2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第05讲利用导数研究不等式能成立(有解)问题(精讲)(原卷版+解析)

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5429" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc5429 \h 1
\l "_Tc15587" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15587 \h 2
\l "_Tc15330" 高频考点一：分离变量法 PAGEREF _Tc15330 \h 2
\l "_Tc25276" 高频考点二：分类讨论法 PAGEREF _Tc25276 \h 7
\l "_Tc12508" 高频考点三：等价转化法 PAGEREF _Tc12508 \h 12
\l "_Tc13281" 高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题 PAGEREF _Tc13281 \h 18
\l "_Tc598" 高频考点五：值域法解决双参等式问题 PAGEREF _Tc598 \h 26
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式能成立（有解）问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．已知函数.
(1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数的取值范围.
例题2．已知函数其中为常数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
精练高频考点
1．已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．
2．已知函数，且在处取得极值．
(1)求m的值及的单调区间；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围．
3．已知函数（a为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数．
(1)求证：；
(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；
(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．
例题2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，．
(1)若在点处的切线为，求实数的值；
(2)设函数，求函数的单调区间与极值；
(3)若存在，使得成立，求的取值范围．
精练高频考点
1．（2025·新疆喀什·二模）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是.
(1)求；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．
例题2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若都有求实数a的取值范围；
(3)设若使得成立，求实数a的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数．
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若在区间上存在，使得成立，求的取值范围．
2．（2024·山东泰安·三模）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)若，且，求的取值范围.
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
例题3．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数a>0，.
(1)若函数与在处有相同的切线，求实数b的值；
(2)当，时，求证：；
(3)当时，记，若存在，使得是自然对数的底数.），求实数a的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高三下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，使得，求实数a的取值范围.
2．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，，使得，求实数的取值范围.
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．
例题2．（24-25高一下·四川泸州·期中）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”.
(1)若函数是“型函数”，求的值；
(2)若函数是“型函数”，求和的值；
(3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围.
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，.
(1)求的值；
(2)设函数
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
2．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，.
(1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.
3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在的值域；
(3)我们知道：函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现：可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，使得，求实数的取值范围.
第05讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc5429" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc5429 \h 1
\l "_Tc15587" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc15587 \h 2
\l "_Tc15330" 高频考点一：分离变量法 PAGEREF _Tc15330 \h 2
\l "_Tc25276" 高频考点二：分类讨论法 PAGEREF _Tc25276 \h 7
\l "_Tc12508" 高频考点三：等价转化法 PAGEREF _Tc12508 \h 12
\l "_Tc13281" 高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题 PAGEREF _Tc13281 \h 18
\l "_Tc598" 高频考点五：值域法解决双参等式问题 PAGEREF _Tc598 \h 26
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式能成立（有解）问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
2、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
3、等价转化法
当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
5、值域法解决双参等式问题
,,使得成立
①，求出的值域，记为
②求出的值域，记为
③则,求出参数取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．已知函数.
(1)当在处的切线是时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)减区间，增区间，极小值，无极大值.
(2)
【分析】（1）根据切线求得，利用导数求得的单调区间与极值.
（2）由不等式分离参数，然后利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.
【详解】（1），
若在处的切线是，
则，
则，
令，得，令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
且在处取得极小值，无极大值.
（2）依题意，①在上有解，
①可化为，
设，
，
由（1）知，当且仅当时函数值为，
所以当单调递减；
单调递增；
所以，
所以的取值范围是.
例题2．已知函数其中为常数.
(1)求在处的切线方程；
(2)若，使成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）由题意，将其等价转化为在有解，即，令，进而利用导数分析单调性求解即可.
【详解】（1）由，得，
则，
故所求切线方程为，即.
（2），使成立，
即，使成立，
则在有解，即.
令，，
令得；令得，
故在单调递增，在单调递减，
所以，
则，故的最小值为.
精练高频考点
1．已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据函数的极小值为，求得a，再利用导数的几何意义求解；
（2）由（1）知：得到在上递增，再将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，令，求得其最大值即可.
【详解】（1）因为函数，
所以，显然，
因为函数的极小值为，
所以，解得，
此时当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故极小值为，满足要求，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）由（1）知：当时，，
所以在上递增，
因为存在，使得成立，即，
所以存在，使得成立，
所以存在，使得成立，即成立，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以，则实数b的取值范围是.
