2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第十讲：第五章平面向量及解三角形章节总结(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第十讲：第五章平面向量及解三角形章节总结(精讲)(原卷版+解析)，共3页。
\l "_Tc17732" 题型一：用基底表示向量 PAGEREF _Tc17732 \h 1
\l "_Tc26447" 题型二：平面向量共线定理及推论 PAGEREF _Tc26447 \h 2
\l "_Tc11802" 题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示 PAGEREF _Tc11802 \h 3
\l "_Tc21479" 题型四：平面向量数量积（含最值，范围） PAGEREF _Tc21479 \h 5
\l "_Tc12582" 题型五：平面向量的模（含最值，范围） PAGEREF _Tc12582 \h 6
\l "_Tc13795" 题型六：向量的夹角 PAGEREF _Tc13795 \h 8
\l "_Tc30959" 题型七：投影向量 PAGEREF _Tc30959 \h 9
\l "_Tc2035" 题型八：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc2035 \h 10
\l "_Tc11932" 题型九：三角形形状问题 PAGEREF _Tc11932 \h 11
\l "_Tc27381" 题型十：三角形个数问题 PAGEREF _Tc27381 \h 12
\l "_Tc25246" 题型十一：三角形周长（边长）问题 PAGEREF _Tc25246 \h 13
\l "_Tc31860" 题型十二：三角形面积问题 PAGEREF _Tc31860 \h 16
\l "_Tc22447" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc22447 \h 20
第一部分：典型例题讲解
题型一：用基底表示向量
1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）如图，已知，，都是等边三角形，设，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设D为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知为所在平面内的一点，，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
题型二：平面向量共线定理及推论
1．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
3．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
4．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）．
A．8B．16C．18D．25
5．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .
6．（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时， ．
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
4．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
6．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，.
(1)若，求m的值；
(2)若向量，且，求向量，的夹角.
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）
1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025高一·全国·专题练习）如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴、轴的非负半轴上滑动，为的中点，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
4．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
5．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
6．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 .
7．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 .
题型五：平面向量的模（含最值，范围）
1．已知平面向量满足 ，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
2．已知向量满足，且的夹角为，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为 .
5．如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，．
(1)以为基表示；
(2)若，，，，求的最小值．
6．如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.

(1)设，用和表示，并求实数t的值；
(2)求的取值范围.
已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，求的取值范围.
题型六：向量的夹角
1．已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ．
2．若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
3．已知向量，．
(1)若，求x；
(2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
4．已知平面向量，满足：，，与的夹角为.
(1)求；
(2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围.
5．已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中
(1)若 且， 求的坐标;
(2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围.
6．已知向量满足．
(1)求向量的夹角；
(2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
题型七：投影向量
1．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．C．D．
4．在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
5．已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量，满足：，，．
(1)求与的夹角；
(2)求向量在向量上的投影向量的模．
题型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）已知中，的对边分别为．若，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，，则 ．
5．（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ．
6．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知，且，则 ．
题型九：三角形形状问题
1．记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
2．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
3．在中，若对任意恒成立，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不确定
4．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
5．（多选）记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等边三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则是钝角三角形
6．在中，已知，则的形状为
题型十：三角形个数问题
1．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（ ）
A．B．
C．D．
2．的内角A，B，C的对边分别为，，，，，如果有两解，则的值可能为（ ）
A．9B．C．11D．12
3．已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（ ）
A．9B．8C．10D．11
6．（多选）记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ）
A．2B．C．3D．
7．（多选）在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（ ）
A．6B．2C．4D．8
在△ABC中，请给出一个值 ，使该三角形有两解.
题型十一：三角形周长（边长）问题
1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·云南昭通·期中）锐角的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围为 ．
3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知向量，，，其中A是的内角，.
(1)求角A的大小；
(2)若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围.
4．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
5．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，求B的取值范围；
(3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围．
6．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
7．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
8．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围.
题型十二：三角形面积问题
1．（24-25高三下·河南信阳·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则面积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
3．（24-25高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
4．（24-25高二上·湖南湘西·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．
(1)求角A；
(2)若，求面积的取值范围．
5．（24-25高三上·四川资阳·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
6．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圆的周长和面积.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
7．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设，
(1)求角；
(2)若，且，求面积的最大值.
