2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲平面向量的概念及其线性运算(精练+相遇模拟)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲平面向量的概念及其线性运算(精练+相遇模拟)(原卷版+解析)，共33页。
1．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则与方向相同或相反
B．若，则
C．“”是，共线”的充要条件
D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
3．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）
A．2B．4C．D．
7．（多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）对于任意向量，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，满足，且，反向，则
B．
C．
D．
8．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且B．若，则
C．若，则存在实数，使得D．
9．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 .
10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 .
11．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．

(1)化简：；
(2)求证：为定值；
12．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若，且，求实数的值.
B相遇高考模拟
1．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ．
2．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 .
3．（2024·天津河西·二模）在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； .
4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ．
C素养提升
1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ．
3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 .
4．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ．
第01讲 平面向量的概念及其线性运算
A夯实基础 B相遇高考模拟 C素养提升
A夯实基础
1．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，使得成立的充分非必要条件是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由共线向量的模的特点得到答案.
【详解】使得成立的充分条件是和反向且，
对于A，和是同向，所以A错误，
对于B，和可能同向，可能反向，所以B错误，
对于C，由，得，则和反向且，所以C正确，
对于D，由可得和的方向不能确定，所以D错误.
故选：C．
2．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则与方向相同或相反
B．若，则
C．“”是，共线”的充要条件
D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
【答案】B
【分析】根据向量共线的定义可判定A；由向量数量积的性质及运算可判定B；由向量共线的性质可判定C；由向量相等的定义可判定D.
【详解】对于A，当或时，有，
但与方向相同或相反不一定成立，故A错误；
对于B，若，则，
则，即，故B正确；
对于C，由，可得，共线，
若，，则，但不存在实数，使得，
故“”是，共线”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，两个单位向量互相平行，它们的方向可能相同也可能相反，
则这两个单位向量不一定相等，故D错误．
故选：B.
3．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】在正方形中，，即，
则.
故选：A.

4．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可.
【详解】因为在平行四边形中，，所以，
因为是的中点，所以，即，，
根据向量的加法法则，，
故选：B.
5．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可.
【详解】若，则，
选项A：若，则，解得，选项A正确；
选项B：若，则，无解，选项B错误；
选项C：若，则，无解，选项C错误；
选项D：若，则，无解，选项D错误.
故答案为：A.
6．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案.
【详解】法一：，
即；
法二
由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若，，，，，
则，，故.
故选：C.
7．（多选）（24-25高一下·湖南衡阳·期末）对于任意向量，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，满足，且，反向，则
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】向量之间无法比较大小，可判断A；利用数量积的概念与性质可判断B，举反例可判断C；根据向量减法的几何意义可判断D.
【详解】对于A选项，向量之间无法比较大小，A错误，
对于B选项，，B正确，
对于C选项，当，时，，，
则，，此时，C错误，
对于D选项，取平面内三点A，B，C，令，，则，
而由可得，D正确，
故选：BD．
8．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且B．若，则
C．若，则存在实数，使得D．
【答案】ABC
【分析】通过举反例可判断A，B，C项；根据向量的加减法的几何意义易得D项正确.
【详解】对于A，当且都不为零向量时，满足且，但，故A错误；
对于B，当时，满足，但得不到与的关系，故B错误；
对于C，当且时，满足，但不满足，故C错误；
对于D，由向量加减法的几何意义，结合图形可知，
当且仅当与共线同向时，与成立，
当且仅当与共线反向时，与成立，故D正确.
故选：ABC.
9．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意可得，再根据向量相关性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为是两个单位向量，且，
所以，则，
又，当且仅当方向相反时，等号成立，
，当且仅当方向相同时，等号成立，
所以.
故答案为：
10．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 .
【答案】
【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可.
【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为，
根据直角三角形的性质：
，，
根据勾股定理，在中，，
因此.
故答案为：.
11．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，．设，，，．

(1)化简：；
(2)求证：为定值；
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用向量的运算法则求解；
（2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解.
【详解】（1）因为是的中点，所以，
又是的中点，所以，
所以.
（2）由题，可得，，
，
因为三点共线，所以，
所以.
12．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若，且，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)9.
【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线；
（2）由平面向量的共线定理列方程求出的值.
【详解】（1）由，，，
所以，
所以，
所以、共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
（2）由，且，
所以，
即，
所以，所以，
所以实数的值为9.
B相遇高考模拟
1．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ．
【答案】
【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可.
【详解】设，，则，
若，则，
因为B，M，D三点共线，则，得，
所以；
设，，则，
又B，M，D三点共线，则，得，
因为菱形ABCD的边长为1，，，，
所以，．
又，
所以，
整理，得，
解得，或（舍去）．故．
故答案为：、
2．（2024·湖南衡阳·一模）已知三角形中，，是上中线的三等分点满足，记，则 .
【答案】1
【分析】结合图形，由平面向量线性运算和平面向量的基本定理求解即可.
【详解】如图，
，所以，所以.
故答案为：1.
3．（2024·天津河西·二模）在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为 ； .
【答案】
【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定及与，的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空.
【详解】
由题意得，,,
由分别为线段、的中点，知，，
因此，
；
延长、交一点,由,，，,且.
,
又，,,，则
.
故答案为：；
4．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知中，角所对的边分别为，，，，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】取和，转化为，得到三点共线，得到的最小值，即为中边上的高，在中，结合余弦定理和面积相等，列出方程，即可求解.
【详解】在中，因为，
如图所示，取的中点，可得，
再延长到点，使得，可得 ，
因为，
因为，所以三点共线，
所以的最小值，即为中边上的高，
在中，由余弦定理得 ，所以，
又由，
可得，即，解得，
所以的最小值为.
故答案为：.
C素养提升
1．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）若平面向量两两的夹角相等，且，则 ．
【答案】或7
【分析】先由题意得平面向量两两的夹角为或，再由向量模长公式结合数量积定义直接计算即可得解.
【详解】由题可设平面向量两两的夹角为，
则或，
则由题
或．
故答案为：7或
2．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则 ．
【答案】/
【分析】先判断的形状，确定其内切圆半径，明确相关线段的长度，用为基底，表示即可.
【详解】如图：因为，所以为直角三角形.
设内切圆半径为．
则.
设内切圆与边，的切点分别为.
则.
又，
所以.
故答案为：
3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解
【详解】在中，，且，则，
可得
，
又，，所以，，
可得.
因为D，E，F三点共线，且点A在线外，所以，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：
4．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为三点共线，则，且，
且，，即，，
可得，
又因为，则，
可得，则，可得，
显然，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.