2025-2026学年高考数学一轮专题训练：讲义(新高考)第05讲复数(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析) [含答案]

这是一份2025-2026学年高考数学一轮专题训练：讲义(新高考)第05讲复数(知识+真题+7类高频考点)(精讲)(学生版+解析) [含答案]，共14页。试卷主要包含了复数的概念，复数相等，复数的分类，复数的几何意义，复数的模，共轭复数，复数代数形式的加法运算等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc2458" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc2458 \h 1
\l "_Tc24851" 第二部分：高考真题试卷回顾 PAGEREF _Tc24851 \h 3
\l "_Tc17209" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17209 \h 3
\l "_Tc2310" 高频考点一：复数的概念 PAGEREF _Tc2310 \h 3
\l "_Tc16661" 高频考点二：复数的几何意义 PAGEREF _Tc16661 \h 4
\l "_Tc20981" 高频考点三：复数分类 PAGEREF _Tc20981 \h 5
\l "_Tc13279" 高频考点四：复数模 PAGEREF _Tc13279 \h 6
\l "_Tc20846" 高频考点五：待定系数求复数 PAGEREF _Tc20846 \h 7
\l "_Tc27659" 高频考点六：复数的四则运算 PAGEREF _Tc27659 \h 7
\l "_Tc19149" 高频考点七：共轭复数 PAGEREF _Tc19149 \h 8
\l "_Tc18792" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc18792 \h 9
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题试卷回顾
1．（2023·北京·统考高考真题试卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·（乙卷文））（ ）
A．1B．2C．D．5
3．（2023·全国·（甲卷文））（ ）
A．B．1C．D．
4．（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
5．（2023·全国·（新高考Ⅱ卷））在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2024下·上海·高三开学考试）下列命题不正确的为（ ）
A．若复数，的模相等，则，是共轭复数
B．，都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数
C．复数是实数的充要条件是
D．，，则对应的点的轨迹为线段
例题2．（多选）（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．的共轭复数D．
练透核心考点
1．（2024上·广东深圳·高三统考期末）复数的实部与虚部之和是（ ）
A．7B．13C．21D．27
2．（2024下·高一单元测试）已知复数
①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为；
③复数的共轭复数为；
④；
⑤复数是方程在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例题1．（2024下·全国·高一专题练习）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（ ）
A．5B．C．2D．
例题3．（多选）（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．的虚部为B．点B在第二象限
C．D．
练透核心考点
1．（2024上·广东佛山·高三石门中学校考期末）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（多选）（2024下·高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C．若z是复数，则
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为
3．（2024·全国·高一假期作业）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为
高频考点三：复数分类
典型例题
例题1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）若复数为纯虚数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
例题2．（2024下·全国·高一专题练习）复数，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
高频考点四：复数模
典型例题
例题1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 .
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的最大值是 ．
例题3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为 .
练透核心考点
1．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知是纯虚数（其中，是虚数单位），则 ；
2．（2024·全国·高一假期作业）若，且满足，则的最大值为 .
3．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）满足，的一个复数 ．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）若复数和复数满足，，，则 .
2．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为 .
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例题1．（2024·湖南邵阳·统考一模）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024上·贵州遵义·高二统考期末）若，则（ ）
A．2B．1C．D．
例题3．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
练透核心考点
1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8B．6C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高三专题练习）复数的虚部为 .
高频考点七：共轭复数
典型例题
例题1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8B．6C．D．
例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（ ）
A．5B．C．2D．
例题3．（2024上·天津·高三校联考期末）设，则的共轭复数为 ．
练透核心考点
1．（2024·陕西宝鸡·统考一模）已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点为，则 .
