐标，记作.
3.2平面向量的坐标运算
（1）向量加减：若，则；
（2）数乘向量：若，则；
（3）向量数量积：若，则；
（4）任一向量：设，则.
4、平面向量共线的坐标表示
若，则的充要条件为
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：平面向量基本定理的应用
典型例题
例题1．已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可.
【详解】如图所示，因为D为的边的中点，所以，
因为，所以，
．
故选：B.
例题2．如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则 ， ．
【答案】
【分析】求出，求出，求出，求出，求出即可求解.
【详解】因为，，，
则，
故．又，
得，
所以．
故答案为：；.
精练高频考点
1．已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由向量模的计算可得的关系，利用三角函数性质可得最大值.
【详解】因为向量满足，，
设，
因为，则，从而.
因为为线段的中点，所以
由得，
设，，，
则，
当时，取最大值．
故选：A．
2．如图，在中，，，，，交于点，过点的直线分别交于点，则 ．
【答案】7
【分析】利用和两组三点共线把用表示，然后由三点共线得的关系式
【详解】设,因为,
所以,
又因为三点共线, 三点共线,所以, 解得,
所以，则．
又，
由于与共线，所以，得．
3．设为的内心，，，，则 ， ．
【答案】 /0.625 /0.3125
【分析】解法1：根据平面向量共线定理即可求解.
解法2：根据题意，以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，根据坐标运算即可求解.
【详解】解法1：
，
设为与的交点，如图所示，
由角平分线的性质知，，
故，
则有，解得.
解法2：
以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则，，．
又设，则，，．
因为是内心，
所以，
又，得，即，则，
所以，从而，
解得.
故答案为：.
高频考点二：平面向量的坐标表示
典型例题
例题1．（23-24高三下·全国·自主招生）已知点，，点C满足，则C的坐标为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，由向量的坐标计算求解即可.
【详解】因为点，，所以，所以，
设，则，所以，解得，
所以，
故选：A
例题2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设，则，，
由题意设，则，
由得，
则，故，
即，
故答案为：
精练高频考点
1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知平行四边形，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两点的坐标求得，由平行四边形的性质有，求值即可.
【详解】由，，有，
平行四边形中，有，即，
故选：D.
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知点，点，向量，若，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】根据题意求，结合向量平行的坐标表示运算求解.
【详解】由题意可得，
若，且，则，即.
故答案为：.
3．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则 ．

【答案】/
【分析】建立直角坐标系，结合三角函数定义，利用向量坐标运算求解即可.
【详解】以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，垂直于OB且向上的方向为y轴建立平面直角坐标系，
则．设，，
于是，，
且，．
由，得，
∴解得∴．
故答案为：.

高频考点三：平面向量共线的坐标表示（由向量平行求参数）
典型例题
例题1．（2025·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．8B．4C．2D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】，由得，解得．
故选：A．
例题2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据向量共线的坐标形式可求参数的值.
【详解】由题得，，
又，则，解得或．
故答案为：或．
精练高频考点
1．（2025·海南·模拟预测）已知向量，且，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案.
【详解】因为，所以，又，
所以，所以．
故选：B．
2．（2025·重庆·三模）已知向量若则的值为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【分析】先利用平面向量的线性运算求出，再利用向量平行的条件列方程求解即可.
【详解】因为向量
所以，
又因为
所以，
解得，
故选：A.
3．已知平面向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)或；
(2)或.
【分析】（1）由向量垂直可得数量积为零，计算即可得；
（2）借助向量平行的性质计算计算可得，再利用坐标形式的模长公式计算即可得.
【详解】（1）若，则，故或；
（2）若，则，即，
则或，
若，则，，则，
若，则，，则，
即或.
高频考点四：平面向量共线的坐标表示（由坐标解决三点共线问题）
典型例题
例题1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由共线求出，检验即可得解.
【详解】因为，，，
所以，
若不重合的三点，，共线，
则，解得或，
当时，重合，矛盾，
当时，都不重合，故满足题意，
所以.
故选：A.
例题2．已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解.
【详解】根据题意，，
则，若三点共线，则，
则有，变形可得.
故选：A
精练高频考点
1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．无解
【答案】A
【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可.
【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足，
可知且，
解得，此时，满足题意.
故选：A
2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】A
【分析】由已知得，依次判断各项对应点所得向量是否共线，即可判断.
【详解】由题设，
，，，与有公共端点，所以三点共线，A对；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，B错；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，C错；
，，不存在，使，
所以与不共线，即三点不共线，D错；
故选：A
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算．
【详解】，，
因为A，B，C三点共线，所以，
则，解得或，
，.
故选：D.
第四部分：新定义题
1．（多选）（2025高一·全国·专题练习）定义平面向量的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，下列说法中正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号两侧的值可判断A、B和C，将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法可判断D.
【详解】设，，．
对于A，，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，，，故C错误．
对于D，，，
因为，故D正确．
故选：ABD．
2．（多选）（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是 （ ）
A．
B．若，则
C．设为线段的中点，则
D．设为坐标原点，且点构成等腰三角形，则
【答案】ABD
【分析】对A，根据定义的变换代入计算即可，对B，可设，在代入定义变换运算法则即可判断；对C，先求点，然后得出，代入定义变换直接计算即可；对D，先计算，再得，再利用点构成等腰三角形，列出方程再解方程即可.
【详解】，，A正确；
若，不妨记，由A选项，，∴，B正确；
为线段的中点，，C错误；
，，，
，，，
∴构成等腰三角形，只可能，联立可解，D正确;
故选：ABD.