8．（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
9．（24-25高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C的大小；
(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
10．（23-24高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
第二部分：新定义题
1．（多选）（24-25高一下·山东青岛·期末）“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在中，当最大内角小于时，费马点P满足；当最大内角不小于时，最大内角的顶点为费马点.若，，，点P为的费马点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到．
(1)若，求的值；
(2)射线上的点满足．
①求；
②求的最小值．
3．（24-25高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：
①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且
(1)求角；
(2)求；
(3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值．
4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）三角形内到三个顶点距离之和的最小的点称为“费马点”，当的三个内角均小于时，满足的点为其费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为其费马点.
(1)在中，角的对边分别为，满足，.
①若，求，并求费马点到顶点的距离之和；
②求周长的取值范围.
(2)若是平面内的向量，且，，求的最小值.
5．（24-25高一下·辽宁·期末）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上．
(1)若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；
(2)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值；
(3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值.
第10讲：第五章 平面向量及解三角形 章节总结
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc27385" 第一部分：典型例题讲解 PAGEREF _Tc27385 \h 1
\l "_Tc17732" 题型一：用基底表示向量 PAGEREF _Tc17732 \h 1
\l "_Tc26447" 题型二：平面向量共线定理及推论 PAGEREF _Tc26447 \h 3
\l "_Tc11802" 题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示 PAGEREF _Tc11802 \h 7
\l "_Tc21479" 题型四：平面向量数量积（含最值，范围） PAGEREF _Tc21479 \h 10
\l "_Tc12582" 题型五：平面向量的模（含最值，范围） PAGEREF _Tc12582 \h 15
\l "_Tc13795" 题型六：向量的夹角 PAGEREF _Tc13795 \h 21
\l "_Tc30959" 题型七：投影向量 PAGEREF _Tc30959 \h 25
\l "_Tc2035" 题型八：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc2035 \h 28
\l "_Tc11932" 题型九：三角形形状问题 PAGEREF _Tc11932 \h 30
\l "_Tc27381" 题型十：三角形个数问题 PAGEREF _Tc27381 \h 33
\l "_Tc25246" 题型十一：三角形周长（边长）问题 PAGEREF _Tc25246 \h 37
\l "_Tc31860" 题型十二：三角形面积问题 PAGEREF _Tc31860 \h 45
\l "_Tc22447" 第二部分：新定义题 PAGEREF _Tc22447 \h 56
第一部分：典型例题讲解
题型一：用基底表示向量
1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）如图，已知，，都是等边三角形，设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用图形，根据向量的线性运算求解.
【详解】由题，可得，，
所以.
故选：A．
2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设D为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，以此可解决此题．
【详解】根据题意可知.
故选：B.
3．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可.
【详解】因为，所以是的中点，，
因为，所以是上靠近的三等分点，，
如图，连接，，作出平行四边形，

由题意得
，故C正确.
故选：C
4．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知为所在平面内的一点，，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用平面的线性运算法则求解即可.
【详解】因为为的中点，所以，
又，所以.
所以.
故选：A
5．（多选）（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可.
【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；
对于，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于，，所以，故D正确．
故选:ABD．
题型二：平面向量共线定理及推论
1．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题设得，进而有，根据三点共线有，即可得.
【详解】由，得，则，
因为B，P，N三点共线，所以，所以.
故选：B
2．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，然后根据“1”的代换结合均值不等式求解最小值即可.
【详解】，
因为，，所以，
又，，三点共线，所以.
由于，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
故的最小值为.
故选：B
3．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.
【详解】由点在线段上，，得，
而点为线段上除端点外的任意一点，则，且，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9.
故选：D
4．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ）．
A．8B．16C．18D．25
【答案】D
【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解.
【详解】由是的中点得，所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是25.
故选：D
5．（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值.
【详解】因为点在上，所以，
因为是的中点，所以，
又因为，（，），
所以，
所以，，计算可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
6．（24-25高一下·上海·期末）若等边的边长为3，N为AB的中点，且AB上一点M满足：（，），则当取得最小值时， ．
【答案】
【分析】利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出，再利用数量积的运算律求解即得.
