2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第四章三角函数与解三角形(高效培优综合训练)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第四章三角函数与解三角形(高效培优综合训练)(全国通用)(学生版+解析)，共37页。试卷主要包含了已知函数f=sin，将f，设函数f，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点P(−3，2sinπ3)在角α的终边上，则sinα的值为（ ）
A．12B．32C．−12D．−32
2．已知sinθ＝﹣2csθ，则3+cs2θsinθcsθ=（ ）
A．﹣6B．−12C．8D．﹣8
3．已知α为锐角，且sin(2α−π4)=−19，则sin(α+π8)=（ ）
A．23B．13C．−13D．−23
4．在△ABC中，2A＝B+C，AC＝8，csC=17，则BC＝（ ）
A．11B．7C．16D．565
5．已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，则φ的最小值等于（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
6．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若方程f（x）＝2m在[−7π12，0]上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1]B．(−1，−12]C．(−1，32)D．[−12，32)
7．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[π4，3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[83，163）B．[4，163）C．[4，203）D．[83，203）
8．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则cb的取值范围为（ ）
A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（2，4）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若sinα•csα＞0，则α为第一象限角
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是{α|α=π4+kπ，k∈Z}
D．在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为3π2cm2
10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A是△ABC的最小内角，且tanA为整数，csA+asinC=22，则下列说法正确的是（ ）
A．A=π4
B．c＝3
C．当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝﹣3
D．△ABC面积的取值范围是[94，92]
11．关于函数f（x）＝sin|x|+|csx|，有下述四个结论，则正确的有（ ）
A．2π是f（x）的一个周期
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在区间(π2，3π4)上单调递减
D．f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052个零点
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在△ABC中，若B=π4，a=2，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆半径为 ．
13．若α∈(0，π2)，β∈(π2，π)且cs(α+β)=−33，tanα=3−22，则2α+β的值为 ．
14．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π），其图像的一个对称中心是(−π6，0)，将f（x）图像向左平移π3个单位长度后得到函数g（x）的图像．若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数t的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acsC．
（1）求A；
（2）若△ABC的周长为9，面积为334，求a．
16．（15分）
已知函数f(x)=sin2x+3sinxcsx．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在区间[−π3，π3]上的最大值，并求出此时对应的x的值．

17．（15分）
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，π2＜φ＜π)，f(0)=32，且对任意x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|＝1，则|x1﹣x2|的最小值为π6．
