2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点15解三角形的最值和范围问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点15解三角形的最值和范围问题(学生版+解析)，共40页。

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\l "_Tc27901" 【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc27901 \h 2
\l "_Tc1158" 【题型2 三角形边长的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc1158 \h 5
\l "_Tc9199" 【题型3 三角形周长的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc9199 \h 8
\l "_Tc27163" 【题型4 三角形的角的最值或范围问题】 PAGEREF _Tc27163 \h 11
\l "_Tc26385" 【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc26385 \h 14
\l "_Tc2992" 【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】 PAGEREF _Tc2992 \h 16
\l "_Tc28026" 【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】 PAGEREF _Tc28026 \h 19
\l "_Tc12949" 【题型8 “坐标法”求最值（范围）】 PAGEREF _Tc12949 \h 23
\l "_Tc12497" 【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc12497 \h 28
1、解三角形的最值和范围问题
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解.
知识点 三角形中的最值和范围问题
1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：
(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；
(2)利用基本不等式求最值（范围）；
(3)转化为三角函数求最值（范围）；
(4)转化为其他函数求最值（范围）；
(5)坐标法求最值（范围）.
2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：
(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．
(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围.
(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略
“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．
【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】
【例1】（2025·江西萍乡·二模）在△ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若a=2, 5sinA1+csA+csAsinA=3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3B．32C．3D．23
【答案】A
【解题思路】首先利用三角函数的基本关系化简得sinA=35,csA=45，再结合余弦定理以及基本不等式知识得bc≤10，则三角形面积的最大值可求.
【解答过程】对5sinA1+csA+csAsinA=3进行化简，
通分可得5sin2A+1+csAcsA1+csAsinA=5−4cs2A+csA1+csAsinA=−4csA−5csA+11+csAsinA=−4csA−5sinA=3，
即5−4csA=3sinA，又sin2A+cs2A=1，解得sinA=35,csA=45；
已知a=2，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可得4=b2+c2−85bc，
根据基本不等式b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），
则4=b2+c2−85bc≥2bc−85bc=25bc，可得bc≤10，
三角形面积S△ABC=12bcsinA=310bc≤310×10=3，当且仅当b=c时等号成立,
故选：A.
【变式1-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE=3,DF=2,∠DEF=90°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．733B．23C．73D．63
【答案】A
【解题思路】结合已知，引入∠DEB=θ来表达∠FEC,∠BDE,∠CFE，且据勾股定理可求出EF=1，则在△BDE和△ECF中，分别用正弦定理可表达BC，即可表达面积，从而分析最值.
【解答过程】设∠DEB=θ，
∴∠FEC=π2−θ,∠BDE=2π3−θ,∠CFE=π6+θ，
∵∠DEF=π2,DF=2,DE=3，
∴EF=1，
在△BDE中，DEsin∠DBE=BEsin∠BDE，即3sinπ3=BEsin2π3−θ，
∴BE=2sin2π3−θ=3csθ+sinθ，
同理，在△ECF中，EC=233sinπ6+θ=33csθ+sinθ，
∴△ABC的边长BC=BE+EC=3csθ+sinθ+33csθ+sinθ=2213sin(θ+φ)，
其中tanφ=233，
∵θ∈0,π2∴θ+φ=π2时，BC取得最大值为2213，
∴S△ABC=34BC2≤34×283=733.
故选：A.
【变式1-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△ABC的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c，若a=1,cb+bc=1+bcbc.
(1)求A；
(2)求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)π3
(2)34
【解题思路】（1）根据条件，得到b2+c2=bc+1，再利用余弦定理，即可求解；
（2）由（1）结果，利用基本不等式，得到bc≤1，再利用面积公式，即可求解.
【解答过程】（1）cb+bc=1+bcbc，得到b2+c2=bc+1，
由余弦定理知，csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−12bc=bc2bc=12，
因为A∈0,π，所以A=π3．
（2）bc+1=b2+c2≥2bc，得到bc≤1，当且仅当b=c=1取等，
所以S△ABC=12bcsinA≤34，（当且仅当b=c=1取等）
故△ABC面积的最大值为34．
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcsA=3−acsB，2asinC=3.
(1)求A.
(2)求△ABC面积的取值范围.
【答案】(1)A=π6；
(2)338,32.
【解题思路】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
（2）利用正弦定理得b=csinBsinC=3sinA+CsinC=32tanC+32，结合△ABC为锐角三角形，求得π3