【详解】由AB上一点M满足：，得，而，
则，当且仅当，即时取等号，
因此当取得最小值时，，，而，
由等边的边长为3，得，
所以
.
故答案为：
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示
1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解.
【详解】由向量，，得，
由，得，
所以.
故选：B
2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数量积的坐标运算即可.
【详解】因为，所以，得，所以.
故选：B
3．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】A
【分析】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数.
【详解】因为，，所以，
由，得，解得.
故选：A
4．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，若向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据共线的坐标关系即可求解.
【详解】因为向量，且，
所以存在实数，使得，
即，即
解得，故，
故选：D
5．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解；
（2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）∵向量，，
∴，解得.
（2）∵向量，∴.
∵，
∴，解得.
6．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量，.
(1)若，求m的值；
(2)若向量，且，求向量，的夹角.
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示得出和的坐标；再根据平面向量垂直的坐标表示列出方程求解即可.
（2）先根据平面向量线性运算的坐标表示及向量平行得出，从而得；再根据平面向量模及数量积的坐标运算得出，，；最后根据平面向量夹角的计算方法即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，.
又因为，
所以，解得：或.
（2）因为，，
所以，.
又因为，，
所以，解得：，
则.
所以，.
设向量，的夹角为，
由，得
所以向量，的夹角为
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）
1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果
【详解】正八边形中，，
所以，，
连接，过点作，交、于点、，交于点，
设，
中，由余弦定理得，，
△OAF中，，
所以，解得，
，解得，
所以，
当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，
此时取得最小值为，
当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为，
此时取得最大值为，
因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是．
故选：A．
2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知是边长为2的正八边形内的一点，为其中心，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，然后求出正八边形的内角大小，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果.
【详解】由正八边形的对称性可知，
，
易知正八边形的每个内角为，
设与的夹角为，则，
所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值.
如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点，
可知当在线段上时，取得最大值，，
此时.
当在线段上时，取得最小值，此时，
此时，
故的取值范围为.
故选：A.

3．（2025高一·全国·专题练习）如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴、轴的非负半轴上滑动，为的中点，则的最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则点的坐标，再应用数量积的运算律计算结合辅助角公式应用正弦函数值域求解即可.
【详解】设，则，，
由题意可得，
，
所以
，其中，
所以的最大值为．
故选:B．
4．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解.
【详解】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，，.
设点.
因为点E在线段上，所以设，其中，
所以，所以，
所以.
故选：D.
5．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值.
【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因，易推得，则，，
设，其中，则，，
于是，，
故当时，取得最小值为.
故答案为：D．
6．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为 .
【答案】
【分析】以点为原点，建立平面直接坐标系，得直线的方程为，设点，利用数量积的坐标运算得，最后由二次函数即可求解.
【详解】由题意：以点为原点，建立平面直接坐标系，则，
所以直线的方程为，设点，
所以，
所以，
当时，的最小值为：.
故答案为：.
7．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）已知中，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】由题设，取，结合平面向量基本定理，可得为等腰直角三角形，再建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，结合二次函数配方法求得最值即可．
【详解】取，连接，如图所示，
则，
设，则B，D，E三点共线，
由，可知当时，有最小值，
故，即为等腰直角三角形，
以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，设，，
则，，
故，
故当时，可得的最小值是
故答案为：
题型五：平面向量的模（含最值，范围）
1．已知平面向量满足 ，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】设，得，则，再由向量的模公式求解即可．
【详解】设，
因为，所以，得，
得，
则，
当时，取得最小值，为3.
故选：D
2．已知向量满足，且的夹角为，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据平面向量模长的坐标表示和数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，且的夹角为，
所以，，
所以.
故选：B
3．已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，求出其取值范围，再进行判断即可.
【详解】如图：
设，，因为，，，，
所以可取，，由题意点在第四象限，设，，则.
所以.
因为，所以，所以.
所以，
所以.
故选：B
4．已知在中，，，是线段上的动点，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】依题意作图并建立坐标系，如图，可设，利用数量积和模的坐标运算得，利用余弦函数值域求解.
【详解】依题意作图并建立坐标系，如图，，
可设，
则，，
则，
由，
得，，，
又因为，所以，故.
故答案为：
5．如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，．
(1)以为基表示；
(2)若，，，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可；
（2）根据结合数量积的运算律计算即可.