（1）求ω和φ；
（2）求图像y＝f（x）与y=csx(sinx+3csx)在[0，10π]上的交点个数．
18．（17分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为23，且bcsC=a+33csinB．
（1）求角B；
（2）若∠B的角平分线交AC于点D，BD=3，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积．
19．（17分）
已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（π4，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个π2单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（π6，π4），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
第四章 三角函数与解三角形
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点P(−3，2sinπ3)在角α的终边上，则sinα的值为（ ）
A．12B．32C．−12D．−32
【答案】A
【分析】根据任意角三角函数的定义进行求解．
【解答】解：由已知，点P（﹣3，3），所以sinα=3(−3)2+3=12．
故选：A．
2．已知sinθ＝﹣2csθ，则3+cs2θsinθcsθ=（ ）
A．﹣6B．−12C．8D．﹣8
【答案】D
【分析】由已知求得tanθ＝﹣2，化为二次齐次式，再化为tanθ的代数式，求解即可．
【解答】解：由题意可得tanθ＝﹣2，
所以3+cs2θsinθcsθ=3sin2θ+4cs2θsinθcsθ=3tan2θ+4tanθ=3×4+4−2=−8．
故选：D．
3．已知α为锐角，且sin(2α−π4)=−19，则sin(α+π8)=（ ）
A．23B．13C．−13D．−23
【答案】A
【分析】令β=α+π8，利用倍角公式即可求出sin2β=49，再根据α的范围即可求出．
【解答】解：利用换元法令β=α+π8，则α=β−π8，
则2α−π4=2(β−π8)−π4=2β−π2，
故sin(2α−π4)=sin(2β−π2)=−cs2β=2sin2β−1=−19，
可得sin2β=49，因为α为锐角，则β=α+π8∈(π8，5π8)，
则sin(α+π8)=sinβ=23．
故选：A．
4．在△ABC中，2A＝B+C，AC＝8，csC=17，则BC＝（ ）
A．11B．7C．16D．565
【答案】D
【分析】由三角形内角和确定A=π3，再由sinB＝sin（A+C），结合正弦定理即可求解．
【解答】解：因为2A＝B+C，在△ABC中，可得A+B+C＝π，
可得A=π3，
显然sinC＞0，故sinC=1−cs2C=437，
于是sinB=sin(A+C)=sinAcsC+sinCcsA=32×17+437×12=5314，
在△ABC中由正弦定理可得ACsinB=BCsinA，即85314=BC32，
解得BC=565．
故选：D．
5．已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，则φ的最小值等于（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
【答案】B
【分析】根据函数平移可得g(x)=sin(2x+2φ+π3)，进而根据g（x）＝f（﹣x）即可代入化简得φ=π6+kπ，k∈Z求解．
【解答】解：g(x)=f(x+φ)=sin(2x+2φ+π3)，要g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，则g(x)=f(−x)=sin(−2x+π3)=sin(2x+2π3)，
所以2φ+π3=2π3+2kπ，k∈Z，故φ=π6+kπ，k∈Z，
又φ＞0，故φmin=π6．
故选：B．
6．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若方程f（x）＝2m在[−7π12，0]上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1]B．(−1，−12]C．(−1，32)D．[−12，32)
【答案】B
【分析】首先根据函数f（x）的图象，可得A，T的值，进而可得ω＝2，将点(π12，2)代入f（x）＝2sin（2x+φ），结合|φ|＜π2，即可得f(x)=2sin(2x+π3).令t=2x+π3，则t∈[−5π6，π3]，可得方程f（x）＝2m在[−7π12，0]上有两个不相等的实数根等价于函数y＝sint的图象与直线y＝m在[−5π6，π3]上有两个交点，在同一平面直角坐标系下画出函数y＝sint，t∈[−5π6，π3]的图象与直线y＝m，数形结合即可求解．
【解答】解：由题意，根据函数f（x）的部分图象，可得A＝2，14T=π3−π12=π4，
可得T＝π，可得ω=2πT=2，
因为f（x）＝2sin（2x+φ）经过点(π12，2)，
根据五点法作图可得2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，
