2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)重难专攻(十一)三角形中的范围与最值问题学生版+解析

这是一份2026年高考数学一轮复习重点难点题练习(新高考)重难专攻(十一)三角形中的范围与最值问题学生版+解析，共9页。试卷主要包含了三角形面积最值与范围等内容，欢迎下载使用。

重难点题型一 三角函数值的最值与范围
1．（24-25高三上·湖北·开学考试）如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023·四川·模拟预测）已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数满足：对，有，若存在唯一的值，使得在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重难点题型二 基础题型：转化为角的范围问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大小；
(2)求的取值范围.
3．（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
重难点题型三 三角形面积最值与范围
1．（2025·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
2．（24-25高三下·广东·开学考试）设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·四川宜宾·月考）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
5．（2025·安徽马鞍山·二模）在中，点、分别为边、的中点，且，，则面积的最大值为 .
6．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积与周长的比值的最大值..
7．（2025·湖北·模拟预测）中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求的大小；
(2)点为直线上一点，，且，求面积的最小值．
重难点题型四 三角形边长及周长的最值与范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ．
2．（2024·全国·二模）在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围．
4．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知.
(1)求；
(2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围.
5．（24-25高三下·福建·月考）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A的值．
(2)若，求周长的取值范围．
6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）锐角中，角所对的边分别为且．
(1)证明:;
(2)求的周长的取值范围．
重难点题型五 三角形中线的最值与范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广东·八校联测）在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
5．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
6．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
重难点题型六 三角形角平分线的最值与范围
1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是 ．
3．（24-25高三上·江西·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC上一点，且AD平分，，求AD的最大值．
4．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
5．（2025·湖北宜昌·二模）如图所示，在中，，AD平分，且.

(1)若，求的长度；
(2)求的取值范围；
(3)若，求为何值时，最短.
重难点题型七 三角形“四心”问题
1．（2023·四川凉山·校联考一模）设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．6B．C．D．3
3．（2024高三·全国·专题练习）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若为的重心，则B．若为的外心，则
C．若为的垂心，则D．若为的内心，则
4．（2023·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
5．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选题）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，，分别表示，的面积，则
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为
6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选题）下列四个命题为真命题的是（ ）．
A．已知向量，，则的最大值为
B．若向量，，则在上的投影向量为
C．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D．若，则动点的轨迹一定通过的重心
7．（2023·河北邢台·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且外接圆的半径为．
(1)求C的大小；
(2)若G是的重心，求面积的最大值．
重难点题型八 “隐圆”问题
1．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
4．（2024·全国·模拟预测）已知：在中，M，N，P三点分别在边上，则，，的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形中，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 ．

重难点题型九 与正切有关的最值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
2．（2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A．B．C．1D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.
(1)若，判断的形状;
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
重难点题型十 最大角问题
1．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为
A．B．C．D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
3．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ．
4．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ．
重难点题型十一 三角形中的平方问题
1．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
2．（23-24高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设的面积为S，．
(1)当时，若，求角A；
(2)当时，求的最大值.
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，求的取值范围.
重难点题型十二 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形
1．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内一点，当取到最小值时，则称该点为的“费马点”.当的三个内角均小于时，费马点满足如下特征：.如图，在中，，，则其费马点到三点的距离之和为（ ）
A．4B．2
C．D．
2．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知，，分别为的三个内角的对边，若点在的内部，且满足，则称为的布洛卡（Brcard）点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：（注：）.则（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高三上·安徽蚌埠·开学考试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三上·河南南阳·期末）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020高三·全国·专题练习）以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现.如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
重难点题型十三 托勒密定理
1．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川南充·二模）托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．D．
重难专攻（十一）三角形中的范围与最值问题
目录●重难点题型分布
重难点题型一 三角函数值的最值与范围
1．（24-25高三上·湖北·开学考试）如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积
【分析】根据题设条件可得，然后利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求最大值.
【详解】由余弦定理可得，
整理得到，
，则，
整理得到：，
而，故，
而，故，
设，
则
，其中为锐角且，
因为，故，
故，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：B.