【详解】（1）
．
（2）
，
故当时，取得最小值，所以．
6．如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.

(1)设，用和表示，并求实数t的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合题意求得、、的坐标，然后求出，，结合平面向量基本定理求出和表示的式子，再根据B、P、D三点共线，列式算出实数t的值；
（2）根据平面向量的坐标运算法则求出，然后根据向量模的公式，结合二次函数的性质求出求的取值范围.
【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则，，，，
可得，，，
则，
根据平面向量的加法法则，可得，
设，
可得，解得，
所以；若，
则根据B、P、D三点共线，可知存在实数m，使，
所以，解得.
（2）因为，，
可得，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围为.
7．已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，求的取值范围.
【答案】
【分析】通过单位向量的性质及夹角条件得出的夹角为，再由向量方程对向量的约束及数形结合，解出的取值范围.
【详解】设的夹角为，则，
，
当时取等号，即，则.
设，
则，
展开得，整理后，
因此向量的终点位于圆心为，半径为的圆上，
圆心到原点距离为，
所以得最小值为，最大值为。
综上，的取值范围为.
题型六：向量的夹角
1．已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解.
【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行，
所以，
解得：，
若向量和平行，则，得，
综上可知，取值范围为.
故答案为：
2．若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】由向量夹角与数量积正负的关系，列出不等式求解即可.
【详解】由向量与的夹角为钝角，
可得：，
解得，
由当时，，与共线反向，舍去，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
3．已知向量，．
(1)若，求x；
(2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解；
（2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可．
【详解】（1）∵，，，
∴，
解得；
（2）∵在方向上的投影向量为，
∴，解得，
∴，，，
∵与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且，
∴λ的取值范围为：．
4．已知平面向量，满足：，，与的夹角为.
(1)求；
(2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可；
（2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可.
【详解】（1）因为，，与的夹角为，
所以；
（2）因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不同向共线.
可得：，
将，，代入上式可得：，
整理得：，可得.
若两向量同向共线，则存在实数，使得，即.
所以，解得.
所以当两向量不同向共线时，.
综合以上两个条件，实数的取值范围是.
5．已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中
(1)若 且， 求的坐标;
(2)若 且与 的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，由，可得，解方程求得值．
（2）求出，由与的夹角为锐角可得，解得的范围，而当与共线且方向相同时，求出对应的的值，从而得到的取值范围．
【详解】（1），，
故可设，由，可得，
解得，
或．
（2），，
，
与的夹角为锐角，
，
，．
而当与共线且方向相同时，，，
解得，
故的取值范围为．
6．已知向量满足．
(1)求向量的夹角；
(2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解.
（2）由（1）的信息，利用夹角公式及共线向量定理列式求解.
【详解】（1）设向量的夹角为，
由，得，即，
由，得，即，
则有，又，解得，，
因此，所以向量的夹角为.
（2）由（1）知，则
，
由向量与的夹角是钝角，得，
且向量与不共线，因此，解得且，
所以实数的取值范围为.
题型七：投影向量
1．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可.
【详解】如图，由，可得为的中点，
又因为为的外接圆圆心，所以，
又因为，所以，
所以为等边三角形，即，
为等腰三角形，即，
为直角三角形，，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故选：D.

2．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可.
【详解】由，，可得，
，且，
则，，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故向量在向量上的投影向量的坐标为.
故选：D.
3．已知，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据在方向上的投影向量公式求出投影向量，从而求出向量的模即可求解．
【详解】，，，所以， ，
则在上的投影向量为，
其模为，
故选：B．
4．在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，然后利用投影向量公式求解.
【详解】由题意得，，
，
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量是.
故选：C
5．已知向量，若，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，，，求得，，再根据投影向量的计算公式，即可求解.
【详解】因为，，
所以，解得，所以，
又，，所以，解得，所以，
所以，，
故向量在方向上的投影向量为.
故选：A．
6．已知平面向量，满足：，，．
(1)求与的夹角；
(2)求向量在向量上的投影向量的模．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用数量积运算律化简求解得出，余弦公式计算求解；
（2）应用数量积运算律结合模长公式计算，再应用投影向量模长公式计算求解.