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024下·浙江丽水·高三校考开学考试）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．
两个四元数的乘法定义为：,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设,四元数．记表示的共轭四元数．
（i）计算；
（ii）若，求；
（iii）若，证明：；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象．设．
（i）证明：;
（ii）若是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．
第05讲 复数
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8362" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc8362 \h 1
\l "_Tc1888" 第二部分：高考真题试卷回顾 PAGEREF _Tc1888 \h 3
\l "_Tc11502" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11502 \h 4
\l "_Tc6375" 高频考点一：复数的概念 PAGEREF _Tc6375 \h 4
\l "_Tc16897" 高频考点二：复数的几何意义 PAGEREF _Tc16897 \h 6
\l "_Tc14037" 高频考点三：复数分类 PAGEREF _Tc14037 \h 9
\l "_Tc8798" 高频考点四：复数模 PAGEREF _Tc8798 \h 13
\l "_Tc29287" 高频考点五：待定系数求复数 PAGEREF _Tc29287 \h 15
\l "_Tc14419" 高频考点六：复数的四则运算 PAGEREF _Tc14419 \h 17
\l "_Tc15016" 高频考点七：共轭复数 PAGEREF _Tc15016 \h 19
\l "_Tc5325" 第四部分：新定义题（解答题） PAGEREF _Tc5325 \h 21
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题试卷回顾
1．（2023·北京·统考高考真题试卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
2．（2023·全国·（乙卷文））（ ）
A．1B．2C．D．5
【正确答案】C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
3．（2023·全国·（甲卷文））（ ）
A．B．1C．D．
【正确答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
4．（2023·全国·（新高考Ⅰ卷））已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【正确答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
5．（2023·全国·（新高考Ⅱ卷））在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【正确答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2024下·上海·高三开学考试）下列命题不正确的为（ ）
A．若复数，的模相等，则，是共轭复数
B．，都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数
C．复数是实数的充要条件是
D．，，则对应的点的轨迹为线段
【正确答案】A
【分析】根据共轭复数的定义可判断ABC，根据复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，若复数，的模相等，则，还可能是相等的复数，故A错误；
对于B，若和是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；
对于C，若复数是实数，则，从而，所以，
反之若，则由得，所以，
所以复数是实数的充要条件是，故C正确；
对于D，设，
由复数的几何意义可知表示点到点和距离之和为2，
而点和之间距离为2，所以对应的点的轨迹为线段，故D正确.
故选：A
例题2．（多选）（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．的共轭复数D．
【正确答案】CD
【分析】由复数的乘、除法运算化简复数可判断A；由复数的几何意义可判断B；由共轭复数的定义可判断C；由复数的模长公式可判断D.
【详解】，
对于A，的虚部为，故A错误；
对于B，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B错误；
对于C，的共轭复数，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：CD.
练透核心考点
1．（2024上·广东深圳·高三统考期末）复数的实部与虚部之和是（ ）
A．7B．13C．21D．27
【正确答案】B
【分析】根据复数的运算求解即可.
【详解】因为，
所以复数的实部与虚部之和是，
故选：B.
2．（2024下·高一单元测试）已知复数
①在复平面内对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为；
③复数的共轭复数为；
④；
⑤复数是方程在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【正确答案】C
【分析】利用复数除法运算求得，根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正误，根据复数的概念判断②的正误，根据复数的共轭复数可以判断③的正误，根据复数模的概念判断④的正误，利用方程在复数范围内求解判断⑤的正误.
【详解】因为，
所以在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；
复数的虚部为，所以②错误；
复数的共轭复数为，所以③错误；
，所以④正确；
方程在复数范围内的根为，
所以复数是方程在复数范围内的一个根，所以⑤正确；
所以正确的命题个数为3个，
故选：C.
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例题1．（2024下·全国·高一专题练习）“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
而成立推不出成立，，
所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
例题2．（2024上·四川成都·高三树德中学校考期末）在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（ ）
A．5B．C．2D．
【正确答案】D
【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式，利用共轭复数和复数的除法化简，模长公式求模.
【详解】复平面内，复数，对应的点分别是，
则有，，， ，
.
故选：D
例题3．（多选）（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（ ）
A．的虚部为B．点B在第二象限
C．D．
【正确答案】BD
【分析】结合复数的几何意义，依题意求解出对应的坐标，然后逐项判断即可；
【详解】因为， 所以对应的坐标为，，
向量与轴夹角为

由题意可知，且，选项B正确；
，的虚部为，选项A错误；
，所以，选项C错误；
，选项D正确；
故选：BD.
