2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第07讲：第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数章节总结(原卷版+解析)

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题型一：集合的表示
1．（2025高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：0.3333……就是一个无限循环小数，可记为，同理：……，若集合，则A中所有元素的和为（ ）
A．44B．110C．132D．143
2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
3．（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．由所确定的实数集合为
B．同时满足的整数解的集合为
C．集合可以化简为
D．中含有三个元素
4．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则 .
5．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 .
题型二：集合的基本关系
1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三上·全国·专题练习）已知集合，若，则符合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，若，且，则 ．
3．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设集合，，则满足且的集合有 个
4．（24-25高三上·四川巴中·阶段练习）设，关于的不等式的解集为．
(1)求；
(2)设集合，若，求实数的取值范围．
题型三：集合的基本运算
1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若且，求实数m的取值范围．
3．（25-26高三上·全国·课后作业）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的取值范围；
(4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围．
4．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题:
(1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集);
(2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求;
(3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围.
题型四：充分条件与必要条件
1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·云南昆明·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）．
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 .
9．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，非空集合.是的充分不必要条件，求的取值范围.
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·江苏·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高二上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025高三·全国·专题练习）使得“”成立的一个充分条件是 ．
题型六：全称量词与存在量词
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（ ）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知命题，命题，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为 .
7．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
题型七：一元二次不等式
1．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·湖北·三模）已知 .
(1)解关于的不等式
(2)若不等式的解集为，求实数的值.
5．（20-21高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式.
6．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
(1)求函数的解析式；
(2)求关于x的不等式解集.（其中）
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
3．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9B．6C．D．5
4．（24-25高三上·广东广州·期末）若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为
7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)，都有，求实数的取值范围
(3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
题型九：基本不等式及其应用
1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
2．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
3．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小值为D．的取值范围为
4．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ．
6．（2025高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
7．（24-25高三上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，， 求的最小值；
（2）已知，求的最大值；
题型十：复数的综合应用
1．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
2．（2025·山东临沂·二模）若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．3
8．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数 ，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．D．复数满足，则的最大值为
第二部分：新定义题
1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则也为闭集合
3．（多选）（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合.
(1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合；
(2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；
(3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但.
5．（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
(1)当时，直接写出的“相邻元”；
(2)当时，求证：是“好数”；
(3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”.
6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
第07讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数
章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：集合的表示
1．（2025高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：0.3333……就是一个无限循环小数，可记为，同理：……，若集合，则A中所有元素的和为（ ）
A．44B．110C．132D．143
【答案】D
【知识点】无穷等比数列各项的和、列举法表示集合
【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合，求和可得所求．
【详解】因为，
所以，所以，
所以n可以为1，3，9，11，33，99，
所以可以为
因为a和b是不同的数字，所以可以为，
此时，所以A中所有元素的和为.
故选：D.
2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、列举法求集合中元素的个数
【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可；
【详解】由已知可得，
所以，所以，
所以A子集的个数为个，
故选：D.
3．（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．由所确定的实数集合为
B．同时满足的整数解的集合为
C．集合可以化简为
D．中含有三个元素
【答案】BC
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D.
【详解】解：对于选项A，
当都是正数时，原式
当都是负数时，原式
当两正一负时，原式
当两负一正时，原式故A错误；
对于选项B，由，得，
所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；
对于选项C，由，，，
可以得到符合条件的数对有，，，故C正确；
对于选项D，当时，；当时，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误.
故选：BC.
4．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则 .
【答案】
【知识点】描述法表示集合、集合新定义、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】先分析得，进而得到或，再分类讨论的取值情况，结合二次方程的判别式得到关于的方程或不等式，从而得解.
【详解】对于，有，
所以集合中有两个元素，即，
因为，所以或，
对于，易知必是方程中的一解，
当时，，所以有唯一解，且无解，
则，解得；
当时，若有唯一解，由上述分析可知无解，不满足题意；
若有两解，则有唯一解，
即，解得或；
综上，实数的所有可能取值为，则.
故答案为：.
5．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 .
【答案】 7
【知识点】描述法表示集合、利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式，结合不等式的性质即可求解.
【详解】由知，，当，时，得最大元素，
又，当时，得最小元素.
故答案为：7；.
题型二：集合的基本关系
1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解.
【详解】由题意可得，又，，
所以，解得.
故选：B.
2．（2025高三上·全国·专题练习）已知集合，若，则符合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，若，且，则 ．
【答案】 （答案不唯一，也可以是）
【知识点】补集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、求集合的子集（真子集）
【详解】由已可得．又，所以C是中的一个．显然1是方程与的公共解，且，则解得所以．
3．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设集合，，则满足且的集合有 个
【答案】12
【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】由集合的包含关系及交集运算即可求解.