2．（2023·四川·模拟预测）已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式
【分析】由题意可知，或者，，即可求解.
【详解】由，
因，必有，或者，，
由，，分别得到，．
于是，，或者，，得的最大值为．
故选：D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数满足：对，有，若存在唯一的值，使得在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】由对，有，可得，，结合y=fx在区间上单调递减，可得，又，可得是其唯一解，则有，再结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】由对，有，
即可得，即，
则，
可得，
即，即，
则，
由y=fx在区间上单调递减，
故，即，
由存在唯一的值，使其成立，故，即有，
则，，即.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对存在唯一的值的理解，结合，，且，可得，则需.
4．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】根据题意分类讨论和两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可.
【详解】若，则，
又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值，
所以当，即时，
只需满足，此时，
当，即时，
函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则，
此时，
综上，，即的取值范围是.
故选：D
重难点题型二 基础题型：转化为角的范围问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、为的内角，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因为，故，
得，所以，
因此的取值范围为．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大小；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴或，
当时，此时，所以舍去，所以.
（2）
（或者用积化和差公式一步得到）
∵，∴，所以A为锐角，又，
所以，所以，
所以，
所以.
3．（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由是锐角三角形可求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，
则有，故.
（2）因为为锐角三角形，则，所以，，
所以，，则，
由正弦定理可得，
所以，，
即的取值范围是.
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值.
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
重难点题型三 三角形面积最值与范围
1．（2025·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值
【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求.
【详解】对进行化简，
通分可得，
即，又，解得；
已知，由余弦定理，可得，
根据基本不等式（当且仅当时取等号），
则，可得，
三角形面积，当且仅当时等号成立,
故选：A.
2．（24-25高三下·广东·开学考试）设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】将已知条件化简可求得的值，再利用三角形面积的关系列出关于的等式，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】，
，即，
，，，
为的平分线且与BC交于点，，
，即，
又，解得，当且仅当时等号成立，
的面积，
的面积的最小值为.
故选：B.
3．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，∵，∴，
∵，当且仅当时取等号，因此，
∴面积，∴当时，的面积取得最大值．故选：C．
4．（24-25高三上·四川宜宾·月考）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，则，整理可得，利用正弦定理可得，
又因为，则，可得，即，且，所以.
（2）由正弦定理，可得，
由题意可知：，解得，
则，可得，即，
又因为面积，
所以面积的取值范围为.
5．（2025·安徽马鞍山·二模）在中，点、分别为边、的中点，且，，则面积的最大值为 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值
【分析】设，则为的重心，设，，则，，，，由勾股定理得出，结合基本不等式可求出的最大值，再由可求出面积的最大值.
【详解】因为点、分别为边、的中点，设，则为的重心，
所以，，，
设，，则，，，.
因为，在中，由勾股定理可得，即.
由基本不等式可得，即，
当且仅当时，等号成立，
因为，则
，
当且仅当时，等号成立，
即面积的最大值为.
故答案为：.
6．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积与周长的比值的最大值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）首先将原等式利用和差倍角的余弦公式以及正弦定理进行化简，得到关于角的三角函数，进而可求得角的值.
（2）首先根据余弦定理求得关于的等式，然后求三角形的面积和周长，化简的表达式，利用基本不等式和三角形的边长性质求得的范围，进而可求得的最大值.
【详解】（1）因为，所以.
因为，所以.
所以.
化简得：
根据正弦定理得：.
因为，所以，
所以.解得，又，所以.
（2）由（1）知又，
则的面积为，的周长为，
所以.
由余弦定理得：，化简得，
所以.
又，所以，
化简得，所以，
所以.
令，则，
所以，
所以当时，取最大值为.
7．（2025·湖北·模拟预测）中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求的大小；
(2)点为直线上一点，，且，求面积的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
（2）设，结合正弦定理求出，再利用三角形面积公式列出函数关系，借助正切函数的性质及基本不等式求出最小值.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
整理得，而，则，
两边平方得，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，设，则，，
在中，，，
在中，由正弦定理得，
令，则，
因此的面积，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最小值为.