练透核心考点
1．（2024上·广东佛山·高三石门中学校考期末）复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【正确答案】D
【分析】根据复数的乘法和除法以及几何意义求解即可.
【详解】因为，所以复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，
故选：D．
2．（多选）（2024下·高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C．若z是复数，则
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为
【正确答案】ABC
【分析】对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合向量的运算法则，即可求解；对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合复数的几何意义，即可求解．
【详解】对于A，取，则，故A错误；
对于B，，B错误；
对于C，取，但知C错误；
对于D，设复数，则由可知，
故复数z对应的点所构成的图形面积为，D正确．
故选：ABC．
3．（2024·全国·高一假期作业）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为
【正确答案】20
【分析】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积.
【详解】设，
则.
所以点的坐标分别为
又两点连线的中点对应的复数为，
解得
.
又
的面积为.
故答案为.
高频考点三：复数分类
典型例题
例题1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）若复数为纯虚数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【正确答案】A
【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解.
【详解】因为为纯虚数，
所以解得，
故选.
例题2．（2024下·全国·高一专题练习）复数，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据z为纯虚数，列出方程，即可求解；
（2）根据z在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；
【详解】（1），
若z为纯虚数，则，解得.
（2）由题意知，，解得.
例题3．（2023下·河北唐山·高一校联考期中）已知，，复数，且，复数在复平面上对应的点在函数的图像上.
(1)求复数；
(2)若为纯虚数，求实数的值.
【正确答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用复数的四则运算，得到，再根据条件得到，又由题设知，从而求出得到结果；
（2）利用（1）中的结果和复数的除法，再结合条件即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以，对应的点为，
所以，得到，又，
所以，又，
由，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
故，得到.
练透核心考点
1．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知是纯虚数（其中，是虚数单位），则 ；
【正确答案】
【分析】根据实部为0虚部不为0，解方程可得复数，进而根据复数的除法运算计算模长即可.
【详解】由题意，解得，∴，
．
故．
2．（2024·全国·高一假期作业）已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；
（2）求的取值范围.
【正确答案】（1）复数或；（2）.
【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数；
（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.
【详解】（1）设i ，、，则，
又是实数，
∴，又，
∴或，
∴复数或；
（2）
表示复数对应的点与对应的点间的距离，
而复数在以原点为圆心，半径为5的圆上，
如图所示，
，
∴.

3．（2024下·全国·高一专题练习）已知，复数，当m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z为虚数？
（3）z为纯虚数？
（4）z在复平面内对应的点在第四象限？
【正确答案】（1）或（2）且（3）（4）
【分析】由题意得解得，
（1）由，求出m即可；
（2），即可得出m；
（3）由，解得范围；
（4）根据象限特征，由，解得范围.
【详解】解：，
（1）由得或，
即当或时，z为实数；
（2）由得且，
即当且时，z为虚数；
（3）由得，
即当时，z为纯虚数；
（4）由解得，
即当时，z在复平面内对应的点在第四象限.
本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．
高频考点四：复数模
典型例题
例题1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 .
【正确答案】/
【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值.
【详解】令复数，，，则，
所以，所以，，即.
又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的最大值是 ．
【正确答案】/
【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数对应的点，然后利用三角代换结合条件即可求解．
【详解】设，由，得，
因此在复平面内，复数对应的点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，
所以可设椭圆方程为，则，
所以椭圆方程为，
而表示点与点的距离，可设，
所以与点的距离，
所以当时，，即的最大值是.
故
例题3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为 .
【正确答案】6
【分析】将问题化为定点到圆上点距离的最大值，即可求解.
【详解】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，
而，即点到定点距离的最大值，
所以的最大值为.
故
练透核心考点
1．（2024·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知是纯虚数（其中，是虚数单位），则 ；
【正确答案】
【分析】根据实部为0虚部不为0，解方程可得复数，进而根据复数的除法运算计算模长即可.
