2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第05讲复数(知识点+真题+7大高频考点)(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第05讲复数(知识点+真题+7大高频考点)(精讲)(原卷版+解析)，文件包含第五章遗传的基本规律讲义浙江专用原卷版docx、第五章遗传的基本规律讲义浙江专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13775" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc13775 \h 1
\l "_Tc26487" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc26487 \h 3
\l "_Tc12611" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc12611 \h 3
\l "_Tc21639" 高频考点一：复数的概念 PAGEREF _Tc21639 \h 3
\l "_Tc20977" 高频考点二：复数的几何意义 PAGEREF _Tc20977 \h 3
\l "_Tc10369" 高频考点三：复数分类 PAGEREF _Tc10369 \h 4
\l "_Tc27418" 高频考点四：复数模 PAGEREF _Tc27418 \h 4
\l "_Tc30820" 高频考点五：待定系数求复数 PAGEREF _Tc30820 \h 5
\l "_Tc6521" 高频考点六：复数的四则运算 PAGEREF _Tc6521 \h 5
\l "_Tc17104" 高频考点七：共轭复数 PAGEREF _Tc17104 \h 6
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．2
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．3
例2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
精练高频考点
1．（2025·陕西·模拟预测）复数的虚部是（ ）
A．B．1C．D．3
2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列关于复数（）的说法一定正确的是（ ）
A．存在使得小于0B．存在使得
C．不是实数D．实部和虚部均为1
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例1．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例2．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
精练高频考点
1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
高频考点三：复数分类
典型例题
例1．（2025·吉林·模拟预测）已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．1C．或1D．2
例2．（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数（）为正实数，则 ．
精练高频考点
1．（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（ ）
A．4B．C．1D．
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知复数z与都是纯虚数，则 .
3．（2025·山西临汾·三模）已知，复数为纯虚数，则 ．
高频考点四：复数模
典型例题
例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（ ）
A．有最小值2B．有最大值2C．有最小值D．有最大值
例3．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 .
精练高频考点
1．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
2．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知为虚数单位，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例1．（多选）（2025·山东青岛·一模）下列计算结果与相等的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z满足，则z的虚部为 .
精练高频考点
1．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2025·广东揭阳·三模）若复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例1．（2025·重庆·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（ ）.
A．B．2C．D．4
例2．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且则实数 .
精练高频考点
1．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．1D．
高频考点七：共轭复数
典型例题
例1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ．
精练高频考点
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A．B．3C．D．
2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．1
第05讲 复数
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13775" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc13775 \h 1
\l "_Tc26487" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc26487 \h 2
\l "_Tc12611" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc12611 \h 3
\l "_Tc21639" 高频考点一：复数的概念 PAGEREF _Tc21639 \h 3
\l "_Tc20977" 高频考点二：复数的几何意义 PAGEREF _Tc20977 \h 5
\l "_Tc10369" 高频考点三：复数分类 PAGEREF _Tc10369 \h 6
\l "_Tc27418" 高频考点四：复数模 PAGEREF _Tc27418 \h 8
\l "_Tc30820" 高频考点五：待定系数求复数 PAGEREF _Tc30820 \h 10
\l "_Tc6521" 高频考点六：复数的四则运算 PAGEREF _Tc6521 \h 12
\l "_Tc17104" 高频考点七：共轭复数 PAGEREF _Tc17104 \h 14
第一部分：基础知识
1、复数的概念
我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.
2、复数相等
在复数集中任取两个数，，（），我们规定.
3、复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
（2）表示方法
表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.
故选：D
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【知识点】求复数的模
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数
【分析】先得到，利用复数除法法则得到，求出虚部.
【详解】由题意可知，所以，
则的虚部为.
故选：B.
例2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
【答案】D
【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误；
对于B中，若，那么，所以B错误；
对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误；
对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确.
故选：D.
精练高频考点
1．（2025·陕西·模拟预测）复数的虚部是（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】D
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】直接利用复数的乘法法则计算可得答案.
【详解】因为，
所以复数的虚部为3.
故选：D.
2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列关于复数（）的说法一定正确的是（ ）
A．存在使得小于0B．存在使得
C．不是实数D．实部和虚部均为1
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、判断特称（存在性）命题的真假、复数的基本概念
【分析】根据复数的大小比较条件判断选项A；根据复数的幂运算判断选项B；根据实数、虚数、实部和虚部的概念判断选项C和选项D.
【详解】对于选项A：
因为复数不能直接比较大小，只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以A错误.
对于选项B：
因为，所以只有当时，的幂次方才有可能为实数.
当时，验证是否为1.
，可以看出周期为4，所以，所以B错误.
对于选项C：
因为，所以为复数，不是实数，所以C正确.
对于选项D：
因为不一定是1，所以实部不一定为1.所以D错误.
