高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲平面向量的概念及其线性运算(分层精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第01讲平面向量的概念及其线性运算(分层精练)(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ， ，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
2．（2023春·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
3．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．或
C．D．
4．（贵州省贵阳市三新改革联盟校2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题）（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）如图，在正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）
A．若满足，且与同向，则
B．
C．若，则存在唯一的实数，使
D．
7．（2023·全国·高一专题练习）设是两个非零向量（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
8．（2023·山东聊城·统考一模）是内的一点，若，，则（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题
9．（2022秋·辽宁·高一辽阳市第一高级中学校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A．若，则存在实数，使得.
B．若，则.
C．若，则，反向.
D．若，则，一定同向
10．（2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在中，M，N分别是线段，上的点，与交于P点，若，则（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2022春·湖北·高一校联考期中）给出下列命题：①若，同向，则有；②若，不共线，则有；③恒成立；④对任意两个向量、，总有；其中正确的命题是__________（填序号）．
12．（2023·全国·高一专题练习）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，，，，，是正五边形的五个顶点，且，若，则__________（用表示）.
四、解答题
13．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量不共线，且，，．
(1)用表示；
(2)若，求的值，
14．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.
(1)证明：三点共线的充要条件是；
(2)如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.
B能力提升
1．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
2．（2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中）如图，中，，CD与BE交于F，设，则为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）在中，在射线上，且满足，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）如图矩形ABCD，，，AC与EF交于点N．
(1)若，求的值；
(2)设，，试用，表示．
5．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）（1）已知向量，不共线，向量，，，若A，，三点共线，求实数的值；
（2）已知，，，求．
第01讲 平面向量的概念及其线性运算(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南郑州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若 ， ，则
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】C
【详解】对于A，若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误；
对于B，如果，结论B不正确；
对于C，根据平行向量的定义，C正确；
对于D，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误；
故选：C.
2．（2023春·江苏淮安·高一校考阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【答案】C
【详解】图中与共线的向量有：
，共9个，
故选：C.
3．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】D
【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；
题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；
因为分别是的单位向量，所以，
故选：D
4．（贵州省贵阳市三新改革联盟校2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
故选：B
5．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）如图，在正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为六边形为正六边形，
所以．
故选：A
6．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ）
A．若满足，且与同向，则
B．
C．若，则存在唯一的实数，使
D．
【答案】B
【详解】对于A，向量不能比较大小，故A不正确；
对于B，根据向量加法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与同向时，等号成立，故B正确；
对于C，若，，不存在实数，使，故C不正确；
对于D，当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.
故选：B.
7．（2023·全国·高一专题练习）设是两个非零向量（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若存在实数，使得，则
【答案】C
【详解】对于选项A、C，因为、为两个非零向量，，
所以，即：，
所以，则，即与反向共线.
所以存在实数，使得.故选项A错误；选项C正确；
对于选项B，因为，所以，
所以，，
又因为、为两个非零向量，
所以，所以，
所以，故选项B错误；
对于选项D，因为，所以，，
所以当时，即：时，，
当时，即：或时，.故选项D不成立.
故选：C.
8．（2023·山东聊城·统考一模）是内的一点，若，，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【详解】由，则，
所以，即，又，
故，故.
故选：D
二、多选题
9．（2022秋·辽宁·高一辽阳市第一高级中学校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ）
A．若，则存在实数，使得.
B．若，则.
C．若，则，反向.
D．若，则，一定同向
【答案】ACD
【详解】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，
则存在实数，使得，故选项A错误；
对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，
则，故选项B正确；
对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；
对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；
综上所述：选项ACD错误，
故选：ACD.
10．（2023春·河北石家庄·高一校联考阶段练习）在中，M，N分别是线段，上的点，与交于P点，若，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】如图所示，设，，
由，可得，，
因为C，P，M共线，所以，解得，
因为N，P，B共线，所以，解得，
故，，即，．
故选：AC．
三、填空题
11．（2022春·湖北·高一校联考期中）给出下列命题：①若，同向，则有；②若，不共线，则有；③恒成立；④对任意两个向量、，总有；其中正确的命题是__________（填序号）．
【答案】①④
【详解】①由向量的加法法则，当若，同向，则有，正确；
②若，不共线，则有，②错误；
③当时，，③错误；
④由向量加法的三角形法则，知对任意两个向量、，总有，正确．
故答案为：①④．
12．（2023·全国·高一专题练习）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，，，，，是正五边形的五个顶点，且，若，则__________（用表示）.
【答案】
【详解】由已知，结合正五角星的图形，有
，
∵与方向相同，，
∴.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）已知向量不共线，且，，．
(1)用表示；
(2)若，求的值，
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
（2）因为，
所以，即，
又向量不共线，所以
解得，即的值为．
14．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.
(1)证明：三点共线的充要条件是；
(2)如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）证明：必要性，三点共线，不妨设，
可得，，
又，
所以，得，得证；
充分性：，
，即，
，又与有公共点，
所以三点共线；
所以三点共线的充要条件是；
（2）法一（向量法）
的重心是三条中线的交点，
可设，，
因为三点共线，可设，
则，
所以，解得，
所以，为的三等分点，
同理可证为的三等分点，
重心为中线的三等分点.
法二（几何法）：连接，为的中点，
，
，
所以，同理可得，
所以重心为中线的三等分点.
B能力提升
1．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期高考适应性测试数学试题）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】D
【详解】对A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；
对B，由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向．
易知，均为含角的直角三角形，故，则，而，故，
故，故B错误；
对C，因为，．故C错误；
对D，，则在上的投影向量为，故D正确．
故选：D．
2．（2019春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考期中）如图，中，，CD与BE交于F，设，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】，
，
同理：
，
因为平面向量基本定理可知向量用不共线的两个向量线性表示是唯一的，
所以，解得，
所以，即为.
故选：A.
3．（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）在中，在射线上，且满足，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于在射线上,设，
则
,
因为，故，解得，
故选：D
4．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）如图矩形ABCD，，，AC与EF交于点N．
(1)若，求的值；
(2)设，，试用，表示．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，
又，所以解得．
（2）因为，，
所以，所以．
5．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）（1）已知向量，不共线，向量，，，若A，，三点共线，求实数的值；
（2）已知，，，求．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题意，又，
A，，三点共线，则共线，
所以存在常数，使得，即，
而向量，不共线，所以，解得；
（2）由已知，
故，
所以，
则．