2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第05讲正弦定理和余弦定理的应用(精练+相遇模拟)(原卷版+解析)

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1．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
2．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
3．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）.
A．B．100mC．D．
4．（23-24高一下·湖南·阶段练习）某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
5．（23-24高一下·江苏泰州·期中）兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图所示，则的值为（ ）

A．B．C．D．
6．（23-24高三上·山东聊城·阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）

A．B．C．D．
7．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（ ）

A．测量，，B．测量，，
C．测量，，D．测量，，
8．（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ）

A．舰艇所需的时间为1小时B．舰艇所需的时间为2小时
C．D．
9．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 .
10．（15-16高二上·山东泰安·阶段练习）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m.
11．（2026高三·全国·专题练习）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）.
(1)求两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度.
12．（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）
B相遇高考模拟题
1．（2025·湖北恩施·模拟预测）某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
2．（2025·江苏南通·模拟预测）图1是某长方体建筑，图2长方体是该建筑的直观图，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为.现测得长为，在处测得点的仰角为，点的仰角为，则建筑物的高为（ ）（单位：）
A．B．
C．D．
3．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 .
5．（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.
(1)设A到P的距离为xkm，求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）.
C素养提升
1．（24-25高一下·广东江门·期中）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆.剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68mB．72mC．74mD．76m
2．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从点观测峰顶的仰角为，则
D．从点观测点的仰角为，则
3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ．
4．（24-25高一下·湖北恩施·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向．
(1)求二桥CD的长度．
(2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值．
第05讲 正弦定理和余弦定理的应用
A夯实基础 B相遇高考模拟题 C素养提升
A夯实基础
1．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】B
【分析】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可.
【详解】在中，设，则，
由余弦定理得，
即，解得．
在中，．
由正弦定理得，即，解得．
故选：B．
2．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】D
【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果.
【详解】连接,如图:
由已知条件得:,
因为甲船的速度是每小时海里,
所以,
则是等边三角形,
所以,
因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,
所以,
则,
即,
所以乙船航行的速度是海里/小时,
即乙船每小时航行海里.
故选:D.
3．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）.
A．B．100mC．D．
【答案】C
【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.
【详解】由题意，
而，由正弦定理可得，即，解得，
注意到，
从而.
故选：C.
4．（23-24高一下·湖南·阶段练习）某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
【答案】A
【分析】利用余弦定理解三角形即可.
【详解】由余弦定理可得，则.
故选：A
5．（23-24高一下·江苏泰州·期中）兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图所示，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设小正方形方格边长为1，分别计算出的三边的长，利用余弦定理计算即得.
【详解】

如图，依题意，连接,不妨设小正方形方格边长为1，则
由余弦定理，,因，故得
故选：B.
6．（23-24高三上·山东聊城·阶段练习）泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，进而得到.
【详解】由题设且，
过点作平行于，则，，

故，
所以，，
在中，由勾股定理可得，
在中，由正弦定理得，，即，
所以，故.
故选：A
7．（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了四种测量方案（的角所对的边分别记为，，），则一定能确定间距离的所有方案为（ ）

A．测量，，B．测量，，
C．测量，，D．测量，，
【答案】ABC
【分析】根据题意结合正、余弦定理依次判断求解.
【详解】对于A，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c；
对于B，直接利用余弦定理即可解出c；
对于C，先利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理解出c；
对于D，不知道边的长度，显然不能求c.
故选：ABC.
8．（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（ ）

A．舰艇所需的时间为1小时B．舰艇所需的时间为2小时
C．D．
【答案】AD
【分析】设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果.
【详解】

