2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点16坐标法与极化恒等式、等和(高)线定理在平面向量中的应用(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点16坐标法与极化恒等式、等和(高)线定理在平面向量中的应用(学生版+解析)，共19页。

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\l "_Tc112" 【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】 PAGEREF _Tc112 \h 4
\l "_Tc17038" 【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】 PAGEREF _Tc17038 \h 5
\l "_Tc19601" 【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】 PAGEREF _Tc19601 \h 5
\l "_Tc25698" 【题型4 利用极化恒等式求值】 PAGEREF _Tc25698 \h 5
\l "_Tc18068" 【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc18068 \h 7
\l "_Tc384" 【题型6 等和线解决系数和问题】 PAGEREF _Tc384 \h 8
\l "_Tc20711" 【题型7 等和线解决其他系数问题】 PAGEREF _Tc20711 \h 9
1、坐标法、极化恒等式与等和（高）线定理
坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.
知识点1 坐标法解决平面向量问题
1．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量a=()，b=()等价于a=，b=，所以a+b=()+()=
，即a+b=().同理可得a-b=().
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由a=(x,y)，可得a=，则λa==，即λa=(λx,λy).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量a=()，b=()等价于a=，b=，所以a·b=()·()=
.又=1，=1，==0，所以a·b=.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若a=(x,y)，则或.
其含义是：向量a的长度(模)等于向量a的横、纵坐标平方和的算术平方根.
3．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设a=()，b=()，其中b≠0.向量a，b (b≠0)共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即.
(2)夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a=()，b=()，是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设a=()，b=()，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
知识点2 极化恒等式
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
知识点3 等和(高)线定理
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】
【例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量a=−1,0，b=0,1，则a+2b的坐标为（ ）
A．−1,2B．−1,1C．0,1D．1,2
【变式1-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A−2,1,B−1,3,C3,4，若点D满足AB=DC，则点D的坐标为（ ）
A．2,2B．3,1C．1,3D．5.5
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知向量a=1,x−2，b=x,3，若a=λbλ>0，则x等于（ ）
A．−3B．−1C．1D．3
【变式1-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量w，v，u在正方形网格中的位置如图所示，将w绕着起点顺时针方向旋转90∘后得到向量a，若u=ma−nv，则m+n=（ ）

A．−72B．−12C．32D．52
【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】
【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量a=2,4,b=m,8，若a⋅b=40，则b=（ ）
A．5B．25C．45D．10
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）已知a为单位向量，b=−1,3，若|2a−b|=2，则a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【变式2-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知向量a→=1,2，b→=3,−1，若向量c满足c·a=4且c·b=5，则向量c的坐标为（ ）
A．2,1B．1,2C．−1,3D．3,−1
【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·三模）在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，若AC⋅AP=32，则AB⋅BQ=（ ）
A．12B．−12C．22D．−22
【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】
【例3】（2025·湖北武汉·三模）在矩形ABCD中，A−1,0,Bx,1−x，若n=2,−3，且n//AD，则x=（ ）
A．−5B．−15C．15D．5
【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量a=λ−1,1,b=2,λ，若a−b⊥a+b，则λ=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【变式3-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量AB=5,1，BC=m,9，CD=8,5.若A、C、D三点共线，则m=（ ）
A．54B．−11C．11D．−54
【变式3-3】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量a=1,2，b=2,m，若a+b⊥a−b，则实数m=（ ）
A．−1B．1C．−1或1D．4
【题型4 利用极化恒等式求值】
【例4】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b=14AD2−BC2，我们称为极化恒等式. 已知在△ABC中，M是BC中点，AM=3，BC=10，则AB⋅AC=（ ）
A．−16B．16C．−8D．8
【变式4-1】（2024·四川绵阳·三模）如图，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，则EA⋅EB=（ ）
A．−11B．−13C．−15D．15
【变式4-2】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN=2BC，点E为DC的中点，则EM⋅EN=（ ）