【详解】由题意，解得，∴，
．
故．
2．（2024·全国·高一假期作业）若，且满足，则的最大值为 .
【正确答案】3
【分析】根据复数模的几何意义，结合图形，即可求解.
【详解】，复数的轨迹表示以点为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离，
如图，当过点和圆的圆心，即为最大值.

故
3．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
【正确答案】
【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值.
【详解】设，，
因为，则，
又因为，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案为.
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
【正确答案】
【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值.
【详解】设，，
因为，则，
又因为，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案为.
例题2．（2024·全国·高三专题练习）满足，的一个复数 ．
【正确答案】（或中的一个，答案不唯一）
【分析】设，根据可得出或，分、两种情况讨论，结合复数的模长公式可求得复数的值.
【详解】设，则，
因为，则，即或.
当时，即，由，解得或，此时，或；
当时，即，由，解得，此时，.
综上所述，或.
故（或中的一个，答案不唯一）
练透核心考点
1．（2024·全国·高一假期作业）若复数和复数满足，，，则 .
【正确答案】/
【分析】设，根据复数的运算及模的公式即可求解.
【详解】设，且，
则，
又，所以，
即，则，
因为，
所以，
所以.
故答案为.
2．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为 .
【正确答案】6
【分析】将问题化为定点到圆上点距离的最大值，即可求解.
【详解】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，
而，即点到定点距离的最大值，
所以的最大值为.
故
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例题1．（2024·湖南邵阳·统考一模）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】利用复数代数形式的乘法和除法运算对选项一一化简即可得出答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：D.
例题2．（2024上·贵州遵义·高二统考期末）若，则（ ）
A．2B．1C．D．
【正确答案】D
【分析】根据复数的共轭复数的概念，乘法、加法运算，复数模得解.
【详解】.
故选：D
例题3．（2024·全国·高一假期作业）设复数、，满足，，则 ．
【正确答案】
【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值.
【详解】设，，
因为，则，
又因为，
所以，，即，
由，可得，故，解得，
由，可得，
所以，，所以，.
故答案为.
练透核心考点
1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8B．6C．D．
【正确答案】A
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解即可.
【详解】因为，
解得，即，
所以，
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以．
故选：B．
3．（2024·全国·高三专题练习）复数的虚部为 .
【正确答案】1012
【分析】根据错位相减法求和，复数乘除法，i乘方的周期性等相关知识直接求解.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
所以
，
所以复数z的虚部为1012.
故1012
高频考点七：共轭复数
典型例题
例题1．（2024上·浙江湖州·高三统考期末）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8B．6C．D．
【正确答案】A
【详解】，
，，
所以，对应的点为，在第四象限.
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】根据复数的四则运算以及模的定义求解即可．
【详解】由题，，
故选：A．
3．（2024·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点为，则 .
【正确答案】
【分析】根据已知可得，然后根据共轭复数以及复数的除法运算，化简即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以，
所以，.
故答案为.
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024下·浙江丽水·高三校考开学考试）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．
两个四元数的乘法定义为：,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设,四元数．记表示的共轭四元数．
（i）计算；
（ii）若，求；
（iii）若，证明：；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量与纯四元数看作同一个数学对象．设．
（i）证明：;
（ii）若是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．
【正确答案】(1)（i）；（ii）；（iii）证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）（i）由的共轭四元数定义求解即可；（ii）再结合题意求解即可；（iii）由纯四元数的定义证明即可.
（2）（i）由纯四元数的定义证明即可；（ii）在空间直角坐标系中，设,由题意可证明且，即可证明.
【详解】（1）（i）．
（ii）因为，所以．
由（1）可得．
所以，
同理可验证，
所以．
因此，．
（iii）设,则
．
由（ii）,，
而的实部为
，
所以的实部为0，所以．
（2）（i）设．则
，
,
所以,故．
（ii）在空间直角坐标系中，．所以
，
．
因此且．
因为不共线，所以,即是X的一个法向量．
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．