2．已知函数，且在处取得极值．
(1)求m的值及的单调区间；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）对函数求导，由求参数，进而研究函数的单调区间；
（2）问题化为在上能成立，利用导数求的最大值，即可得范围.
【详解】（1）由题设，且，即，
所以，当时，当时，
所以的递减区间为，递增区间为，即处取得极小值，满足，
综上，，的递减区间为，递增区间为；
（2）由题设，即在上能成立，
令，则，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
由时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，则.
3．已知函数（a为实常数）．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可；
（3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围.
【详解】（1）由题设，则，
则在上有，故在上是增函数，得证；
（2）由题设，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以最小值为时，最大值为时；
（3）由题设在上能成立，则，
对于，则在上恒成立，
故在上单调递增，且时，即在上恒成立，
所以在上能成立，
令且，则，
对于且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，，即在上恒成立，
在上恒成立，则在上单调递增，故，
所以.
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数．
(1)求证：；
(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；
(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得.
（2）设出直线与函数图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与联立结合判别式求出值.
（3）结合（1）的结论，按分类，借助导数讨论得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
不等式，
令，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，
因此，所以.
（2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为，
则切线的方程为：，
又直线过点，于是，
整理得，即，令，
求导得，即在上单调增，又，因此，
切线的方程为，由与函数的图象相切，得，
即，于是，解得，
所以实数的值是.
（3）①当时，，则，使，符合题意；
②当时，，
，则，又由（1）知，，
因此，不合题意；
③当时，令，
当时，，则，
当时，，则，
则，
令，求导得，
由，得时；由，得时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即当时，不合题意，
所以的最大值为.
例题2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，．
(1)若在点处的切线为，求实数的值；
(2)设函数，求函数的单调区间与极值；
(3)若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
【分析】（1）求出的导数，根据在点处的切线为，得得解；
（2）求出，判断的正负，得解；
（3）令，把题干中的问题转化为在上有，再利用导数研究的单调性，对进行分类讨论，求出不同范围下的，得解.
【详解】（1），
，又在点处的切线为，得，
即，解得.
（2），
，，
令，解得，令，解得，
，单调递增，，单调递减，
在处取得极大值，极大值为，无极小值.
（3）令，，使得，
等价于在上，，
，，
，，
令，，令，，
即在上单调递减，在上单调递增，
当即时，在上单调递减，
，则，解得，
，，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
，因为，所以，
则，即，不合题意，
综上，的取值范围为.
精练高频考点
1．（2025·新疆喀什·二模）已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）结合导数分析函数的单调性，进而求解极值；
（2）求导，分，，三种情况分析求解即可.
【详解】（1）当时，，
则，
令，得；令，得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极大值，
时，函数取得极小值.
（2）由，，
则，
当时，，此时，函数在上单调递增，
则，即；
当时，，
则时，；时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，与矛盾，不符合题意；
当时，，此时，函数在上单调递减，
则，即恒成立，符合题意.
综上所述，的取值范围为．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的图象的一条切线方程是.
(1)求；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设切点，根据导数的几何意义求得，结合，构造，应用导数研究其零点，即可求参数值；
（2）问题化为有解，构造研究不等式能成立求参数范围.
【详解】（1）设的图象与直线切于点，则①，
，则，即，代入①式得.
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
故，即.
（2）由题意得有解，即有解.
令，则，
若，则，则，符合题意；
若，即，则，不符合题意；
若，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，解得.
综上，的取值范围为.
高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性；
（2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得．
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
而，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，此时，
即在区间上有解，
令，则．
令，则，
所以函数在上单调递增，所以．
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上可知，实数a的取值范围是．
例题2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若都有求实数a的取值范围；
(3)设若使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)
(3)
【分析】（1）代入，求导即可得出函数的单调区间；
（2），都有等价于时，恒成立，然后分类讨论求即可.
（3）令，即存在，使得，然后分类讨论求即可求解.
【详解】（1）当时，，
令，解得
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2），都有，
即时，恒成立,
,令,
①当，即时,
，，所以在单增，
所以，满足题意.
②当，即时，
此时，，
i）当时，即时，
，，所以在单增，
所以，满足题意.
ii）当时，即时，
此时，所以，不满足题意.
综上所述：当时，满足时，恒成立.
.
（3）令，
即存在，使得，
即存在，使得，
，
i）当时，此时在上，，单减，
，即，满足题意.
ii）当时，此时在上，，单增，
在上，，单增.
，，即，
，不满足题意.
iii）当时， 此时在上，，单增，
，解得，满足题意.