【详解】因为且，，．
中一定含有4或5或4、5．当
中含有一个元素时，或，共2个；
当中含有两个元素时，，，，，，共5个；
当中含有三个元素时，，，，，共4个；
当中含有四个元素时，，共1个．
所以满足条件的集合有个．
故答案为：12
4．（24-25高三上·四川巴中·阶段练习）设，关于的不等式的解集为．
(1)求；
(2)设集合，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集；
（2）由先求，再利用，建立不等式，即可求实数的取值范围．
【详解】（1）不等式，即.
因为，所以，
所以由，可得，
即.
（2），
由（1）得或，
要使，则需，
又，
解得，
所以的取值范围为.
题型三：集合的基本运算
1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【知识点】利用Venn图求集合、判断两个集合的包含关系
【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可.
【详解】因为，画出韦恩图如图．
对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误；
对于选项B，由德摩根公式可知，，
结合韦恩图可知，，即，故B正确；
对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确；
对于选项D，由德摩根公式可知，，
结合韦恩图可知，当时，D错误．
故选：BC．
2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解；
（2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由，即，可得，所以，
因为，所以，
当时，有，解得，满足题意；
当时，则满足，解得，即，
综上可得，实数的取值范围为.
（2）解：由（1）知：集合，，
①当时，则满足，解得；
②当时，则满足，此时满足条件的m不存在；
③当时，则满足，解得，
综上可得，实数m的取值范围为．
3．（25-26高三上·全国·课后作业）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值；
(3)若，求实数的取值范围；
(4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)．
【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】（1）由，结合数轴即可求解；
（2）结合数轴即可求解；
（3）由条件得到或，进而可求解；
（4）由和两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图：
所以，解得，故实数的取值范围是．
（2）画出数轴如图，因为，
所以，解得．
（3）因为，所以或．
又因为，所以或．
故实数的取值范围是．
（4）①若，则，所以．
②若，因为，所以，解得．
综上所述，实数的取值范围是．
4．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题:
(1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集);
(2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求;
(3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3).
【知识点】集合新定义、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；
（2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得；
（3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可.
【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：
（2），，根据差集概念，，
令，再根据差集概念得：
（3）因为，所以.
由可得.
当时，，不等式不成立，此时，满足.
当时，.
因为，所以.
解，因为，此不等式恒成立.
解，两边同乘得，即.
结合，则.
当时，.
因为，所以.
解，两边同乘（不等号变向）得，即.
解，两边同乘（不等号变向）得，即，
结合，取.
综上，的取值范围是
题型四：充分条件与必要条件
1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性
【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论.
【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出，
即充分性成立；
由可推出，不能推出，即必要性不成立；
因此命题是命题的充分不必要条件.
故选：A
2．（2025·云南昆明·二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由对数函数的单调性解不等式
【分析】根据对数函数的性质可得，即可求解.
【详解】由可得，
故“”是“”的充分不必要条件
故选：A
3．（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】由奇偶性求参数、根据充要条件求参数
【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解.
【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立，
即，
所以对任意的恒成立，故；
若，则，
所以，故为偶函数，
所以为偶函数的充要条件为.
故选：B．
4．（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误；
对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误；
对于C，，即，故是的充要条件，故C错误；
对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确.
故选：D
5．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案.
【详解】由不等式，可得（不合题意），
要使得是的一个充分条件，
则满足，解得.
故选：D.
6．（多选）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式相关性质即可求解.
【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误；
由得能推出，
反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
由可得，
故，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：BCD.
7．（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】AB
【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数
【分析】由题意可得根据题意推出是A的真子集，分，讨论，即可求得实数的可能取值范围，从而得结论．
【详解】由题意集合，，
因为“”是“”的必要不充分条件，故是A的真子集，
当时，则，即时，符合题意，
当时，则，所以，
综上，实数的范围为，结合选项可知AB符合题意.
故选：AB．
8．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 .
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数
【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.
【详解】依题意，，，显然，
由“”是“”的充分不必要条件，得，
当时，，符合题意，当时，方程的根为和，
显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意，
所以实数的所有取值组成的集合是.
故答案为：
9．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，非空集合.是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】.
【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据是的充分不必要条件，可得是的真子集，进而得到不等式组，求出结果即可.
【详解】由题知，，
是的充分不必要条件，
是的真子集，
则或，
解得，
故的取值范围是.