【详解】（1），，
又，，，．
又，．
（2），．
向量在向量上的投影向量的模为
题型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（24-25高一下·天津·期末）在中，三个内角为.若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理得，
令，则，由余弦定理得.
故选：D
2．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由余弦定理直接计算求解即可.
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
3．（22-23高二下·黑龙江鸡西·期中）已知中，的对边分别为．若，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，则对应，再利用三角形内角和和正弦定理求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
由正弦定理，代入可得，
又，
根据计算可得.
故选：A
4．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，，则 ．
【答案】/
【分析】使用正弦定理与余弦定理的结合即可计算.
【详解】在中，，所以，又，则，
由，得.
故答案为：
5．（24-25高一下·福建漳州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和得，再利用正弦定理求解即可.
【详解】因为，，所以，
根据正弦定理得.
故答案为：
6．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，已知，且，则 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理结合题干条件化简得出，从而得出关系，再将其代入即可.
【详解】由余弦定理结合，得，
整理可得，
因为，所以，
代入中得，所以．
故答案为：
题型九：三角形形状问题
1．记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论.
【详解】因为，所以，
由正弦定理得，
整理得，
因为，所以，故，故，所以为直角三角形．
故选：A．
2．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论.
【详解】因为，所以，
因为，故，
因为，即，
即，化简得，
因为，故，可得，则，故，
因此，为直角三角形，
故选：B.
3．在中，若对任意恒成立，则为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不确定
【答案】B
【分析】化简，带入不等式两边同时平方进行化简，最后用余弦定理化简，得出答案.
【详解】,两边平方得到：，
因为若对任意恒成立，所以，
即
化简不等式得： ，
由余弦定理得：，化简得：，
所以，为直角三角形.
故选：B
4．在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以符号相同，
若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾，
从而只能，所以，
所以或，
所以或,
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
5．（多选）记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等边三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若，则是钝角三角形
【答案】BD
【分析】利用正弦定理可得，结合条件可判断A；根据正弦定理可得进而判断B；利用特值法可判断C；根据及余弦定理结合条件可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得，故，
而为三角形内角，故为直角，故是等腰三角形，不足以推出等边三角形，故A错误；

对于B，因为，由正弦定理得，所以中线等于斜边的一半，故是直角三角形，故B正确；
对于C，取，则，，因为，故存在，故存在，
此时由余弦定理得，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故C错误；
对于C，因为，故，故，
由余弦定理可得，
故，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故D正确；
故选：BD
6．在中，已知，则的形状为
【答案】等腰或直角三角形
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可.
【详解】在中，由及余弦定理，得，
整理得，即，
而，因此或，
所以或，即为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
题型十：三角形个数问题
1．在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于A中，由正弦定理，可得，
则这样的三角形不存在，所以A错误；
对于B中，由，可得，
又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意；
对于C中，由余弦定理，可得，
所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意；
对于D中，由正弦定理，可得，
因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意.
故选：D.
2．的内角A，B，C的对边分别为，，，，，如果有两解，则的值可能为（ ）
A．9B．C．11D．12
【答案】A
【分析】根据正弦定理及三角形解的个数，求边的取值范围，确定选项.
【详解】由正弦定理得：，且有两解，
所以，且，所以，
故符合题意的只有A.
故选：A
3．已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】由有两解，得即解得，
故选：A．
4．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断.
【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确；
对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在，
所以满足条件的三角形不存在，故B错误；
对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误；
对于D，因为，所以，
因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误.
故选：A
5．（多选）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（ ）
A．9B．8C．10D．11
【答案】ACD
【分析】根据有两个解，可得，解不等式即可得解.
【详解】在中，，，
因为有两个解，所以，
即，故，结合选项可知ACD符合题意．
故选：ACD
6．（多选）记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】CD
【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围.
【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：，
角要有两解，则需满足且，解得：.
故选：CD
7．（多选）在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（ ）
A．6B．2C．4D．8
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用正弦定理表示出，再按的取值情况分段求解.
【详解】在中，，，
由正弦定理，得，即
当时，，有且只有一个解，；
当，且时，，有两解，；
当时，，有且只有一个解，，
所以AC的值可能为2或4，AD错误，BC正确.
故选：BC
8．在△ABC中，请给出一个值 ，使该三角形有两解.