综上所述：
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
精练高频考点
1．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）已知函数．
(1)若，求函数的最小值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若在区间上存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增
(3)或
【分析】（1），第一步求函数的导数，第二步求极值点，分析零点两侧的单调性，求得最小值；
（2），求导，根据函数的定义域是，所以讨论和0的大小关系，分和两种情况讨论函数的单调性；
（3）根据（2）将问题转化为在上存在，使得，讨论极值点与定义域的关系，分，，三种情况讨论函数的最小值，令 ，求实数.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，
所以在处取得极小值1，函数没有极大值，
所以的最小值为．
（2），
，
①时，即时，
在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增；
②当，即时，在上，
所以函数在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增．
（3）由题意可知在上存在，使得成立，
即在上存在，使得，
即函数在上的最小值，由第（2）问可知：
①当，即时，在上单调递减，
∴，∴，又∵，∴，
②当，即时，在上单调递增，
∴，
③当，即时，∴，
∵，此时不存在使成立，
综上可得所求的范围是：或．
2．（2024·山东泰安·三模）已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)若，且，求的取值范围.
【答案】(1)最小值为，无最大值.
(2).
【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值；
（2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）.解：因为的定义域为，可得.
当时，令，可得；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值.
（2）解：当时，由，可得，
整理得，即，
令，
则，
由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取得最大值，即，
故的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性；
（2）在上的最大值小于等于在的最大值，在（1）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案.
【详解】（1）由，定义域为，
则，
当时，，
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令得，令得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，若对于任意，总存在，使得，
即在上的最大值小于等于在的最大值，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减；
故.
由，，则，
由于，故在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
所以，即.
令，，
则，
故在上单调递减，
又，
所以当时，，
故m的取值范围为.
例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间；
（2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解．
【详解】（1），
（1）当时，，，的减区间是．
（2）当时，，的减区间是．
（3）当时，，，的增区间是，
，的减区间是．
综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.
（2），，因为存在实数，使得不等式成立，
，
，，,，，单减，，，单增．
．
，，，．
例题3．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习）已知函数a>0，.
(1)若函数与在处有相同的切线，求实数b的值；
(2)当，时，求证：；
(3)当时，记，若存在，使得是自然对数的底数.），求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）分别求出两个函数得导数，根据相同切线，则有相同得斜率和根即可求得；（2）构造函数，求导根据单调性和最值即可比较大小；（3）对进行分类讨论，构造函数求导根据最值来说明.
【详解】（1）函数
则，
因为函数与在处有相同的切线，则在有相同的函数值，
即，，解得.
（2）当时，，
构造函数，
，当时，，当x≥0，，
则，所以在上单调递增，且，所以；
当时，，当，，，
，所以；
（3）当时，，
求导得：，当时，，在上单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，，，
，，
令，则，所以在上单调递增，，即，由，
可得，
令，，对求导得，，
所以在上单调递增，
又，所以；
当时，，在上单调递增，且，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，，，
，，令，求导得，所以在上单调递减，，即，由，可得，令，，对求导得，，所以在上单调递减，又，所以，综上，实数的取值范围是
精练高频考点
1．（24-25高三下·河南南阳·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，使得，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，根据参数的取值范围，分类讨论，利用一次函数以及二次函数的性质，结合导数与函数的单调性，可得答案；
（2）由题意可得，根据（1）可得函数在上的单调性以及最大值，由函数的解析式可得其单调性以及最大值，化简不等式，可得答案.
【详解】（1）由函数，则其定义域为，
求导得，
令，
当时，，令得，令得，
则得，得，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数为二次函数，由，则令得或，
当时，函数开口向上，
当，即时，得或，得，
由得或，得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当，即时，当且仅当取等号，则，
故函数的单调递增区间为；
当，即时，得或，得，
由得或，得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，函数开口向下，显然，
得，得，由得，得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由函数，则函数在上单调递增，
故其最大值，
当时，由（1）可知函数无最大值，不合题意；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
函数在上的最大值为，
由题意可得：，则，解得，
综上所述，的取值范围为.
2．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间；
（2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
.
①当时，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为；
②当时，即当时，
由可得；由可得或，
此时，函数的增区间为和，减区间为；
③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零，
此时，函数的单调递增区间为；
④当时，即当时，
由可得；由可得或，
此时，函数的增区间为和，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的增区间为和，减区间为.