如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.
根据余弦定理得，解得或（舍去），
故.由正弦定理得，解得
故选：AD.
9．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 .
【答案】
【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的体积公式即可求解.
【详解】如图，
设球的半径为，，，
，，
，即该球体建筑物的体积为.
故答案为：
10．（15-16高二上·山东泰安·阶段练习）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m.
【答案】
【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度.
【详解】在中，，，，
，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以树的高度为.
故答案为：.
11．（2026高三·全国·专题练习）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）.
(1)求两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，从而在中，利用余弦定理求出x即可；
（2）在中，根据锐角三角函数定义求解可得.
【详解】（1）由题意，设，因为在地听到弹射声音的时间比地晚，所以.
在中，由余弦定理得，
即，解得.
故两地的距离为.
（2）在中，，
所以，
故该仪器的垂直弹射高度为.
12．（24-25高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求出山高（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）
【答案】
【分析】在中利用正弦定理求出，再在中利用锐角三角函数求出，即可得解.
【详解】依题意可得，，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
在中，，即，
所以，
所以山高．
B相遇高考模拟题
1．（2025·湖北恩施·模拟预测）某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
【答案】B
【分析】构建直角三角形，利用已知的角度和大楼的高度，求出建筑物与大楼之间的水平距离，进而求出建筑物超出大楼的高度，最终得到建筑物的高度即可.
【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，则，
得到，则该建筑物的高度.
故选：B.
2．（2025·江苏南通·模拟预测）图1是某长方体建筑，图2长方体是该建筑的直观图，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为.现测得长为，在处测得点的仰角为，点的仰角为，则建筑物的高为（ ）（单位：）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用解直角三角形可求建筑物的高.
【详解】
设建筑物高为，
在线段上截取，则四边形为矩形，
在线段截取，则四边形为矩形且四边形为矩形.
在直角三角形中，，故，同理，
在直角三角形中，，
故，故，
故
（）
故选：B.
3．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理可求的值.
【详解】
如图，，，∴．
又，∴，根据勾股定理．
在中，根据正弦定理可知，
即，解得，
故选：C．
4．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形与一个直角三角形拼接成一个平面四边形，且，，，则当的长最大时，的值为 .
【答案】
【分析】设，由余弦定理，结合条件得，根据正弦定理求得，在中利用余弦定理求得，再利用辅助角公式结合两角和的正弦公式求得的长取最大值时即的值.
【详解】设，
在中，由余弦定理，得.
因为，所以.
由正弦定理，得，所以.
因为，所以.
在中，由余弦定理，得
，
其中，，所以当时，，
所以.
综上，当的长最大时，的值为.
故答案为：.
5．（2025·河南南阳·一模）如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上一点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km和54km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.
(1)设A到P的距离为xkm，求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果，
（2）作垂线，根据直角三角形解结果.
【详解】（1）依题意，得 ，
，所以 ，
．在 中，，
余弦定理，得 ．
同理在 中，．
由于 ，
所以 ，
解得 ．
（2）作 ，垂足为 ，在 中，
．
所以目标 到海防警戒线 的距离为 ．
C素养提升
1．（24-25高一下·广东江门·期中）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆.剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68mB．72mC．74mD．76m
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解．
【详解】设直线交点为，则，
由题意，，
又，
所以，解得，
又，所以，
而，
所以，
故选：B
2．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．从点观测峰顶的仰角为，则
D．从点观测点的仰角为，则
【答案】ABD
【分析】首先求出，即可求出，从而判断A，过点作交于点，求出，即可判断B，利用锐角三角函数判断C，利用余弦定理求出，即可判断D.
【详解】对于A：依题意，，且，
所以，则，
因为峰顶在所在地平面垂直投影点为，即平面，平面，所以，
所以，故A正确；
对于B：因为在地平面投影点落在上，即平面，且平面，
所以，过点作交于点，则，，
又，，所以，
因为山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，即，
所以，
则，故B正确；
对于C：因为从点观测峰顶的仰角为，则，
所以，则，故C错误；
对于D：因为，平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以，
，
所以，所以，
所以从点观测点的仰角为，则，故D正确.
故选：ABD
3．（24-25高一下·河北邯郸·期中）四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】先分析出当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，然后分别在，中，根据余弦定理表示出，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分别求出，的面积，相加即可得到四边形的面积.
【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图，
连接，在中，由余弦定理得：
，①
在中，由余弦定理得：
，②
因为A、B、C、D四点共圆，所以，
从而，③
由①②③解得 ，因为，所以 ．
从而，
，
所以 ．
故答案为：；.
4．（24-25高一下·湖北恩施·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向．
(1)求二桥CD的长度．
(2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值．
【答案】(1)2千米
(2)平方千米
【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果.
（2）利用三角恒等变换表示出面积和之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的最大值.
【详解】（1）
如图所示，过点作，过点作，
点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向.
根据题意可知，所以,
由题意得，，
所以，故，
在中，由正弦定理得，即 ，故，
因为，
所以.
在中，，
由正弦定理可得，，解得．
在中，，
由余弦定理可得，解得，
所以二桥的长度是2千米.
（2）
由（1）知扇形所在区域半径，圆心角.
如图，取线段的中点，连接交于，连接．
设.
根据垂径定理可知，故．
在中，由得，，
所以，
则矩形的面积，
由得，
所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米．