可得φ=π3+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜π2，
可得φ=π3，
所以f(x)=2sin(2x+π3)，
令t=2x+π3，则当x∈[−7π12，0]时，t=2x+π3∈[−5π6，π3]，
所以方程f（x）＝2m在[−7π12，0]上有两个不相等的实数根，等价于函数y＝sint的图象与直线y＝m在[−5π6，π3]上有两个交点，
在同一平面直角坐标系下画出函数y＝sint，t∈[−5π6，π3]的图象与直线y＝m如下图所示：
可得实数m的取值范围为m∈(−1，−12]．
故选：B．
7．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[π4，3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[83，163）B．[4，163）C．[4，203）D．[83，203）
【答案】B
【分析】原问题转化为y＝sint在区间[π4ω+θ，3π4ω+θ]上至少有2个t，至多有3个t，使得y＝sint=12，求ω的取值范围，作出图象可知满足条件的最短区间长度为2π，最长区间长度为8π3，由此建立ω的不等式组求ω的取值范围．
【解答】解：令f（x）＝0，则sin（ωx+φ）=12，令t＝ωx+φ，则sint=12，
则原问题转化为：
y＝sint在区间[π4ω+φ，3π4ω+φ]上至少有2个t，至多有3个t，使得y＝sint=12，求ω的取值范围，
作出y＝sint与y=12的图象，如图所示：
由图可知，满足条件的最短区间长度为13π6−π6=2π，
最长区间长度为17π6−π6=8π3，
2π≤（3π4ω+φ）﹣（π4ω+φ）＜8π3，解得4≤ω＜163，
所以ω的取值范围是[4，163）．
故选：B．
8．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则cb的取值范围为（ ）
A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（2，4）
【答案】C
【分析】由已知条件结合余弦定理可得b＝c﹣2bcsA，利用正弦定理边化角得sinB＝sin（A﹣B），求得A＝2B，结合△ABC是锐角三角形和三角形内角和定理求出B∈(π6，π4)，再由正弦定理结合三角恒等变换可得bc=4cs2B−1，运算得解．
【解答】解：在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，
由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccsA与a2＝b2+bc联立，可得bc＝c2﹣2bccsA，
即b＝c﹣2bcsA，由正弦定理可得，sinB＝sinC﹣2sinBcsA，即sinB＝sin（A﹣B），
故B＝A﹣B+2kπ，k∈Z或B+A−B=2×(π2+kπ)，k∈Z（舍去），
因为2B＝A+2kπ∈（0，2π），故k＝0，故A＝2B，
所以C＝π﹣3B，因为△ABC是锐角三角形，
所以0＜2B＜π20＜B＜π20＜π−3B＜π2，解得π6＜B＜π4，
则22＜csB＜32，
所以cb=sinCsinB=sin(π−3B)sinB
=sin(B+2B)sinB=sinBcs2B+csBsin2BsinB
＝cs2B+2cs2B＝4cs2B﹣1∈（1，2）．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若sinα•csα＞0，则α为第一象限角
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是{α|α=π4+kπ，k∈Z}
D．在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为3π2cm2
【答案】BC
【分析】A项可得正余弦同号，由此判断；B项，表针转过的角度是负角，且转一圈是﹣360°；C项找经过点的特殊性可确定；D项利用弧长公式l＝αR，S=12lR即可．
【解答】解：A．若sinα•csα＞0，则α为第一象限角或第三象限角，错误；
B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°，正确；
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的终边再直线y＝x上，故角的集合是{α|α=π4+kπ，k∈Z}，正确；
D．弧长l=π6×3=π2，扇形面积为12×π2×3=3π4，故错误；
故选：BC．
10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A是△ABC的最小内角，且tanA为整数，csA+asinC=22，则下列说法正确的是（ ）
A．A=π4
B．c＝3
C．当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝﹣3
D．△ABC面积的取值范围是[94，92]