【答案】3（答案不唯一）
【分析】先由正弦定理得到，由三角形有两个解，可得且，进而可得答案.
【详解】根据正弦定理得到，
因为三角形有两个解，
且，
即且，可得
所以时，三角形有两个解.
故答案为：3（答案不唯一）.
题型十一：三角形周长（边长）问题
1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围.
【详解】因为，故，
由正弦定理可得，而为三角形内角，故，
故，而为三角形内角，故为锐角，
故，故，故即，
故（为外接圆半径），故，
因为，，所以，则.
故
，
其中，且，
由锐角三角形可得，故，
故，
因为，且，故，则，，
所以时，，取得最大值.
当时，，
当时，，
故，
故选：C.
2．（24-25高一下·云南昭通·期中）锐角的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理边化角得，又，进而可求范围.
【详解】由正弦定理可得，
又因为在锐角三角形中，，则，
所以．
故答案为：
3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知向量，，，其中A是的内角，.
(1)求角A的大小；
(2)若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，由可得，由可得B为钝角，由此可求结论；
（2）根据正弦定理证明，，化简可得，根据在上单调递减即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，由，得B为钝角，
则A为锐角，故，所以，故；
（2）因为，由正弦定理得，
所以，，
则，
因为函数，在上单调递减，
所以在上单调递减，
代入值计算得，
故的取值范围为.
4．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）结合是锐角三角形可得，进而根据正弦定理、两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系化简可得，进而根据正切函数的性质求解即可.
【详解】（1）由，
根据正弦定理得，
则，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
（2）因为是锐角三角形，且由（1）知，
所以，即，解得，
由正弦定理得：
，
因为，所以，
又，则，
所以，则，
所以的范围为.
5．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，求B的取值范围；
(3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为关于角的方程，解出角的值；
（2）结合三角形内角和及锐角三角形的条件通过角度关系确定的范围；
（3）应用正弦定理将边转化为角的正弦表达式，通过三角恒等变换化简目标式，结合角度范围求取值.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
所以，
解得：，因为，所以.
（2）为锐角三角形，所以，
所以，解得：.
（3）因为，，所以由正弦定理可得：，
所以
因为，所以，
所以，所以的取值范围为.
6．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角可得，再利用两角和公式及三角恒等变换化简可得，由此可求结论；
（2）设的外接圆半径为，利用正弦定理求，结合正弦定理可得，结合两角和关系消并化简，求的范围，结合正弦函数性质求结论.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以，
（2）设的外接圆半径为，
因为，，
，
因为锐角，.
，
周长.
7．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解;
（2）利用正弦定理将转化为关于A的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出A的范围，即可求出的范围得解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
，
，则，，又，；
（2）在中，由正弦定理，
，
，
又为锐角三角形，，
，，
，，，
故周长的取值范围为．
8．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）依题意可得，再由两角和的正切公式求出，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得；
（3）利用正弦定理得到，，从而转化为关于的三角函数，再结合的范围计算可得.
【详解】（1）由，
可得，
又为锐角三角形，则，
所以，
所以，又，所以.
（2）由余弦定理知，，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以，
故的面积，
所以面积的最大值为.
（3）由正弦定理知，
所以，，则的周长为.
因为，
所以.
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
故周长的取值范围为.
题型十二：三角形面积问题
1．（24-25高三下·河南信阳·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则面积的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理化简已知式可得，由正弦定理得，再代入三角形的面积公式化简结合角的范围，即可求出答案.
【详解】∵，∴，
∴由余弦定理可得：，
又∵，∴.
∵，∴由正弦定理可得：，
∴，又∵，
∴
∵在锐角中，∴，∴，
∴当，即时，取最大值，最大值为.
故选：B.
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）∵，∴由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴.
（2）
如图，由题意及第（1）问知，，且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴
∴，
故的面积的最小值为.
3．（24-25高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合B为锐角，可得B的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求，由题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其范围．
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴，
∵B为锐角，∴，∵，
由正余弦定理可得：，
整理可得，解得．
（2）∵，
∴，，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
4．（24-25高二上·湖南湘西·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．且．
(1)求角A；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后结合三角恒等变换运算求解；
（2）根据题意利用正弦定理和面积公式，并结合三角恒等变换可得，求角C的范围，结合的范围运算求解.