重难点题型四 三角形边长及周长的最值与范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，因为，
所以，即，
因为，所以，解得
因为的面积等于，则，得，
在中，由余弦定理得
的周长为，
当且仅当时等号成立，
综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时，
的周长取到最小值，且最小值为．
故答案为：.
2．（2024·全国·二模）在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、基本不等式求积的最大值
【分析】根据正弦定理边角化可得，即可利用正弦和差角公式求解，利用等面积法可得，进而根据基本不等式即可求解.
【详解】，
，
即，
，
，
.
，得，
由，得，当且仅当时，等号成立.
又的周长，当且仅当时，等号成立.
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围．
【解析】（1）选①，由可得，
，则，可得，；
选②，由可得，
即，即，
，则，故，；
选③，由及正弦定理可得，
、，则，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，则，，
，
因为为锐角三角形，则，可得，
所以，，则，
故.
4．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知.
(1)求；
(2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为
由余弦定理有：，
因为为的内角，所以
（2）因为由余弦定理有：=，
所以
设，由点在边上，且为锐角三角形，所以，所以.
在中，由，
所以，所以，
所以
由是定义域上的减函数，所以，
所以的范围为.
5．（24-25高三下·福建·月考）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A的值．
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，
所以，即，
由余弦定理，所以，又，所以；
（2）由正弦定理得，
∴，.
∴
在锐角中，，，又∵，∴，∴，
综上可得，∴，
∴∴周长的取值范围为.
6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）锐角中，角所对的边分别为且．
(1)证明:;
(2)求的周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）由两角和差以及正弦定理即可运算证明；
（2）由正弦定理表示出，求出的范围，再结合三角函数性质即可得解.
【详解】（1）因为，，
则；
（2）由，得，
故，
因为为锐角三角形，所以，即，所以，
则，所以周长的取值范围为.
重难点题型五 三角形中线的最值与范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解.
【详解】，由正弦定理可得，
即，则，
又，所以，因为，当且仅当时等号成立，
所以，则．
设边上中线的长度为，则，
所以边上中线长度的最大值为．
故选：C
2．（2023·江苏南通·模拟预测）在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、数量积的运算律
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.
【详解】解：由余弦定理得，
即，即，
所以，
∴，当且仅当b=c时等号成立.
因为，
所以，
，
∴，
故选：C．
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由是边上的中线，得，
则，
由正弦定理得，得，，
则，
而，
，
于是
，
由为锐角三角形，，得，即，
则，，因此，即，
所以的取值范围为.故选：C
4．（24-25高三上·广东·八校联测）在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）在中，由正弦定理及，得
，即，而，，
解得，又，所以.
（2）由及，余弦定理得，又，解得，
由得，
即，则，所以.
（3）因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
为锐角三角形， ，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，即边上的中线的取值范围为．
5．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【解析】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
6．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用正弦定理边化角即可得证；
（2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理，得，
故，即，当且仅当时等号成立，
由正弦定理可得，
又，故，即.
（2）
设为的中点，则有，
两边平方得，，
即，
故，即，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为4.
重难点题型六 三角形角平分线的最值与范围
1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】为的平分线，又，
设，则，，
又为锐角三角形，故，解得，在中，由正弦定理得，
即，在中，由正弦定理得，
即
，
由，得，
故，所以．
3．（24-25高三上·江西·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC上一点，且AD平分，，求AD的最大值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，
整理得，由余弦定理得，而，所以.
（2）由平分，得，而，
则，即，又，
因此，
当且仅当，即时取等号，则，所以AD的最大值为.
4．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【解析】（1）由题意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又为锐角三角形，则，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因为为锐角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此线段长度的取值范围.
5．（2025·湖北宜昌·二模）如图所示，在中，，AD平分，且.

