2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第23讲：等比数列及其前N项和(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习备考题型归纳讲义第23讲：等比数列及其前N项和(知识梳理+题型总结)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了新高考课程标准要求，知识梳理，课前自测，针对训练，解题策略等内容，欢迎下载使用。
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义：要求学生清楚等比数列的定义，即从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（公比）。掌握等比数列的通项公式，并能理解其含义，知晓通项公式中各参数的意义，能够利用通项公式解决相关问题，如已知首项、公比求某一项，或已知某几项的值求首项、公比等。
2.掌握等比数列的前项和公式：探索并掌握等比数列前项和公式，理解公式的推导过程，尤其是错位相减法的应用。同时要注意公式使用时需对和进行分类讨论。
3.理解等比数列的通项公式与前项和公式的关系：明白通项公式与前项和公式之间是相互关联的，可通过通项公式推导前项和公式，也可根据前项和公式求出通项公式（，），并能利用这种关系解决相关问题。
4.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系并解决相应问题：学会从实际问题或数学问题情境中，识别出等比数列模型，将问题转化为等比数列的相关问题，如求通项公式、前项和等，进而利用等比数列的知识进行求解，体现数学建模的思想。
5.体会等比数列与指数函数的关系：了解等比数列的通项公式与指数函数的联系，当，且时，等比数列的通项公式可以看作是指数函数的离散形式，从而借助指数函数的性质来理解等比数列的一些性质，如单调性等。
【知识梳理】
等比数列的定义
定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示（）。即（为常数且）或（为常数且，）。
要点诠释：等比数列中至少含有三项，且首项和公比均不为零。当时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列。
等比数列的通项公式
公式：，其中为首项，为公比。任意两项，的关系为。
要点诠释：通项公式可变形为，当且时，可将看作自变量的函数，点是曲线上的一群孤立的点，体现了等比数列与指数函数的关系。
等比中项
定义：如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，且，即（，均不为）。
要点诠释：当，同号时，，的等比中项有两个；当，异号时，没有等比中项。在一个等比数列中，从第项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
等比数列的性质
若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列。特别地，若是等比数列，是不等于的常数，则也是等比数列。
在等比数列中，若，则。当（，，）时，。
在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为。
当，，（，，）成等差数列时，，，成等比数列。
等比数列的前项和公式
公式：。
要点诠释：公式推导使用了错位相减法。当时，等比数列的前项和等于首项的倍；当时，需注意公式中的计算，以及根据已知条件合理选择或进行计算。
等比数列前项和的性质
若，令，则（，，，），反之，若数列的前项和满足这种形式，则数列为等比数列。
等比数列中，若项数为，则（）；若项数为，则（）。
等比数列前项和为（且），则，，仍成等比数列，其公比为（）。且。
【课前自测】
一、单选题
1．（2025高三·广东·专题练习）在等比数列中，，若，则（ ）
A．3B．4C．8D．9
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质与和对数的运算性质，求解即可.
【详解】由等比数列的性质可知：，
所以．
故选：A.
2．（24-25高二下·江苏苏州·期末）设等比数列的前n项和为，公比，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合等比数列前n项和的性质，即可求解.
【详解】因为等比数列的前n项和为，公比，
所以均不为0，
所以构成等比数列，公比为，
又，所以，即，
所以，即，
所以，
所以.
故选：A.
3．（24-25高二下·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，则其前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据数列的通项公式，结合等比数列的定义得出数列为等比数列，求出首项和公比，代入等比数列的求和公式即可得解.
【详解】数列的通项公式为，
则，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
故选：.
二、多选题
4．（24-25高一下·广东广州·期末）已知等比数列的公比为，前n项和为，若，，则（ ）
A．B．=126
C．数列的通项公式为D．数列也是等比数列
【答案】AC
【分析】根据等比数列的通项公式求出后，利用等比数列求和公式以及等比数列的定义，即可求解.
【详解】根据题意，由等比数列通项公式可得：，
由题意得，即，解得.
A：由以上求解得出，所以A选项正确.
B ：等比前n项和公式，则，所以B选项错误.
C：等比数列通项公式，将代入，解得：，所以C选项正确.