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件易得tanA＝1，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据tanB也是整数，且C＞B＞A，可分tanB＝2和tanB≥3两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正弦定理推得b=3sin(3π4−C)sinC=322×sinC+csCsinC，结合π4≤C≤π2，利用正切函数的单调性即可求得△ABC面积的范围判断．
【解答】解：对于A，因A是△ABC的最小内角，则0＜A≤π3，
又因tanA为整数，故tanA＝1，可得A=π4，故A正确；
对于B，由csA+asinC=22，A=π4，可得asinC=322，
由正弦定理，asinA=csinC，可得csinπ4=asinC=322，解得c＝3，故B正确；
对于C，由A+B+C＝π，可得B+C=3π4，因C＞B＞π4，且tanB也是整数，
若tanB＝2，因tan5π12=tan(π4+π6)
=1+331−33=3+33−3=2+3，
则π3＜B＜5π12，则π3＜C＜5π12，
此时，tanC=tan(3π4−B)=−1−tanB1−tanB=1−21−tanB=3＞tanB符合题意；
若tanB＝3，则π3＜B＜5π12，同理π3＜C＜5π12，此时，tanC=1−21−tanB=2＜tanB，不合题意，
随着tanB取更大的整数，tanC的值逐渐减小，不合题意，
故当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝3，故C错误；
对于D，由正弦定理，bsinB=csinC和B+C=3π4，
可得b=3sin(3π4−C)sinC=322×sinC+csCsinC，
因A是△ABC的最小内角，则B≥π4，B+A≥π2，则π4≤C≤π2，
当C=π2时，b=322，
△ABC的面积为SΔABC=12absinC=12×322×322=94，
当π4≤C≤π2时，b=322×(1+1tanC)，因tanC≥1，
则1≤1+1tanC≤2，322≤b≤32，
故94≤SΔABC≤92，
综上，△ABC面积的取值范围是[94，92]，故D正确．
故选：ABD．
11．关于函数f（x）＝sin|x|+|csx|，有下述四个结论，则正确的有（ ）
A．2π是f（x）的一个周期
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在区间(π2，3π4)上单调递减
D．f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052个零点
【答案】BD
【分析】举反例得到A错误；由sin|x|+|csx|≥﹣1，且sin|3π2|+|cs3π2|=−1，判断B正确；当x∈(π2，3π4)时，去绝对值可得函数解析式，得到f（x）在区间(π2，3π4)上单调递增，再由复合函数的单调性判断C；说明函数f（x）＝sin|x|+|csx|为偶函数，并得到x≥0时，f（x）＝sinx+|csx|的一个周期为2π，考虑x∈[0，2π]，得到f（x）的分段函数，令f（x）＝0，可得x=5π4，7π4，从而得到（﹣2026π，2026π）上零点个数．
【解答】解：对于A，f(−π4)=sin|−π4|+|cs(−π4)|=sinπ4+csπ4=2，
f(−π4+2π)=sin|7π4|+|cs7π4|=−22+22=0，f（−π4）≠f(−π4+2π)，
则2π不是f（x）的一个周期，故A错误；
对于B，因为﹣1≤sin|x|≤1，0≤|csx|≤1，所以sin|x|+|csx|≥﹣1，
且当x=3π2时，sin|3π2|+|cs3π2|=−1+0=−1，故f（x）的最小值为﹣1，故B正确；
对于C，当x∈(π2，3π4)时，f(x)=sin|x|+|csx|=sinx−csx=2sin(x−π4)，
由x∈(π2，3π4)，得x−π4∈(π4，π2)，z＝x−π4在（π4，π2）上单调递增，
而函数y=2sinz在z∈(π4，π2)上单调递增，
所以f（x）在区间(π2，3π4)上单调递增，故C错误；
对于D，f（x）＝sin|x|+|csx|的定义域为R，
且f（﹣x）＝sin|（﹣x）|+|cs（﹣x）|＝sin|x|+|csx|＝f（x），
可得f（x）＝sin|x|+|csx|为定义域上的偶函数，
当x≥0时，f（x）＝sinx+|csx|，
此时满足f（x+2π）＝sin（x+2π）+|cs（x+2π）|＝sinx+|csx|＝f（x），
所以x≥0时，f（x）＝sinx+|csx|的一个周期为2π，
则当x∈[0，2π]时，有f(x)=sinx+csx，0≤x≤π2sinx−csx，π2＜x≤3π2sinx+csx，3π2＜x≤2π，
令f（x）＝0，可得x=5π4，7π4，
故x∈[0，2026π）上有2026个零点，同理可得x∈（﹣2026π，0）上有2026个零点，
综上，f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052个零点，故D正确．
故选：BD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在△ABC中，若B=π4，a=2，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆半径为 ．