（2）若，，使得，则，
，故在上单调递增，
当时，取得最大值1，即.
由（1）知，当时，，
令，得，故.
当时，无最大值，不符合题意.
综上所述：实数的取值范围为.
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间；
（2）转化为，，进而可得a的取值范围.
【详解】（1）由题，.
当，则，则此时在上单调递减；
当，则.
若，即时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，此时在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）时，由（1）可得；
又，则，得在上单调递增，
则.
又注意到存在，，使得，
等价于时，，
则，又，
则.
高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
由，
解得或，
所以不等式的解集为.
（2）当时，，
对称轴为，且，，
所以对任意的，.
时，是增函数，，
由得，
若对任意的，总存在，使成立，
所以，解得，
所以正实数的取值范围是.
例题2．（24-25高一下·四川泸州·期中）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”.
(1)若函数是“型函数”，求的值；
(2)若函数是“型函数”，求和的值；
(3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据题中定义得出，结合指数运算可求得实数的值；
（2）根据“型函数”的定义得出，可得出恒成立，即可得出实数、的值；
（3）根据题意可知在的值域是的子集，求出，分析可知，问题等价于函数在区间上的值域为的子集，然后对实数的取值进行分类讨论，求出函数在区间上的值域，根据集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】（1）已知函数是“型函数”，
根据“型函数”的定义，，
因为，所以，故，可得.
（2）因为函数是“型函数”，所以，即.
由题意可知，所以恒成立，
所以，解得，.
（3）因为函数是“型函数”，对应的实数对为，所以.
当时，；
当时，则.
当时，，在上单调递减.
故当时，，则在的值域为.
因为对任意时，都存在，使得，
所以在的值域是的子集，
根据题意，在等式中，令可得，解得，合乎题意；
若函数在区间、上的值域为、，则，，
对任意的，则，则，且，即，
所以，问题等价于函数在区间上的值域为的子集，
当时，，其对称轴为.
①若，即，在上单调递增，，
此时为的真子集，不合乎题意；
②若，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，且，，
由题意可知，函数在上的值域为的子集，则有，
解得，
③若，即，在上单调递减，，
此时不是的子集，不合乎题意.
综上：的取值范围是.
精练高频考点
1．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，.
(1)求的值；
(2)设函数
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)4；
(2)（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）.
【分析】（1）由对称性得到，故；
（2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称；
（ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】（1）函数的图像关于点对称，
故，
令得；
（2）（ⅰ）证明：，
故，
故函数的图像关于点对称；
（ⅱ），
故在上单调递增，其中，
，
故的值域为，
设在上的值域为，由题意得，
图象开口向上，对称轴为，且，
当时，
若，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增，
因为，所以，
所以，由得，解得，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可知，或，
因为，所以，
，
又，
所以，
所以当时，满足；
当，即时，在上单调递减，
由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减，
因为，所以，
所以，由得，解得，
综上，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，
一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；
二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；
三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
2．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数，.
(1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可；
（2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可.
【详解】（1）因为对任意，不等式恒成立，
所以即对任意恒成立，
则，解得，
故的取值范围为；
（2）设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B，
因为对任意，存在，使得，所以，
当时，，即函数在区间的值域为，
函数的对称轴为，
，则在上单调递增，故，
而不是的子集，不符合；
当时，则在上单调递减，故，
要使，则，解得，
综上，的取值范围是.
3．（24-25高一上·福建福州·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在的值域；
(3)我们知道：函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现：可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数的图象关于直线对称，且当时，，若，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及时的解析式，求时函数的解析式，依据奇函数的性质，确定时的函数值即可；
（2）利用换元法以及二次函数的单调性即可求解；
（3）根据函数的对称性，求出时函数的解析式，进而确定的解析式，结合已知条件以及二次函数的性质分情况分析即可确定实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
，
又是奇函数，
，
.
（2）当时，，
令，则，
，，
二次函数开口向上，对称轴为，
当时，，
函数在的值域为.
（3）函数的图象关于直线对称，
由题意可得：函数为偶函数，
，，
当时，，
，
令，其中，
函数在的值域记为，函数在的值域记为，
由（2）知，
，，使得，
即，只需，
二次函数开口向上，且对称轴为，
①当时，在单调递增，
，
，解得：，
②当时，在单调递减，
，
，解得：，
③当时，在单调递减，在单调递增，
，
，解得：，
综上：的取值范围为：.
1
0
单调递减
极小值
单调递增