D：根据前n项和公式求出前几项：,
再计算得：，
则，因为比值不相等，所以数列不是等比数列，所以D选项错误.
故选：AC.
三、填空题
5．（2025高三·广东·专题练习）已知等比数列的公比为2，且数列中的各项均为正数，若，则 .
【答案】5
【分析】由等比数列的性质和对数的运算性质即可求解.
【详解】因为数列是正项等比数列，
所以，则，
因为数列的公比为2，
所以，
所以.
故答案为：5.
6．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则 .
【答案】4
【分析】由，，成等差数列，结合等差数列和等比数列的性质，列式求解即可．
【详解】∵等比数列的公比为，且，，成等差数列，
∴，即，
由于等比数列中，∴，解得．
故答案为：4．
题型分类
知识讲解与常考题型
【考点一：等比数列的基本量运算】
【例题】1．（24-25高二下·北京大兴·期末）设等比数列的公比，其前n项和为，则下列等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先设，利用特例法可判断A、B、C；再利用等比数列的求和公式可判断D.
【详解】存在等比数列，首项为，公比为，
则，，，，
对于，，错误；
对于， ，错误；
对于， ，错误；
对于，因为等比数列的公比，则，
，
，
综上可得：等比数列中，，正确.
故选：.
2．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】D
【分析】设出公比，从而根据题目条件得到方程组，求出，再利用求出答案.
【详解】设公比为，，，故，
，
两式相除得，故.
故选：D
【针对训练】3．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．16B．32C．27D．81
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比即可求得.
【详解】设正项等比数列的公比为，由，，
得，整理得，解得，
所以.
故选：C
多选题4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知等比数列的前项和为，公比为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由已知及等比数列前n项和公式求基本量，进而依次判断各项的正误.
【详解】对于A：由题意，则，即，故，A错误；
对于B：，即，B正确；
对于C，D，由，则，
则，C错，D对.
故选：BD
5．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·期中）记正项严格递增等比数列的前项和为，且满足，，则 .
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列项的基本量运算求出的值，根据等比数列的求和公式化简计算即得.
【详解】设等比数列的公比为，因，，
可得：，由②可知，故可得：（*），
将其代入①，化简得，解得或
分别代入（*），可得或，
因为正项严格递增等比数列，故，即，
则，故.
故答案为：.
6．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）设等比数列的前项和为．若，则 ．
【答案】93
【分析】根据题意求得，结合等比数列求和公式求解即可.
【详解】由题意公比，所以，解得，
所以.
故答案为：93.
【解题策略】
等比数列基本量运算的解题策略
等比数列的基本量核心是首项 和公比（），所有运算均围绕这两个量展开，核心思路是“列方程、解方程”，具体策略如下：
一、明确基本量关系，建立方程模型
1. 依托通项公式与前项和公式：根据题目已知条件（如某几项的值、前项和的值、项与和的关系等），直接代入核心公式，构建关于和的方程（组）。
通项公式：
前项和公式：
2. 优先分析的情况：若直接使用的求和公式，可能遗漏的特殊情况（此时数列为常数列，），需先验证是否满足题意，再讨论的情况。
二、简化运算的关键技巧
1. 减少未知数数量：
若已知（某一项），可将表示为，代入其他公式（如），消去，仅保留作为未知数，降低方程复杂度。
若题目中涉及“项的比值”（如），可直接用表示，无需单独求解。
2. 利用整体代换思想：
当方程中出现或等整体形式时，可设其为中间变量（如设），先求中间变量，再反推和，避免直接求解高次方程。
3. 结合等比数列性质简化条件：
利用“等比中项”：若（），则，将分散的项关系转化为乘积等式，减少公式代入步骤。
利用“前项和的片段性质”：若为前项和，且，则仍成等比数列，可直接用比例关系列方程，无需涉及。
三、注意运算细节与易错点
1. 公比的取值限制：时刻牢记；若题目未明确的符号，需考虑为正或负的情况（如已知，则，与同号，必为正）。
2. 高次方程的求解：当方程涉及（为常数）时，需根据的奇偶性和的符号确定的解的个数（如仅有一解，有两解）。
3. 验证解的合理性：解方程得到和后，需代入原题条件（如项的正负、前项和的数值）验证，排除不符合实际意义的解（如已知，则的解需舍去）。
【考点二：等比数列的证明与判断】
【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等比数列．
【答案】证明见解析
【分析】根据的关系式写出的关系式得等式进行转化，证明为定值，验证是否满足，根据等比数列的定义可得结论；
【详解】因为，所以当时，．
两式相减得，即．
当时，由题可知，此时满足．
则，故数列是首项为2，公比为3的等比数列．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，
【分析】先假设为等比数列，可得为常数，即可确定的值.