【答案】5
【分析】根据三角形的面积公式算出c＝4，然后由余弦定理算出b=10，最后运用正弦定理求出△ABC的外接圆半径的大小．
【解答】解：根据题意，可得S△ABC=12acsinB=2，即12×2⋅c⋅22=2，解得c＝4，
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac＝2+16﹣22×4csπ4=10，解得b=10（舍负）．
所以△ABC的外接圆半径R满足2R=bsinB=1022=25，可得R=5．
故答案为：5．
13．若α∈(0，π2)，β∈(π2，π)且cs(α+β)=−33，tanα=3−22，则2α+β的值为 ．
【答案】3π4
【分析】结合同角基本关系及和差角公式即可求解．
【解答】解：因为α∈(0，π2)，tanα＝3﹣22＜33，
故α∈（0，π6），
因为β∈（π2，π），所以π2＜α+β＜7π6，
因为cs（α+β）=−33＞−32，
所以α+β∈（π2，π），
所以sin（α+β）=63，tan（α+β）=−2，
则tan（2α+β）=tanα+tan(α+β)1−tanαtan(α+β)=−2+3−221−(3−22)×(−2)=−1，
又2α+β∈（π2，32π），
所以2α+β=3π4．
故答案为：3π4．
14．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π），其图像的一个对称中心是(−π6，0)，将f（x）图像向左平移π3个单位长度后得到函数g（x）的图像．若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数t的最大值为 ．
【答案】π6
【分析】根据函数的对称性求出φ的值，利用图象变换关系求出g（x），构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），将条件转化为当x∈[0，t]，h（x）为增函数，利用函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）一个对称中心是(−π6，0)，
∴−π6×2+φ＝kπ，k∈Z，即φ=π3+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，∴当k＝0时，φ=π3，即f（x）＝sin（2x+π3），
将f（x）图像向左平移π3个单位长度后得到函数g（x）的图像，
即g（x）＝sin[2（x+π3）+π3]＝sin（2x+π）＝﹣sin2x，
由f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），得f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），
设h（x）＝f（x）﹣g（x），则不等式等价为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2），
即若对任意x∈[0，t]，h（x）为增函数．
h（x）＝sin（2x+π3）+sin2x=12sin2x+32cs2x+sin2x
=32sin2x+32cs2x=3（32sin2x+12cs2x）=3sin（2x+π6），
当x∈[0，t]时，2x∈[0，2t]，所以2x+π6∈[π6，2t+π6]，
因为对任意x∈[0，t]，h（x）为增函数，
所以2t+π6≤π2，所以2t≤π3，所以0＜t≤π6，
即t的最大值为π6．
故答案为：π6．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acsC．
（1）求A；
（2）若△ABC的周长为9，面积为334，求a．
【分析】（1）根据正弦定理化简所给等式，结合两角的正弦公式化简，进而求得角A的大小；
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式与余弦定理列式求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）根据2b＝c+2acsC，由正弦定理得2sinB＝sinC+2sinAcsC，
在△ABC中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+sinCcsA，
则2sinAcsC+2csAsinC＝sinC+2sinAcsC，整理得2csAsinC＝sinC，
结合sinC＞0，可得csA=12，又A∈（0，π），所以A=π3．
（2）由（1）得S△ABC=12bcsinA=34bc=334，解得bc＝3，
根据△ABC的周长为a+b+c＝9，可得b+c＝9﹣a，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）2﹣3bc，可得a2＝（9﹣a）2﹣9，解得a＝4．
16．已知函数f(x)=sin2x+3sinxcsx．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在区间[−π3，π3]上的最大值，并求出此时对应的x的值．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得f(x)=sin(2x−π6)+12，结合正弦函数的周期公式与对称性求出答案；
