2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第05讲复数(精练+相遇真题(模拟))(原卷版+解析)

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A夯实基础
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知复数为方程的两个解，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2025·安徽合肥·三模）的虚部为（ ）
A．1B．C．8D．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．
4．（2025·湖北·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．1B．C．D．2
7．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限
D．若，则的最小值是
三、填空题
9．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ．
四、解答题
10．（24-25高三·山东菏泽·）在复平面内，复数，．
(1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；
(2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．
11．（23-24高三·宁夏银川·期中）设，复数.
(1)求m为何值时，z为纯虚数；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
12．（23-24高二下·江苏·期中）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(1)求复数；
(2)若为纯虚数，求实数的值.
B相遇高考
1．（2024·广东江苏·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
C素养提升
1．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
2．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（ ）．
A．B．
C．D．
3．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知方程组有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
4．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ．
第06讲：拓展一：基本不等式
A夯实基础 B相遇高考 C素养提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知复数为方程的两个解，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】根据一元二次方程的复数根的求解方法求得，再根据复数的除法运算求出，再求复数的模即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以，或，
若，
则，
所以，
若，
则，
所以，
故选：B.
2．（2025·安徽合肥·三模）的虚部为（ ）
A．1B．C．8D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解.
【详解】，
故复数的虚部为1.
故选：A．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法，和复数的模长计算方法求解.
【详解】由，得，所以.
故选:A.
4．（2025·湖北·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的定义求出，再结合虚部的定义求解即可.
【详解】由，则，即，
则，所以的虚部为1.
故选：B.
5．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】通过复数乘法法则计算出复数，再根据复数与复平面内点的对应关系确定其坐标，最后根据坐标判断所在象限.
【详解】因为．所以该复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A.
6．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【知识点】求复数的模
【分析】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出.
【详解】，其在复平面内对应的点为.
因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数.
由，其中，，将其代入模的计算公式可得：
.
故选：B.
7．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）已知复数，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解.
【详解】方法一：
由题意，，
所以，.
方法二：
已知，则.
已知，则.
因为，根据复数模的性质，可得：
.
故选：B.
二、多选题
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）设为复数，是复数单位，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若对应的点在第二象限，则对应的点也位于第二象限
D．若，则的最小值是
【答案】AD
【知识点】利用椭圆定义求方程、与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的乘方运算判断A；举例说明B错误；由复平面中点的表示方法判断C；由复数模的几何意义求出复数对应的点的轨迹判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，取，，，等式不成立，故B错误；
对于C，设，若对应的点在第二象限，
则，，即对应的点位于第四象限，故C错误；
对于D，若，
则在复平面内复数对应的点到、距离和为常数，且，
则在复平面内复数对应的点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
其中
的最小值就是椭圆上的点到原点的距离最小值，故，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．（2026高三·全国·专题练习）已知复数z满足，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】复数的坐标表示
【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，即可接替.
【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，
由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等，
所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴，
又表示点Z到点的距离，
所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，
所以的最小值为2．
故答案为： 2
四、解答题
10．（24-25高三·山东菏泽·）在复平面内，复数，．
(1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围；
(2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或．
【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】（1）依题意可得实部为，解得即可；
（2）依题意可得，解不等式即可得解.
【详解】（1）由题意得，解得或；
（2）复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，
则或
解得或，即实数的取值范围为或．
11．（23-24高三·宁夏银川·期中）设，复数.
(1)求m为何值时，z为纯虚数；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可；
（2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可.
【详解】（1）由解得或；
当时，是纯虚数，
当时，为实数，
所以.
（2）因为在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得.
12．（23-24高二下·江苏·期中）设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
(1)求复数；
(2)若为纯虚数，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】（1）利用复数的运算法则、模长公式及几何意义计算即可；
（2）利用共轭复数的概念及复数的四则运算计算即可.
【详解】（1）设，，，由题意：①
计算，得②
①②联立，解得，得.
（2），
所以且，解得.
B相遇高考
1．（2024·广东江苏·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
2．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘法运算
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
C素养提升
1．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求复数的实部与虚部、求复数的模
【分析】设，则，利用判别式法可求的最小值.
【详解】设，则，
所以，故，故，
故，
设，则，其中，
若，则；
若，则即，
故，
故，故，
故，
故选：C.
2．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设曲线上的点，表示出，令，根据的大小关系可排除B、D；根据时的斜率可排除C.
【详解】，故：，
曲线上的点到原点的距离，直线的斜率为，
记，
则时，有，，
即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D；
而末端值时，直线的斜率为，故排除C.
故选：A．
3．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知方程组有且仅有一个复数解，则实数的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数模的几何意义及直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】由方程组在复平面上的几何意义可知，问题等价于以为圆心、1为半径的圆与点和所连线段的垂直平分线相切，设，，
则中点为，，所以垂直平分线的斜率为，
则垂直平分线的方程为，整理得，
由点到直线的距离公式有，即，
解得或，
故选：AC．
4．（2025高三·全国·专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ．
【答案】
【知识点】三角表示下复数的乘方与开方
【分析】根据，即可根据棣莫弗定理求解.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：．