【详解】（1）因为，
可得，
由正弦定理得，
又因为，
可得，
且，则，可得，则，
又因为，则，可得，所以．
（2）由正弦定理，可得，
则面积
，
因为为锐角三角形，故，解得，
所以，则，可得，
所以的取值范围为．
5．（24-25高三上·四川资阳·阶段练习）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若的周长为6，求面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用余弦定理可得，整理后可知，进而可求解.
（2）由三角形周长可得，利用基本不等式可解得最值.
【详解】（1）由余弦定理，得，即
则，
所以
又，所以．
（2）由题意，，
根据余弦定理，得，
则，
所以，
当且仅当时取等号
所以面积，
故面积S的最大值为．
6．（24-25高一下·重庆万州·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求的外接圆的周长和面积.
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)的外接圆的周长为，的外接圆的面积为；
(2)面积的取值范围为.
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合内角和关系和三角恒等变换公式化简求，再由正弦定理求外接圆半径，由此可得结论；
（2）由条件结合三角形面积公式可得的面积，结合正弦定理将其转化为角的解析式，结合的范围，由此可求面积的取值范围.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，，
所以，又，
所以，故，
所以，
又，所以，
所以，因为，
所以，故，
设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，又，
所以，
所以的外接圆的周长为，的外接圆的面积为；
（2）由三角形面积公式可得，的面积，
又，，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
故面积的取值范围为.
7．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设，
(1)求角；
(2)若，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到，得到，进而求得的大小；
（2）解法一：由余弦定理化简得到，再根据，化简得到，两式联立，结合基本不等式，求得，进而的面积的最大值；
解法二：延长至，使，连，在中，由余弦定理和基本不等式求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得，
整理得，
可得，
即，
因为，则，所以，
可得，即，
又因为，可得，所以，所以.
（2）解法一：在中，由余弦定理得，即，①
因为，所以且，即，
在和中，由余弦定理可得，
即，即，②
联立①②消去，可得，
因为，当且仅时，等号成立，所以，即，
所以的面积.
故面积最大值为.
解法二：延长至，使，连，则且，
可得，
在中，由余弦定理得，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，所以的面积.
故面积最大值为.

8．（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
因为、，则，所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为.
9．（24-25高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C的大小；
(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可；
（2）将条件转化为，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值；
【详解】（1）选①：，根据二倍角公式化简得：
即
因为
解得：或（舍去），
所以；
选②，根据正弦定理得：
根据余弦定理得：
又因为，所以；
选③，根据正弦定理得：
因为，
解得：，所以；
（2），根据数量积定义可知：
所以，则有：，

如图所示：,
根据正弦定理得：
，
因为
根据基本不等式解得：，当且仅当时，等号成立，
即，
代入，
解得：，
综上四边形ABCD面积的最大值为.
10．（23-24高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）对等式两边同时乘以可得，正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）由正弦定理求出，表示出面积结合三角函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）由已知条件得，
由正弦定理得，
即．
因为在中，，
所以．
又是锐角，所以．
（2）由正弦定理得，
则，
所以
．
由，得，
所以，所以，
所以．
所以面积的取值范围为．
第二部分：新定义题
1．（多选）（24-25高一下·山东青岛·期末）“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.在中，当最大内角小于时，费马点P满足；当最大内角不小于时，最大内角的顶点为费马点.若，，，点P为的费马点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】A选项，由三角恒等化简，正弦定理转化边角关系，由余弦定理化简得到答案；B选项，解得到所有边角的大小，再证明与相似，利用相似比出答案；C选项，由B结论设，则，,解出数值，解得到，从而得到；D选项，利用向量内积计算可得答案.