【详解】设，
因为．
若数列是等比数列，则必须有（常数），
即，即.
此时，
所以存在实数，使数列是等比数列．
【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，数列与满足关系，对于有，．求证：是等比数列．
【答案】证明见解析
【分析】根据与的关系式求出数列的递推关系式，再得，根据等比数列的定义得证.
【详解】由，知．
那么，即，
又，
故，
由，可得，即，
故，即对均成立．
因此是等比数列．
4．（2025高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，．
(1)令，证明：为等比数列；
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当时，根据的关系可得，结合等比数列的定义即可得证；
（2）首先得，根据的关系，分和两种情况讨论即可求解.
【详解】（1）当时，，
即，则，
所以，即．
又，则，
所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，
所以．
当时，．
又，不满足上式，
故.
5．（25-26高三上·广东·开学考试）记为数列的前项和，已知．
(1)求；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)求的最值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)的最小值为，无最大值
【分析】（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解.
（2）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明.
（3）先根据（2）求出的的通项公式，再结合求出的表达式，最后通过分析的单调性来确定其最值.
【详解】（1）已知，则当时，有.
，，即，解得．
（2）由可得，当时，.
得.
，，即，进一步变形可得.
当时，.
又，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）可知，则，即.
，，则.
由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值.
【解题策略】
一、核心前提：明确等比数列的本质
所有判断与证明均围绕两个核心：① 数列中无零项（任意项）；② 从第二项起，后项与前项的比值为非零常数（公比）。
二、三大核心方法（按条件匹配）
方法 1：定义法（适用于已知递推关系，如）
核心原理：对任意，（，常数），且首项。
操作步骤：
先验证（无零项的基础）；
计算（），通过代数变形化简；
判断结果是否为 “非零常数”，是则为等比数列。
避坑提醒：勿漏验，或仅验证、等有限项，需保证 “对所有成立”。
方法 2：通项公式法（适用于已知表达式）
核心原理：等比数列通项必为（，，即首项）。
操作步骤：
将整理为 “常数 × 指数项” 形式（如）；
验证 “常数≠0” 且 “指数项的底数≠0”；
符合则为等比数列，底数即公比。
避坑提醒：若（如），需变形为，再验证首项（12）非零。
方法 3：前项和法（适用于已知表达式）
核心原理：等比数列前项和为（，）或（，，），需结合通项验证。
操作步骤：
求通项：时，时；
验证是否满足时的（不满足则非等比）；
用 “通项公式法” 判断是否符合等比形式。
避坑提醒：勿仅凭的形式判断，需验证与的一致性（如，，时，非等比）。
三、解题策略总结
方法速选：递推关系用 “定义法”，已知用 “通项法”，已知用 “前项和法（先求）”；
通用原则：所有步骤均需先验证 “无零项”，证明时需体现 “普遍性”（对所有成立），不凭个别项下结论。
【考点三：等比数列的性质及应用】
【例题】1．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．2014B．2024C．2025D．2026
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解.
【详解】等比数列的各项均为正数，且，
.
故选：C
2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A．B．40
C．30或D．或40
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前项和公式即可得解.
【详解】等比数列的公比为，
因为，且，
，，故，
所以，即，
解得或（舍去），
所以，可得，
故选：B.
【针对训练】3．（24-25高二下·江西抚州·期末）在等比数列中，是方程的两根，则的值为（ ）
A．-4B．-2或2C．-2D．2
【答案】C
【分析】设公比为，由韦达定理得，，并判断同为负数，根据等比数列的性质得到，从而得到答案.