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件
【分析】先解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断即可.
【详解】解不等式，得，
因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】解不等式，得到或，根据推出关系得到答案.
【详解】或，
或，但或，
故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误.
故选：A
3．（2025·江苏·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】既不充分也不必要条件、由指数函数的单调性解不等式
【分析】依题意由可得，由可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由可得，由可得，
所以由推不出，即充分性不成立；
由也推不出，即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．（24-25高二上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据必要不充分条件求参数
【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可.
【详解】由题意可得，在上能成立，
即在上能成立，
因为时，；
所以为使在上能成立，只需；
因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件；
B选项，是“，”成立的充分不必要条件；
C选项，是“，”成立的充要条件；
D选项，是“，”成立的必要不充分条件；
故选：D
5．（24-25高二上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据给定条件，求出在指定区间上单调递增的的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解.
【详解】二次函数在区间上单调递增，则，解得，
显然选项ABD中条件都不能推出，而真包含于，
所以所求的一个充分不必要条件为.
故选：C
6．（2025高三·全国·专题练习）使得“”成立的一个充分条件是 ．
【答案】 (答案不唯一)
【知识点】由指数函数的单调性解不等式、判断命题的充分不必要条件
【分析】将转化为，利用指数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，
所以等价于，
则，解得，
所以使得“”成立的一个充分条件是 (答案不唯一)，
故答案为：（答案不唯一）．
题型六：全称量词与存在量词
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（ ）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断、对数的运算
【分析】先利用特殊值判断命题的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案.
【详解】因为当时，，所以是假命题，
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以.
故选：C.
2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【知识点】根据全称命题的真假求参数
【分析】由题意可得出，由此可求得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以，解得或，
故实数的取值范围是或.
故选：A.
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数
【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案.
【详解】恒成立，
当时，，满足要求，
当时，需满足，解得，
故为真命题，需满足，
，，则，解得，
故为真命题，需满足，
综上，的取值范围为
故选：D
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、求指数函数在区间内的值域、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.
【详解】由题意，命题“”是假命题，
等价于其否定“”是真命题，
令，则对恒成立，
即，需满足，
而，，当且仅当，即时取等号.
所以，即.
故选：A.
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、判断一般幂函数的单调性
【分析】写出命题的否定，依题意可得在区间内有解，根据函数的单调性求出，即可得解.
【详解】由题意得“，”为真命题，
所以在区间内有解，
又知在区间内单调递增，所以，
故的取值范围为．
故答案为：
6．（2024高三·全国·专题练习）已知命题，命题，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】假命题的否定是真命题，二次不等式求解借助二次函数的开口方向和判别式来建立不等关系，得出范围；最高项系数含参的二次型函数要注意分类讨论参数.
【详解】依题意，是假命题，所以，是真命题，
则，解得或.
又因为是真命题，
所以当时，，不合题意；
当时，，所以
当时，函数的图象开口向上，一定存在满足条件的
综上，或.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
7．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解.
【详解】命题“对任意的，都有”为假命题，
则“存在，”为真命题，
当时，满足；
当时，满足；
当时，需，解得；
综上：.
故答案为：
题型七：一元二次不等式
1．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】分类时，分别得出解析计算求参.
【详解】不等式可化为，
当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以；
当时，不等式的解集为，此时不符合题意；
当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以．
综上可知，实数的取值范围是．
故选：C．
2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得.
【详解】因命题为真，故在上恒成立，
故，解得，
故命题为真的一个充分不必要条件为的子集，
故选：B
3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.
【详解】当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解；
当时，的解集为，故B可能.
故选：C
4．（2025·湖北·三模）已知 .
(1)解关于的不等式
(2)若不等式的解集为，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案；
（2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案.
【详解】（1）由题意知，即，
解得.
所以所求不等式的解集为.
（2）不等式的解集为，所以方程的两根为，
所以，解得，
故的值为，的值为.
5．（20-21高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】当时，不等式化为；当时，可化为
，后讨论与4的大小可得答案.
【详解】当时，不等式化为；
当时，.
当时，若，不等式解为或；
若，不等式解为；
若，不等式解为或；
当时，此时，，
不等式解为.
综上，时，不等式解为；时，不等式解为或；
时，不等式解为；时，不等式解为或；
时，不等式解为.
6．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
(1)求函数的解析式；
(2)求关于x的不等式解集.（其中）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、已知f（g（x））求解析式
【分析】（1）令，则，即可得；
（2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可.
【详解】（1）由题意，函数，令，所以，
则，所以.