【详解】A选项，由余弦二倍角公式得：
变为，整理得：，
由正弦定理得，再由正弦定理化简为：，
解得：，A正确
B选项，由余弦定理得，
带入整理得：，解得：
由正弦定理得，带入整理得：，
所以，
最大内角为 ，满足，
，
，，
与相似，
,化简得：，B错误
C选项，
设，则，,
中，由余弦定理得
解得：（舍去负根）
则，，
由正弦定理得：，
解得：,
，，C正确
D选项，，D正确
故选：ACD
2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知是直线外一点，点、在直线上（点、与点、任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记．记的内角、、的对边分别为、、．已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到．
(1)若，求的值；
(2)射线上的点满足．
①求；
②求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据所给定义及条件得为的角平分线，在中，由余弦定理求出，再利用平面向量数量积的运算性质化简可得结果；
（2）①根据所给定义及条件计算，结合（1）问的得，然后化简求值即可；
②由及面积公式得，再由基本不等式计算即可．
【详解】（1）因为，所以点在线段上，如图①所示，
又，所以由，
得，
因为，且，，
所以（舍）或，
所以为的角平分线，
又，所以，
在中，，
由余弦定理得
，故，
因为，则，
即，故.
（2）记，①因为，
所以点在线段的延长线上，如图②所示，
即，
因为，所以，
化简得，即，
可得，即，
因为，所以；
②因为，则，
即，所以
＝，
当且仅当|时，即当时，等号成立，
故的最小值为．
3．（24-25高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下：
①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且
(1)求角；
(2)求；
(3)已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得；
（2）由题设，，再应用等面积法得，向量数量积的定义即可得；
（3）构建合适的直角坐标系，设点，应用向量加减、模长的坐标运算及的几何意义有点为的费马点时，取最小值，即可得.
【详解】（1）因为，又，
所以，
因为，则，故，
因为，所以，
又，则，故为等腰直角三角形，所以.
（2）由，知，
由费马点定义知，，
设，，，，，，
由得：，
整理得，
则.
（3）在中，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，设点，
则，，
所以，
则的几何意义是点到点、、的距离之和，
因为，，则为等腰直角三角形，故，
易知，故，
所以，的“费马点”为点，故的最小值为.
4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）三角形内到三个顶点距离之和的最小的点称为“费马点”，当的三个内角均小于时，满足的点为其费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为其费马点.
(1)在中，角的对边分别为，满足，.
①若，求，并求费马点到顶点的距离之和；
②求周长的取值范围.
(2)若是平面内的向量，且，，求的最小值.
【答案】(1)①2；②
(2).
【分析】（1）根据题中条件结合正弦定理或余弦定理化简计算得到角①结合，计算，进而求得费马点到顶点的距离之和；②根据三角形周长公式和正弦定理边化角，利用三角形内角和定理，结合角的范围求出三角形周长的取值范围；
（2）设，结合条件令，得到，，，代入所求式子，
进而设点，，，转化为所以原式为求最小值.在中，因为，关于x轴对称，，根据余弦定理的推论判断为锐角三角形，结合P点在内到三个点距离之和最小，利用费马点定义和性质，计算得到得到答案.
【详解】（1）法一：因为，由正弦定理
所以
因为，
所以
即，因为
所以，，
所以.
法二：由余弦定理得，
所以
所以，
所以
①当，则，
所以.
因为，依据“费马点”性质，此时P与点A重合，
所以.
②三角形的周长为，
由正弦定理得，
所以
因为，所以
所以，
所以.
（2）设，因为，，
令，
所以，，
所以
设点，，，
所以原式为求最小值.
在中，因为，关于x轴对称，，
因为，即
所以为锐角三角形..
P点在'内到三个点距离更小，利用费马点定义和性质，转化为在内找一点P使得，利用对称性知P在的高上，且，
所以，，
所以
所以最小值为.
5．（24-25高一下·辽宁·期末）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上．
(1)若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；
(2)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值；
(3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案；
（2）由题目条件可得，然后利用，可得，最后利用基本不等式可得答案；
（3）由题目条件可得，结合向量知识可得，
又，可得，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案.
【详解】（1）由题目所给信息，又D在线段BC外，则，
如图，因三角形ABC为等边三角形，，
则，
从而，，
则；
（2）因，则D在线段BC内，
则，
因，则.
则，
则，
从而，
当且仅当时取等号；
（3）因，则D在线段BC内.
则
又，则均为锐角，如图过B，C做AD所在射线的垂线，
垂足分别为E，F，则，
则，又注意到，则，
从而，则，
从而，
则，
又，则.
则，
由正弦定理得，
由和差化积公式：，
则.
由积化和差公式：.
注意到，则，则当时，
，即，
则.