【详解】为等比数列，设公比为，
由韦达定理得，，
又，故符号相同，同为负数，
，
因为为等比数列，所以，，
故.
故选：C
4．（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比.
【详解】设等比数列的公比为，
根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为，
又，即，所以，
解得.
故选：D.
多选题5．（24-25高二下·四川南充·期末）关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ）
A．若等比数列的前项和，则实数
B．若数列为等比数列，且，则
C．若等差数列的前项和为，则成等差数列
D．若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30
【答案】BCD
【分析】根据等比数列前项和的性质，等比数列各项下标之间的关系，等差数列前项和的性质，依次判断各选项正误，求出结果.
【详解】由，可得时，，
作差得，当时，，解得，所以A错误；
由等比数列性质可知，因为，所以，
，所以B正确；
由等差数列的前项和可知，成等差数列，所以C正确；
等差数列中，公差，则，
当或时，前项和取得最大值，最大值，所以D正确.
故选：BCD.
6．（24-25高二下·湖南邵阳·期末）在等比数列中，若，则 ．
【答案】128
【分析】利用等比数列的性质可求出、，进而求出，再次利用等比数列的性质进行求解即可.
【详解】，，
又，，
又．
考虑最后结果为正，不妨设每项均为正数，，．
故答案为：128
【解题策略】
等比数列的性质及应用解题策略
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数（记为公比，）的数列，首项记为（），通项公式为。
一、核心性质
1. 通项相关性质
若，且，则（可概括为“角标和相等，项的积相等”）。
推论：当时，（即中间项是前后两项的等比中项）。
通项的推广：（已知任意一项，可直接表示其他项，无需先求首项）。
2. 前项和相关性质
等比数列前项和的公式分两种情况：时，；时，，其关键性质如下：
仍成等比数列（公比为，需满足）。
若，则（可直接对比不同项数的前项和）。
3. 其他重要性质
数列为等比数列的充要条件：（，且所有项不为0，可用于证明或判断等比数列）。
单调性：若且（或且），数列单调递增；若且（或且），数列单调递减；时，为常数列（）或摆动数列（）。
二、解题策略
1. 求基本量（）：“知三求二”
等比数列有5个基本量，已知其中3个，可通过通项公式和前项和公式建立方程（组）求解，核心是根据已知条件列等式，解出未知量。需注意：若题干未明确公比，需先判断是否符合条件，再分情况计算。
2. 利用“角标和性质”简化计算
当题目涉及“项的积”或“等比中项”时，优先使用“”的性质，无需单独求和，直接通过角标关系推导项的乘积关系，缩短计算步骤。
3. 前项和的“片段和性质”应用
涉及（即不同倍数项数的前项和）的关系时，直接套用“成等比数列”的性质，需严格注意前提条件，避免因忽略前提导致错误。
4. 证明数列是等比数列：紧扣定义或中项性质
定义法：证明对任意正整数，为常数（且该常数不为0，数列各项也不为0）。
中项法：证明对任意正整数，（且数列各项不为0），二者均可作为证明的核心依据。
5. 实际应用：建立等比数列模型
针对“增长率”“复利计息”“倍增/倍减”等实际问题，先确定模型类型（等比数列），再明确首项（初始数量）和公比（增长/衰减率，增长时增长率，衰减时衰减率），最后根据通项公式或前项和公式计算目标量。
三、易错点提醒
1. 忽略公比限制：公比，且使用前项和公式时需分和讨论，避免直接套用的公式导致漏解。
2. 误判“片段和性质”前提：成等比数列的前提是，需先验证是否为0，再应用性质。
3. 忽略项的符号：等比数列中项的符号由首项和公比共同决定（为负时项会正负交替），计算“等比中项”等问题时，需考虑项的正负两种可能（除非题干明确数列各项为正）。
课后针对训练
一、单选题
1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．1022B．1023C．1024D．1025
2．（24-25高二下·北京海淀·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（ ）
A．4B．2C．1D．0
3．（24-25高二下·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．4B．6C．7D．8
4．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2025高三·全国·专题练习）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．不存在
6．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为且，则（ ）
A．B．C．D．17
7．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则（ ）
A．－5或1B．－5C．－3D．－3或1
8．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在等比数列中，是函数的两个零点，则（ ）
A．B．C．5D．
二、多选题
9．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列
B．等比数列是递增数列，则的公比
C．若数列的前项和为，则数列是等差数列
D．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列
10．（24-25高二下·陕西·阶段练习）记为数列的前项和.若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列是正项数列，若，且，，则 ．
12．（2025高二·全国·专题练习）设等比数列的公比为，其前项积为，并且满足以下条件：，，．给出下列结论：
①；
②；
③的值是中最大的；
④使成立的最大自然数等于198．
其中正确的结论是 ．（填序号）
四、解答题
13．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
(1)求与的通项公式；
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
14．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，是各项均为正数的等比数列，且．
(1)若数列的公差为1，且，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，判断此时数列是否是递增数列，并说明理由；选________．
(2)若，，成等比数列，数列的前n项和为，求数列的通项公式．
参考答案
1．B
【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求；
【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得
则
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义及等比数列定义求解并验证即可.