(1)若，求的长度；
(2)求的取值范围；
(3)若，求为何值时，最短.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）已知条件结合正弦定理得，在和分别利用正弦定理表示出，再由可得，从而可以求解；
（2）设，由即可求解；
（3）由余弦定理和三角形面积公式可用∠BAC表示出.方法一：令，则，由辅助角公式即可求解；方法二：利用和三角恒等变换公式，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为AD平分，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，得，所以；
（2）因为，设，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以；
（3）由余弦定理得，
因为，所以，因为，所以，
所以，
方法一：
令，则，
所以（其中），
所以当时，取得最小值4，
即当时，取得最小值4，此时，
所以，
因为，所以，所以，
由（2）知，所以，即当时，最短.
方法二：
，
当且仅当，即时，故此时，即.
重难点题型七 三角形“四心”问题
1．（2023·四川凉山·校联考一模）设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为重心、内心分别是，且，所以，（r为内切圆的半径），
又.且.
解得.
所以.
当且仅当时，即为等边三角形有最小值.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．6B．C．D．3
【答案】D
【解析】如图所示：设.
由题意可得，，化简可得，由是三角形的外心可得，是三边中垂线交点，
则，代入上式得，，即
依据题意，为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入得，则
结合不等式可得，的最大值为3
故选：D
3．（2024高三·全国·专题练习）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若为的重心，则B．若为的外心，则
C．若为的垂心，则D．若为的内心，则
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的坐标表示、数量积的运算律
【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可.
【详解】在中，，，为内的一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，
对于选项A：若为的重心，则，，则，
所以，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故选项A不正确；
对于选项B：若为的外心，其必在直线上，
所以，故选项B正确；
对于选项C：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，故选项C正确；
对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为，
则，得，则，
此时，
若，由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，即选项D正确.
故选：A.
4．（2023·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示、数量积的运算律
【分析】将等式化简整理得，作出中线，进一步将其化成，可得动点的轨迹为的垂直平分线，即得D项.
【详解】由可得，，
即, (*)
如图，取的中点为，连，则，
因，故得，,
代入(*)得，,即,
故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心.
故选：D.
5．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选题）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，，分别表示，的面积，则
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】向量与几何最值、根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示
【分析】A选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，即可判断；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心； C选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值.
【详解】对于A：如图，分别为的中点，
，
则，故，
所以，
故，A正确；
对于B：过点作⊥于点，取的中点，连接，
则，，
则，
故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；
对于C： 分别表示方向上的单位向量，
故，
，故⊥，
由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，
则点是的内心，C错误.
D选项，设中点为，
因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，
结合上图，
，
当为直径时最大，最大为，故D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：为所在平面内的点，且，则点为的重心，
点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，
点为所在平面内的点，且，则点为的外心，
点为所在平面内的点，且，则点为的内心，
6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选题）下列四个命题为真命题的是（ ）．
A．已知向量，，则的最大值为
B．若向量，，则在上的投影向量为
C．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D．若，则动点的轨迹一定通过的重心
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】正弦定理及辨析、已知向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、求投影向量
【分析】把模平方转化为数量积运算，然后结合三角恒等变换求最大值判断A，根据投影向量的概念计算判断B，利用正弦定理判断C，令边中点为，确定是与平行的向量，由此可确定结论，从而判断D．
【详解】对于A，，
则，令，，
则，
当时，取最大，最大值为，故A正确；
对于B，直接根据在上的投影向量，故B错误；
对于C，根据正弦定理可求得，所以，
所以，且，，可求得，故C错误；
令边中点为，则，再根据正弦定理，
所以，
代入到，
因此点的轨迹在直线上，所以点的轨迹经过重心，故D正确．
故选：AD
7．（2023·河北邢台·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且外接圆的半径为．
(1)求C的大小；
(2)若G是的重心，求面积的最大值．
【解析】(1)由正弦定理，得
因为，
所以，所以,因为,故．
(2)由（1）得，
所以，得，
当且仅当时，等号成立．
连接BG，并延长BG交AC于D，则D是AC的中点，且，
过G作于F，过B作于E，则，
所以．故面积的最大值为
重难点题型八 “隐圆”问题
1．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.
