2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点18平面向量中的最值(范围)、新定义问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点18平面向量中的最值(范围)、新定义问题(学生版+解析)，共33页。

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\l "_Tc3368" 【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc3368 \h 2
\l "_Tc24876" 【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc24876 \h 3
\l "_Tc10275" 【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc10275 \h 3
\l "_Tc6692" 【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc6692 \h 4
\l "_Tc32670" 【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】 PAGEREF _Tc32670 \h 5
\l "_Tc11306" 【题型6 平面向量中的新定义问题】 PAGEREF _Tc11306 \h 6
1、平面向量中的最值（范围）、新定义问题
平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，复习时要加强这方面的训练.
从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对新定义、新概念的理解.
知识点1 平面向量中的最值与范围问题的解题策略
1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：
(1)定义法
①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；
②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.
(2)坐标法
①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；
②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.
(3)基底法
①适当选取一组基底，利用基底转化向量；
②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），即可得出结论.
知识点2 平面向量中的新定义问题
1．平面向量中的新定义问题的求解策略
遇到与平面向量有关的新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，结合平面向量的相关知识进行求解，验证，使得问题得以解决.
【题型1 与数量积有关的最值（范围）问题】
【例1】（2025·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2AE=3EB，在平面ABCD中，动点P满足PE⋅PB=0，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．41+4B．41−6C．213+4D．213−6
【变式1-1】（2025·江西鹰潭·二模）在Rt△ABC中，角A,B,C所对应的边为a,b,c,A=π6，C=π2，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则PC⋅PA+PB的最大值是（ ）
A．4B．2+10C．3D．1+10
【变式1-2】（2025·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,⋯,A8的边上，点M在边A1A2上，则A1M ⋅A1N的取值范围是（ ）
A．−4−22,22B．−4,4+22
C．−22,4+22D．−22,4
【变式1-3】（2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， C 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 AC⋅AB 的最大值为（ ）
A．12B．16C．18D．20
【题型2 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】
【例2】（2025·四川遂宁·模拟预测）在△ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若AF=xAB+2yACx>0,y>0，则1x+2y的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．9
【变式2-1】（2025·安徽淮北·一模）在平面四边形ABCD中，已知△ABC的面积是△ACD的面积的2倍.若存在正实数x,y使得AC=1x−4AB+1−1yAD成立，则2x+y的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】（24-25高一下·四川巴中·阶段练习）已知点G为△ABC的重心，D,E分别是AB,AC边上一点，D,G,E三点共线，F为BC的中点，若AF=λAD+μAE，则4λ+1μ的最小值为（ ）
A．6B．7C．92D．272
【变式2-3】（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值为（ ）
A．12B．33C．1D．32
【题型3 与模长有关的最值（范围）问题】
【例3】（2025·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(0,2)，则|PA+PB+PC|的最大值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【变式3-1】（2025·湖南湘西·模拟预测）已知a,b,c均为单位向量，且〈a,b〉=2π3,〈a+b,c〉=π3，则|a+b+tc|(t∈R)的最小值为（ ）
A．34B．32C．94D．32
【变式3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形ABCD中A=45∘,AB=1,AD=2，若AP=AB+xADx∈R,则AP的最小值为（ ）
A．12B．22C．1D．2
【变式3-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动点，已知圆O1和圆O2的半径都为1，且PA⋅PB=−1，则PA+PB2的最大值为（ ）
A．2B．4C．22D．23
【题型4 与夹角有关的最值（范围）问题】
【例4】（2025·江西·模拟预测）若平面向量a、b、c满足a−2c=3b−c=1，则csa−6b,3b−c有（ ）
A．最大值32B．最小值32
C．最大值−32D．最小值−32
【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量a=−1,−2，b=1,λ，若a，b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．−∞,−12B．−12,2∪2,+∞
C．−12,+∞D．2,+∞
【变式4-2】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知非零向量a,b满足a=3b，设a−b与a+b的夹角为θ，则csθ的最小值为（ ）
A．35B．45C．13D．23
【变式4-3】（2025·甘肃·一模）已知梯形ABCD中，AB // CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，点M为边CD上的动点，若∠AMB=α，则csα的范围是（ ）
A．0,17B．−17,1C．12,17D．−17,0
【题型5 平面向量中参数的最值（范围）问题】
【例5】（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知直角梯形ABCD中，A=90∘，AB//CD，且CD=2，AB=3，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设AP=λAB+μAD（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（ ）
A．1,52B．32,52C．1,53D．32,53
【变式5-1】（2025·安徽池州·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF=xAE+yDCx>0,y>0，则2−3x4y2+1的最大值为（ ）
A．12B．34C．1D．2
【变式5-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，点P是以A为圆心，半径为1的圆弧BC（包含B,C两个端点）上的一点，且∠CAB=2π3,AB=1，且AP=λAB+μACλ,μ∈R；

(1)若P为圆弧BC的中点，求λ和μ的值；
(2)若P在圆弧BC（包含B,C两个端点）上运动，求λ+μ的取值范围.
【变式5-3】（24-25高三上·河南·阶段练习）在边长为2的等边△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC．
(1)若P为△ABC内一点（不包含边界），且PB＝1，求PB⋅PC的取值范围；
(2)若AD上一点K满足DK=2KA，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC，△AMN的面积为S1，四边形BCNM的面积为S2，且S2=kS1，求实数k的最大值．
【题型6 平面向量中的新定义问题】
【例6】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）定义a⊗b=a2−a⋅b.若向量a=1,22 ，向量b为单位向量，则a⊗b的取值范围是（ ）
A．0,6B．6,12C．0,6D．−1,5
【变式6-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）我们定义：“a×b”为向量a与向量b的“外积”，若向量a与向量b的夹角为θ，它的长度规定a×b=a⋅bsinθ，现已知：在△ABC中，若AB+AC=1,CA+CB=2，则AB×AC的最大值为（ ）
A．13B．25C．12D．23
【变式6-2】（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ.我们把数量absinθ叫做向量a与b的叉乘a×b的模，记作a×b，即a×b=absinθ.
(1)若向量a=2,4，b=−3,1，求a×b；
(2)若平行四边形ABCD的面积为4，求AB×AD；
(3)若a×b=3，a⋅b=1，求a+2b的最小值.
【变式6-3】（24-25高一下·河北承德·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0