【详解】在等比数列中，由，得，
，，
因此公比，，解得，
此时，符合题意，所以.
故选：C.
3．B
【分析】根据等比数列的前项和的性质可得.
【详解】因为是等比数列，所以成等比数列，
因，则，故，解得.
故选：B
4．B
【分析】利用等比数列的概念结合必要不充分条件定义即可得解.
【详解】若为递减数列，则对任意有即，
所以或，
如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立；
若，，则数列为递减数列，所以必要性成立.
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
5．A
【分析】由条件先求出公比，由等比数列通项公式得出，满足的关系，然后由基本不等式得最值．
【详解】设等比数列的公比为，由得，
解得（舍去），∴，
由得，
∴，所以，
当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是．
故选：A
6．A
【分析】根据等比数列的定义判断为等比数列，进而根据性质求解得，即可由求和公式求解.
【详解】因为，且，所以，所以为等比数列．
因为，所以，
因为，所以，即的公比．
所以．
故选：A．
7．A
【分析】根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，
所以，所以，
化简整理得，解得，或，
所以或．
故选：A
8．B
【分析】根据韦达定理结合等比中项可求.
【详解】因为是函数的两个零点，
所以是方程的两个根，则，，
所以都为负数，又因为是等比数列，,
所以，则，
故选：B
9．AC
【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误.
【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确.
等比数列单调递增则由或，所以B错误.
由可知当时，
且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确.
当，为偶数时，
可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可.
【详解】当时，，解得，A正确.
当时，，所以，即，
则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确；
由上知，B错误；
，D正确.
故选：ACD
11．3
【分析】首先求得，，结合得即可求解.
【详解】因为，，所以，，
即，，
又因为，所以，，
因为，，所以，
所以，
所以.
故答案为：3.
12．①④
【分析】由等比数列的性质及通项公式判断①②；根据等比数列的性质及的含义判断③④.
【详解】由，得，即，又且，
所以，，即，故①正确．
由，且得，从而，故②错误．
由且得，故③错误．
，
，
故④正确．
故答案为：①④
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到；
（2）根据题意得到数列，再利用公式求和即可.
【详解】（1）由得，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以.
依题意，，，
解得，所以.
（2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…，
所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列，
所以，
则.
14．(1)①②，详细答案见解析
(2)
【分析】(1)由等差数列通项公式求得，进而可得或的值，由等比数列通项公式求得公比q后，可得，由与1比较大小或与0比较大小可得结论；
(2) 若，，成等比数列，利用可求得公差d，利用与的关系，可求得，由此可得到
【详解】（1）因为是公差为1，首项为1的等差数列，
所以．设的公比为q，
若选①，由，得，，，
，，则，
所以是递增数列；
若选②，由，得，，，，
则，所以是递增数列；
若选③，由，得，，
，，，
则，
所以不是递增数列；
故选：①②
（2）因为，，成等比数列，故，
即，解得，
因此公差，．
数列的前n项和为，；
当时，，也适合，因此．
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
B
A
A
A
B
AC
ACD