【答案】/
【解析】以的中点为原点建立平面直角坐标系，，，
设，则，
当时要使，则在坐标原点，显然不成立，
当时要使，则，解得，显然不成立，
所以且，因为
所以，即
整理得，(且)
所以当点的纵坐标为时，的面积取得最大值为.
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
【答案】
【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则，，
设，则，，
因为
所以，即：
整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为2的圆上.
在轴上取，连接
可得，所以，所以
由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.
此时最小为.
故答案为．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，
由，得，又，则，，
设，由角平分线定理得，
当时，，得，此时；
当时，直线的斜率分别为，
则，又，
由到角公式得，即，
得，
整理得，即，点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
因此当在点处时，的面积最大，此时，
在中，由余弦定理得.
故答案为：
4．（2024·全国·模拟预测）已知：在中，M，N，P三点分别在边上，则，，的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形中，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 ．

【答案】/
【难度】0.4
【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算
【分析】延长，交于点得为正三角形，且得、、的外接圆有唯一公共点为密克点Q，接着由题给条件推出是直角三角形，进而得其外接圆半径，再在中由余弦定理求出即可得的最小值.
【详解】延长，交于点E，则由题可知为正三角形，为正三角形，

由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，
故点Q在的外接圆上，如上图，
又由题，,
所以，故，
所以是直角三角形，而，
故外接圆半径，且圆心为，
在中，由余弦定理，

所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确作出辅助线，从而创造密克环境找到并明确点位置，从而结合已知条件得出是直角三角形且其外接圆半径以及是点B与外接圆上的点的距离，于是求出即可求出.
重难点题型九 与正切有关的最值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，所以，
，
由正弦定理得，所以，
因为为锐角三角形，所以，，，
由，得，，
，
，所以．
故答案为：．
2．（2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形
【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解.
【详解】，则，设，则，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
因，两式相比，可得，
所以，所以，
由正弦定理得，所以，
所以，化简得，
所以或（舍去），又，所以，
所以.
故选：C
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算、求含tanx的二次式的最值、余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果.
【详解】，由正弦定理得：，即，
由余弦定理知：，，
，即，
由正弦定理得：，
，
整理可得：，
为锐角三角形，，，，
，即，
，
，
，，，，
，，，
即的取值范围为.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴所以
因此
设，∵是锐角三角形，∴，∴
∴，在上单调递增，
∴，
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为，所以，
化简，得：，解得：，
，，
，
＝
＝＝，
当且仅当时取得最小值.
故选：C
6．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.
(1)若，判断的形状;
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)是以为斜边的直角三角形.
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正、余弦定理判定三角形形状、已知弦（切）求切（弦）、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）根据等差中项性质及三角形内角和性质得，再结合已知和余弦定理得，即可判断三角形形状；
（2）先根据锐角三角形性质得，然后化切为弦结合三角恒等变换化简目标函数，利用正弦函数性质求解范围即可.
【详解】（1）是与的等差中项，.
.
.
由余弦定理得：，即，
化简得.，即.
.，
是以为斜边的直角三角形.
（2）是锐角三角形，
，解得，
.
由得，，
，即.
的取值范围为.
重难点题型十 最大角问题
1．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，化简得.，当且仅当时等号成立，由于故为锐角，故，所以.故选A.
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，
由，得，又，则，，
设，由角平分线定理得，
当时，，得，此时；
当时，直线的斜率分别为，
则，又，
由到角公式得，即，
得，
整理得，即，点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
因此当在点处时，的面积最大，此时，
在中，由余弦定理得.
故答案为：
3．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、求csx(型)函数的值域、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】先利用余弦定理结合基本不等式求得，然后可求的最大值.
【详解】∵，∴,
.
当且仅当，即时等号成立.
又，∴，
∴.
故答案为：
4．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、求csx(型)函数的值域、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】先利用余弦定理结合基本不等式求得，然后可求的最大值.
【详解】∵，∴,
.
当且仅当，即时等号成立.