（2）求出2x−π6∈[−5π6，π2]，根据正弦函数的最大值进行求解，可得本题答案．
【解答】解：（1）由题意得f（x）=12（1﹣cs2x）+32sin2x
＝sin2xcsπ6−cs2xsinπ6+12=sin（2x−π6）+12，
所以f（x）的最小正周期T=2π2=π，
令2x−π6=π2+kπ，k∈Z，解得x=π3+k2π，k∈Z，
可得f（x）的对称轴方程为x=π3+k2π，k∈Z．
（2）若x∈[−π3，π3]，则2x−π6∈[−5π6，π2]，
当2x−π6=π2，即x=π3时，sin(2x−π6)=1，f（x）取得最大值32，
所以f（x）在区间[−π3，π3]上的最大值为32，此时x=π3．
17．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，π2＜φ＜π)，f(0)=32，且对任意x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|＝1，则|x1﹣x2|的最小值为π6．
（1）求ω和φ；
（2）求图像y＝f（x）与y=csx(sinx+3csx)在[0，10π]上的交点个数．
【分析】（1）根据f(0)=32求出φ=2π3，不妨令θ1＝ωx1+φ，θ2＝ωx2+φ，根据|f（x1）﹣f（x2）|＝1，则|x1﹣x2|的最小值为π6得到|θ1﹣θ2|最小值为π3，故π6=π3ω，求出ω＝2；
（2）f(x)=sin(2x+2π3)，恒等变换得到g(x)=sin(2x+π3)+32，换元后，等价于sin(u−π3)=−32，u∈[π3，61π3]，解得u＝2kπ或u=−π3+2kπ(k∈Z)，分两种情况，得到sin(u−π3)=−32且u∈[π3，61π3]的u共有10+10＝20个，得到答案．
【解答】解：（1）由题意函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，π2＜φ＜π)，f(0)=32，
可得f(0)=sinφ=32，而π2＜φ＜π，所以φ=2π3；
不妨令θ1＝ωx1+φ，θ2＝ωx2+φ，
则|f(x1)−f(x2)|=|sinθ1−sinθ2|=|sin(θ1+θ22+θ1−θ22)−sin(θ1+θ22−θ1−θ22)|
=2|csθ1+θ22||sinθ1−θ22|=1≤2|sinθ1−θ22|，
当且仅当θ1=π3+k1πθ2=2π3+k2π或θ1=2π3+k1πθ2=π3+k2π(k1，k2∈Z，k1+k2=2k，k∈Z)时该式取等，
故|sinθ1−θ22|最小为12，此时|θ1﹣θ2|可取最小值π3，
而y＝sinx在(0，π2)单调递增，|sinθ1−θ22|最小为12，故|θ1−θ22|不存在比π6更小的取值，
即|θ1﹣θ2|不存在比π3更小的取值，即满足条件的|θ1﹣θ2|最小值为π3，
|θ1﹣θ2|＝|（ωx1+φ）﹣（ωx2+φ）|＝ω|x1﹣x2|，
且对任意满足|f（x1）﹣f（x2）|＝1的实数x1，x2，|x1﹣x2|的最小值为π6，故π6=π3ω，ω=2；
（2）由（1）可得f(x)=sin(2x+2π3)，不妨令g(x)=csx(sinx+3csx)，
则g(x)=csxsinx+3cs2x=12⋅2sinxcsx+32(2cs2x−1)+32
=12sin2x+32cs2x+32=sin(2x+π3)+32，
此时，图象y＝f（x）与y=csx(sinx+3csx)在[0，10π]上的交点个数，
等于方程sin(2x+2π3)=sin(2x+π3)+32在[0，10π]上的解的个数，
令u=2x+π3，则该方程等价于sin(u+π3)=sinu+32，u∈[π3，61π3]，
化简得12sinu−32csu=−32，即sin(u−π3)=−32，u∈[π3，61π3]，
此时，u−π3=−π3+2kπ或u−π3=−2π3+2kπ(k∈Z)，
即u＝2kπ或u=−π3+2kπ(k∈Z)，
u＝2kπ（k∈Z）时，π3≤2kπ≤61π3，16≤k≤616，k共有1，2，3，……，10这10个取值，
即有10个符合条件的u；
u=−π3+2kπ(k∈Z)时，π3≤−π3+2kπ≤61π3，13≤k≤313，
k共有1，2，3，……，10这10个取值，即有10个符合条件的u；
故满足sin(u−π3)=−32且u∈[π3，61π3]的u共有10+10＝20个，
即图象y＝f（x）与y=csx(sinx+3csx)在[0，10π]上的交点个数为20．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为23，且bcsC=a+33csinB．
（1）求角B；
（2）若∠B的角平分线交AC于点D，BD=3，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得tanB=−3，结合角的取值范围可求得角B的值；
（2）利用正弦定理可求得b的值，利用S△ABC＝S△BCD+S△ABD可得ac=3(a+c)，余弦定理可得（a+c）2﹣ac＝36，两式联立可得a=c=23，然后利用三角形的面积公式可求得△BDE的面积．
【解答】解：（1）因为bcsC=a+33csinB，
由正弦定理可得sinBcsC=sinA+33sinCsinB，