（2）由（1）知，即不等式转化为，则，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可.
【详解】设，则，.
原不等式可化为：.
因为，所以，.
当时，，所以在恒成立，所以；
当时，，所以成立；
当时，，所以在上恒成立，所以.
综上可得：.
故选：A
2．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解.
【详解】，恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，则实数的最大值为.
故选：C
3．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（ ）
A．9B．6C．D．5
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值
【分析】问题化为在区间上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求参数范围.
【详解】关于x的不等式在区间上有解，
等价于在区间上有解，即在区间上有解，
又，当且仅当时，取最小值6.
故，可得.
故选：D
4．（24-25高三上·广东广州·期末）若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.
【详解】令，，依题意可得，恒成立，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上可得的取值范围是.
故选：B
5．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案.
【详解】由题，，，即，即在上有解，
设，则，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，则，所以.
故选：B.
6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为
【答案】/
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果.
【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意；
当时，是方程的一个根，
不等式对任意恒成立，
且方程的两根不相等，
所以是方程的根，
，
，得，
此时原不等式等价于，显然时恒成立，
实数m的值为，
故答案为：．
7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)，都有，求实数的取值范围
(3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可；
（2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案；
（3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案
【详解】（1）由题意可得是方程的两根，
由韦达定理可得，
解得;
（2）因为，
所以，
当时，则的最小值为，
所以，
所以实数的取值范围为；
（3）由（2）可知当时，则的最大值为，
所以实数的取值范围为.
题型九：基本不等式及其应用
1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【知识点】条件等式求最值
【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
2．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题意得直线过圆心，即得，利用基本不等式即可求解.
【详解】由得，
所以圆心为，又圆关于直线对称，
则直线过圆心，即，
所以，
又，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故选：C.
3．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小值为D．的取值范围为
【答案】BCD
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD.
【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误；
B.由题意可知，，则，当时等号成立，
则的最小值为，故B正确；
C. ，当，即时等号成立，
则的最小值为，故C正确；
D.，
当，均单调递增，且时，，
则在区间上单调递增，
∴当时取得最大值5，且时，，
所以的取值范围为，故D正确.
故选：BCD.
4．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、条件等式求最值
【分析】由基本不等式即可判断A，令，结合代入计算，即可判断B，将转化为斜率，即可判断C，结合换元法以及二次函数的值域即可判断D.
【详解】对于A，因为，即，解得，
又，即，解得，所以，故A符合题意；
对于B，令，则，代入，可得，
展开可得，由可得，
即，故B不符合题意；
对于C，表示圆上的点与点连线的斜率，
设过点的直线方程为，即，
由圆心到直线的距离可得，
即，即不存在符合题意的，故C符合题意；
对于D，由可得，则，
令，则，所以，
且函数在上单调递增，所以，即，
即不存在符合题意的，故D符合题意；
故选：ACD
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】/0.25
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】方法一
设，，则，
，
，
当且仅当，，即，时取等号，
．
方法二，，
，
当且仅当，时取等号，．
故答案为：
6．（2025高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、函数不等式能成立（有解）问题
【详解】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或．
7．（24-25高三上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，， 求的最小值；
（2）已知，求的最大值；
【答案】（1）4；（2）
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）由基本不等式即可求解；
（2）由基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为；
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
题型十：复数的综合应用
1．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模
【分析】根据复数的模的计算公式得到，即可化简，从而判断其虚部.
【详解】因为，所以，
又，即，所以，所以的虚部为2.
故选：C
2．（2025·山东临沂·二模）若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】由复数的四则运算以及复数的虚部的概念即可求解.
【详解】由题意.
故选：A.
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再求出的模.
【详解】由，得，
所以.
故选：B
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】复数的除法运算
【分析】根据复数的除法计算方法，求解.
【详解】已知,则.
故选:A.
5．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，
∴复数在复平面内对应的点，位于第二象限.
故选：B.
6．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可.
【详解】，所以对应的点位于第四象限.
故选：D
7．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数
【分析】先得到，利用复数除法法则得到，求出虚部.
【详解】由题意可知，所以，
则的虚部为.
故选：B.
8．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数 ，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．D．复数满足，则的最大值为
【答案】BCD
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数除法求出，再结合共轭复数、复数的模及几何意义逐项判断.
【详解】复数，
对于A，，A错误；
对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确.
故选：BCD
第二部分：新定义题
1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【知识点】集合新定义
【分析】根据新定义，逐项判断分析即可.
【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确；
对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确；
对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误；
对④：任取有理数，，令，，则， ，
，且，所以有理数集是数域，故④正确.