A．1B．3C．−1D．−3
【变式4-3】（24-25高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：a+b2=a2+2a⋅b+b2，a−b2=a2−2a⋅b+b2，两式相减得a+b2−a−b2=4a⋅b⇒a⋅b=14[a+b2−a−b2] 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求AB⋅AC的值；
(2)若AB⋅AC=4，FB⋅FC=−1，求EB⋅EC的值．
【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】
【例5】（24-25高一下·福建泉州·期中）在Rt△ABC中，∠A=90∘,AB=2,AC=6，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则PB·PC的取值范围为（ ）
A．−10,0B．−6,0C．0,6D．0,10
【变式5-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且AB=2，MC=MD=CD=1．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则NA⋅NB的取值范围是（ ）
A．−14,0B．0，34C．14,1D．−34,0
【变式5-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，PM⋅PN的取值范围是（ ）
A．[−1,5]B．[−1,7]
C．[0,2]D．[1,5]
【变式5-3】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题.
1.极化恒等式：a⋅b=14a+b2−a−b2，公式推导：a→+b→2=a→2+2a→·b→+b→2a→−b→2=a→2−2a·→b→+b→2⇒a·→b→=14a→+b→2−a→−b→2；
2.平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点，则AB⋅AD=14AC2−BD2；
3.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则AB⋅AC=AD2−BD2.推导过程：由AB⋅AC=12AB+AC2−12AB−AC2=AD2−12CB2=AD2−DB2.
(1)如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN=2BC，点E为DC的中点，求EM⋅EN的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为22+2，AB=MN=4.若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，求PM⋅PN的取值范围；
(3)已知△ABC中，AB=4，AC=2，且|λAB+2−2λAC∣λ∈R的最小值为23，若P为边AB上任意一点，求PB⋅PC的最小值.
【题型6 等和线解决系数和问题】
【例6】（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，已知BD=12DC，AE=2EC，P是线段AD与BE的交点，若AP=mAB+nAC，则m+n的值为（ ）
A．37B．67C．1D．97
【变式6-1】（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE=xBA+12yBC，则x+y的值为（ ）
A．1B．3C．5D．8
【变式6-2】（24-25高一下·山东济南·阶段练习）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且AP=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围为（ ）
A．1,3B．1,2C．2,3D．1,4
【变式6-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足AM=3MB，N是AC上的点且满足AN=NC，CM与BN交于P点，且AP=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．12B．23C．34D．45
【题型7 等和线解决其他系数问题】
【例7】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BD与CE交于点F．若AF=xAD+yABx,y∈R，则x−y=（ ）
A．−13B．0C．13D．1
【变式7-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，若AF=λAB−μAD，则λ+μ=（ ）

A．−54B．−14C．14D．54
【变式7-2】（2025·河南许昌·三模）在△ABC中，点D在BC上，且满足BD=14BC，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则1x+2y的最小值为（ ）
A．22B．43C．4+23D．9+42
【变式7-3】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在△ABC中，点D满足BD=34BC，点E在射线AD（不含点A）上移动，若AE=λAB+μAC,则(μ+2)2+λ2的取值范围是（ ）
A．[4,+∞)B．(4,+∞)C．(1,+∞)D．[1,+∞)
一、单选题
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量a=2,−1,b=x,2，若a⊥b，则a−b的值为（ ）
A．10B．35C．32D．10
2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）在△ABC中，BC=10，M为BC中点，AM=4，则AB⋅AC=（ ）
A．−9B．−16C．9D．16
3．（2025·全国·模拟预测）已知向量a=2,0，a−b=3,−3，则csa−2b,a=（ ）
A．−35B．75C．277D．77
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D的三等分点，G为EF的中点，记AG=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．1712B．1312C．712D．512
5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量a=1, 2, b=2, 3，则下列结论不正确的是（ ）
A．b−a⋅a=3B．a+b⊥21a−13b
C．2b−a=26D．b在a方向上的投影向量为85, 165
6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D是AC边的中点，且点M满足BD=3BM，若AM=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．12B．23C．34D．56
7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：a⋅b=14AD2−BC2，我们称为极化恒等式.在△ABC中，M是BC中点，AM=3，BC=10，则AB⋅AC=（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=13EF，则AF⋅BC的值为（ ）
A．34B．18C．−58D．118
二、多选题
9．（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）设向量a→=7,−1，b→=2,−1，下列结论正确的是（ ）
A．a=50
B．a−3b⊥b
C．a与b夹角的余弦值为31010
D．a在b方向上的投影向量的坐标为(6,−3)
10．（24-25高一下·浙江·期中）已知△ABC的内角A=π3，AB=5，AC=3，O为△ABC所在平面上一点，设AO=mAB+nAC，则下列说法正确的是（ ）
A．若OA+OB+OC=0，则m=23
B．若OA+OB+OC=0，则m+n=23
C．若OA=OB=OC，则m+3n=45
D．若OA=OB=OC，则m+2n=25
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=10，BC=8，BM=λBC，DN=μDC，其中0≤λ，μ≤1，MN=5，则（ ）
A．λ+μ是定值B．若μ=35，则AN=58AD+35AM
C．AM⋅AN>90D．AM+AN2≤521
三、填空题
12．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知平面向量a=(x,1)，b=(1−x,2x)，若a⊥(a+b)，则|a|= ．
13．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在△ABC中，AD为中线，AD=3,BC=2，则AB⋅AC等于 .
14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥AD，E是CD的中点，若AC=λBD+μAE，则λ+μ= .
四、解答题
15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量a=x,0，b=1,x，且a−b=1．
(1)求x的值；
(2)求向量a与b的夹角；
(3)求向量a在b方向上的投影向量的模．
16．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知向量a=1,x−1，b=2,3.
(1)若b⊥(a+b)，求x的值；
(2)若向量c=1,2，b//a+c，求a与b的夹角的余弦值.
17．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且BE=λBC(0