又，∴，
∴.
故答案为：
重难点题型十一 三角形中的平方问题
1．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、由导数求函数的最值（不含参）、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，令，结合导数可求出的取值范围，即为所求.
【详解】（1）因为，，则，
由正弦定理得，
，所以，，
因为、，则，
所以，，即．
（2）在锐角中，由，可得，
则，
又，则，
所以，的取值范围为，
又，设，设，其中，
，
由可得，由可得，
所以，在上递减，在上递增，
所以，，
又因为，，故的取值范围为，
即的取值范围为.
2．（23-24高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、利用函数单调性求最值或值域、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解.
（2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
（2）因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即．
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即的取值范围为.
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设的面积为S，．
(1)当时，若，求角A；
(2)当时，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)．
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再利用已知角将其转化成角的三角方程，求解即得；
（2）由余弦定理和基本不等式求得的范围，利用面积公式将所求式转化成角的三角函数式，从而求出其范围，得最大值.
【详解】（1）当时，，即，由正弦定理得，，
因，故，化简得，从而，
由于，所以．
（2）当时，，
由余弦定理得，，
所以（*），
即，当且仅当时取等号，
即，又由（*）可得：．
因为，所以，
由于,，故,此时正切函数为增函数，
且时，，所以，
所以当时，的最大值为．
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】（1）根据题意由正弦定理以及两角和的正弦公式可得，即可得，结合角的范围可得；
（2）利用正弦定理可得，，，代入表达式利用三角恒等变换可得，再根据角的范围由三角函数值域即可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得
，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，
即的取值范围是.
重难点题型十二 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形
1．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内一点，当取到最小值时，则称该点为的“费马点”.当的三个内角均小于时，费马点满足如下特征：.如图，在中，，，则其费马点到三点的距离之和为（ ）
A．4B．2
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，为等腰三角形，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
在中，由余弦定理可得：
，
即，解得：，
，其费马点到，，三点距离之和为4．
故选：A
2．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知，，分别为的三个内角的对边，若点在的内部，且满足，则称为的布洛卡（Brcard）点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：（注：）.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形
【分析】结合图象,求得，,分别在，，中利用正弦定理可求得，，，三数相加化简即可.
【详解】如图所示，
,
故,
同理，,
在中，由正弦定理得：
,
即,
所以，
在中同理可得：
,
在中同理可得：
,
所以
，
故选：B.
3．（21-22高三上·安徽蚌埠·开学考试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率．
【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积
S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2，
三角形ABC的面积S△ABC＝＝，
所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，
故选：A．
4．（22-23高三上·河南南阳·期末）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、平面向量数量积的定义及辨析、用和、差角的余弦公式化简、求值、余弦定理及辨析
【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简，可得，，再根据等面积法即可求得，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，从而求得答案.
【详解】,
即 ,
又 ,
,
即 ,
, 又.
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知, ,,
,
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题.
5．（2020高三·全国·专题练习）以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现.如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】几何概型-面积型
【分析】设三角形ABC边长为2，分别求出阴影部分与三角形ABC的面积，其面积之比即为点取自于该勒洛三角形部分的概率.
【详解】设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，图中勒洛三角形面积为
，
面积为，
所求概率
故选：C.
【点睛】本题考查了几何概型求概率问题，考查了运算求解能力和应用意识，属于中档题目.
重难点题型十三 托勒密定理
1．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因为，，
因此，
.
故选：C.
2．（2022·四川南充·二模）托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】几何图形中的计算
【分析】由托勒密定理可得，由可求出.
【详解】由题，设，
由托勒密定理可得，所以，
又因为，，
所以
.
故选：D.
3．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】记，利用余弦定理表示出，然后根据题中结论可得.
【详解】设，则，
在中，由余弦定理得，
由题知，，即，
所以，当且仅当四点共圆时取等号，
所以的最大值为.
故选：D

4．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因为四边形ABCD内接于半径为的圆，
它的对角互补，所以，
所以,所以，
所以四边形ABCD的周长为．
故选：A．