所以正确的有：①②④.
故选：B.
2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合为闭集合
D．若集合，为闭集合，则也为闭集合
【答案】ABD
【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系
【详解】取，，则，故A错误；取，，则，0不是无理数，故B错误；设，，则，，故C正确；取，，由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被2整除或被3整除的全体整数集，取，，则，5不能被2或3整除，即，故D错误.
3．（多选）（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（ ）
A．是“广义等差集合”
B．是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13
【答案】ABC
【知识点】集合新定义
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C.
【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确，
对于B，取故B正确，
对于C，当时，，如时，设，
由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确，
对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合.
(1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合；
(2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例；
(3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但.
【答案】(1)证明见解析
(2)不一定，举例见解析
(3)证明见解析
【知识点】交集的概念及运算、集合新定义、并集的概念及运算
【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明；
（2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断；
（3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明.
【详解】（1）且为闭集知：，成立，
故而，从而命题成立.
（2）取，
知不一定是闭集合.
（3）若或，且均是的真子集，命题显然成立，
故不妨设存在满足，且存在满足,
取知，否则
或者而得出矛盾，故命题成立.
5．（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”.
(1)当时，直接写出的“相邻元”；
(2)当时，求证：是“好数”；
(3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】集合新定义、集合的应用
【分析】（1）根据题干的定义即可求得结果.
（2）利用定义证明集合中至少有8个“相邻元”，即可证明结论.
（3）先求出当时，共有：
其次证明对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”.
最后证明不能在中均有“相邻元”，.即可证明结论.
【详解】（1）的“相邻元”为：.
（2）因为，所以.
设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”.
设，构造，
则集合中的元素个数为.
对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个，
满足，
从而在集合中至少有8个“相邻元”，所以是“好数”.
（3）设，且，且.
①当时，
集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”.
设，则中含有个元素.
设.
则中含有个元素，.并且两两交集为空集，
设，则共有：
②对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”.
下面证明该结论：设，且均是的“相邻元”.
由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即，后位相同.
设与不同位置为，即；与不同位置为，即.
当相同时，又中与差为1的只有一个数，则.
当时，，
所以在每一个中，至多有一个“相邻元”.
③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论：
元素中第都是中元素.
中第都是中元素.
故中至少有3个元素属于不同的和.
所以不存在，均是的“相邻元”.
由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故：
是“好数”.
【点睛】集合新定义问题常见的求解方法：
（1）理解定义： 仔细阅读题目中给出的新定义，明确其内涵和外延。特别注意定义的
关键条件、限制和运算规则等，确保准确理解新定义的含义。
（2）列举法： 对于一些有限集合或元素个数较少的集合，可以通过列举出集合中的所有
元素，然后根据新定义进行分析和计算。
（3）性质分析法： 分析新定义所具有的性质，如对称性、传递性、封闭性等。利用这些
性质来简化问题的求解过程，或者通过判断集合元素是否满足这些性质来确定集合的特征。
（4）转化法： 将新定义问题转化为熟悉的集合问题或其他数学问题。例如，将新定义的
运算转化为常规的集合运算，或者将集合元素的条件转化为方程、不等式等进行求解。
（5）特殊值法：对于一些抽象的集合新定义问题，可以通过选取特殊值来进行分析和验
证。选取一些满足条件的特殊元素代入新定义中，观察其规律和结果，从而推测出一般情
况下的结论。
（6）反证法：当直接证明某个结论比较困难时，可以考虑使用反证法。假设结论不成立，
然后根据新定义和已知条件推出矛盾，从而证明原结论成立。
6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】一元二次方程根的分布问题、函数新定义
【分析】（1）假设其存在，则为方程的两根，解方程即可；
（2）假设其存在，则为方程的两根，令，则问题转化为一元二次方程在有两个不等的实根，利用和韦达定理即可；
（3）由题意得，可得，再代入原方程组中化简，转化为一元二次方程有两个不等的正实数根．
【详解】（1）因为函数单调递增，
若在定义域区间上存在，使得的值域，
则，，即为方程的两根，又，得，，
又在区间上的值域为，故，符合题意.
（2）因为函数为递增函数，
要使在定义域区间上存在，使得的值域，
则只需有两个不等的非负实根，
令，，则在有两个不等的实根，
故，即，得，
即t的取值范围是.
（3）函数在定义域内单调递减，
依题意得，两式相减，得，
则，
得①
将①式代入方程组得，则是方程的两根，
令，则在上有两个不同的实根，
则，解得，
故实数m的取值范围为