又A＝π﹣（B+C），所以sinBcsC=sin(B+C)+33sinCsinB，
所以sinBcsC=sinBcsC+csBsinC+33sinCsinB，
即sinCcsB+33sinCsinB=0，
∵C∈（0，π），故sinC≠0，
∴csB+33sinB=0，即tanB=−3，
又B∈（0，π），则B=2π3；
（2）
由（1）可知，B=2π3，又外接圆的半径为23，
由正弦定理可知bsinB=43，
所以b=43sin2π3=6，
因为BD是∠ABC的平分线，故∠CBD=∠ABD=12∠ABC=π3，
又BD=3，
由S△ABC＝S△BCD+S△ABD，
可得12acsin2π3=12a⋅3sinπ3+12c⋅3sinπ3，即ac=3(a+c)，①
由余弦定理可知，b2=a2+c2−2accs2π3，即（a+c）2﹣ac＝36，②
由①②可知a=c=23，
所以BD⊥AC，
又∵EC＝2AE，则DE＝1，
所以S△BDE=12×1×3=32．
19．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（π4，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个π2单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（π6，π4），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
【分析】（1）依题意，可求得ω＝2，φ=π2，利用三角函数的图象变换可求得g（x）＝sinx；
（2）依题意，当x∈（π6，π4）时，12＜sinx＜22，0＜csx＜12⇒sinx＞cs2x＞sinxcs2x，问题转化为方程2cs2x＝sinx+sinxcs2x在（π6，π4）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（π6，π4）内单调递增，而G（π6）＜0，G（π4）＞0，从而可得答案；
（3）依题意，F（x）＝asinx+cs2x，令F（x）＝asinx+cs2x＝0，方程F（x）＝0等价于关于x的方程a=−cs2xsinx，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=2πT=2，
又曲线y＝f（x）的一个对称中心为(π4，0)，φ∈（0，π），
故f（π4）＝sin（2×π4+φ）＝0，得φ=π2，所以f（x）＝cs2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y＝csx的图象，
再将y＝csx的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g（x）＝cs（x−π2）的图象，
∴g（x）＝sinx．
（2）当x∈（π6，π4）时，12＜sinx＜22，0＜cs2x＜12，
∴sinx＞cs2x＞sinxcs2x，
问题转化为方程2cs2x＝sinx+sinxcs2x在（π6，π4）内是否有解．
设G（x）＝sinx+sinxcs2x﹣2cs2x，x∈（π6，π4），
则G′（x）＝csx+csxcs2x+2sin2x（2﹣sinx），
∵x∈（π6，π4），
∴G′（x）＞0，G（x）在（π6，π4）内单调递增，
又G（π6）=−14＜0，G（π4）=22＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π6，π4）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（π6，π4）满足题意．
（3）依题意，F（x）＝asinx+cs2x，令F（x）＝asinx+cs2x＝0，
当sinx＝0，即x＝kπ（k∈Z）时，cs2x＝1，从而x＝kπ（k∈Z）不是方程F（x）＝0的解，
∴方程F（x）＝0等价于关于x的方程a=−cs2xsinx，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=−cs2xsinx的解的情况．
令h（x）=−cs2xsinx，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）=csx(2sin2x+1)sin2x，令h′（x）＝0，得x=π2或x=3π2，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜﹣1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当﹣1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a＝1或a＝﹣1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013＝3×671，
∴依题意得n＝671×2＝1342．
综上，当a＝1，n＝1342，或a＝﹣1，n＝1342时，函数F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．
x
（0，π2）
π2
（π2，π）
（π，3π2）
3π2
（3π2，2π）
h′（x）
+
0
﹣
﹣
0
+
h（x）
↗
1
↘
↘
﹣1
↗