故选：C.
高频考点二：复数的几何意义
典型例题
例1．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，
∴复数在复平面内对应的点，位于第二象限.
故选：B.
例2．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可.
【详解】，所以对应的点位于第四象限.
故选：D
精练高频考点
1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方
【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以，则在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A．
2．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据题意，化简得到复数，然后结合复数的几何意义即可知道结果.
【详解】因为，所以
则其对应点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
高频考点三：复数分类
典型例题
例1．（2025·吉林·模拟预测）已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．1C．或1D．2
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数定义列方程和不等式即可求解.
【详解】由题可得.
故选：B
例2．（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、已知复数的类型求参数
【分析】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答.
【详解】因为,
所以，
故选：C
例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数（）为正实数，则 ．
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】利用复数的概念进行求解即可
【详解】由题意得解得．
故答案为：2.
精练高频考点
1．（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（ ）
A．4B．C．1D．
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】由共轭复数的概念和纯虚数的概念结合复数的乘法运算可得.
【详解】由题意可得，
因为为纯虚数，即为纯虚数，
所以，解得.
故选：D
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知复数z与都是纯虚数，则 .
【答案】
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算
【分析】由题意设，代入，整理后由为纯虚数即可求解．
【详解】由题意设，
则，
则，解得
则
故答案为：.
3．（2025·山西临汾·三模）已知，复数为纯虚数，则 ．
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数的概念列出等式求解即可.
【详解】由题意可得，
解得：，
故答案为：
高频考点四：复数模
典型例题
例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】先设复数，再根据模长得出，再结合两点间距离公式转化为圆心到点的距离减半径计算求解.
【详解】设，故；
而，
故的最小值为，
故选:C．
例2．（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（ ）
A．有最小值2B．有最大值2C．有最小值D．有最大值
【答案】C
【知识点】求复数的模、由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】设，根据复数的模得到，再计算，即可得解.
【详解】设，由，
则，所以，
解得，所以，当且仅当时取等号，
所以有最小值，无最大值．
故选：C
例3．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 .
【答案】
【知识点】求点到直线的距离、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解.
【详解】设，
则由可得：，
则，即或
的几何意义为射线上的点与的距离，
结合图像可知：到的距离即为最小值，
最小值为：，
故答案为：
精练高频考点
1．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值.
【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为，
复数在复平面对应的点为：，
由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，
而，所以点在线段上，故，
则，
当时，的最大值为.
故选：B.
2．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知为虚数单位，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、求复数的模
【分析】利用复数的模的运算，再结合指对数转化即可求解.
【详解】由复数的模得：，
所以有，
故选：D.
3．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算
【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围.
【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上，
由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知.
故选：D
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例1．（多选）（2025·山东青岛·一模）下列计算结果与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】设，则，利用复数的乘法以及复数的模长公式逐项判断即可.
【详解】设，则，，
，，
所以，同理可得，
因此，，
故选：ACD.
例2．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z满足，则z的虚部为 .
【答案】
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的相等
【分析】设，利用复数相等可得，求解即可.
【详解】设，则，
所以，解得或，所以或，
所以的虚部为.
故答案为：.
精练高频考点
1．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】设复数，根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出方程组求解的值，从而得到复数，最后确定其在复平面内的位置.
【详解】设复数，则共轭复数，
因为，
列出方程组为：
求解该方程组得：.
所以复数.
在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标，
所以该点在第一象限.
故选：A.
2．（2025·广东揭阳·三模）若复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模
【分析】设，，再根据复数除法运算和等量关系即可求出参数，再结合复数的模的计算公式即可计算求解.
【详解】设，，则，即，
整理得，故，注意到，
则只能，故，
故.
故选：D.
高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例1．（2025·重庆·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（ ）.
A．B．2C．D．4
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可.
【详解】设，
则，
所以，，
即，所以.
故选：B
例2．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且则实数 .
【答案】
【知识点】复数的除法运算、复数的相等、复数代数形式的乘法运算
【分析】化简复数，再由复数相等可得解方程即可得出答案.
【详解】因为
所以解得：.
故答案为：.
精练高频考点
1．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】复数的除法运算
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】，
所以．
故选：B
2．（2025·河北·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】先分母实数化，整理后写出复数，结合模长公式计算即可.
【详解】，则，
故选：C．
高频考点七：共轭复数
典型例题
例1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】利用复数的除法运算求出复数，根据共轭复数及虚部的定义求解.
【详解】因为，所以，
因此，故的虚部为．
故选：A.
例2．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ．
【答案】/
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
精练高频考点
1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算
【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z；
方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部.
【详解】方法一、设，，
所以，
，，所以的虚部为，
故选：A．
方法二、，得，则有，
所以的虚部为，
故选：A．
2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到.
【详解】，所以，
故选：A