2027年高考数学一轮复习核心考点 第九章 第47课时 用样本估计总体课件（含试题及答案）

这是一份2027年高考数学一轮复习核心考点 第九章 第47课时 用样本估计总体课件（含试题及答案），共24页。PPT课件主要包含了常用结论必备，核心考点突破等内容，欢迎下载使用。
1．频率分布直方图中的常用结论(1)众数的估计值为最高矩形底边中点对应的横坐标；(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积之和是相等的．
考点一　总体百分位数的估计[典例1]　(1)(2025·丽江三模)样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为(　　)A．16 B．17C．23 D．24
(2)研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1 000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：h)分成五组：[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是(　　)A．7 B．7.5C．7.8 D．8
[多维变迁]1．(2025·开封月考)已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，6] B．(－∞，8)C．(－∞，8] D．(6，8)
C　[已知数据6，9，5，8，4，m的75%分位数是8，由题可知数据的总个数为6，6×75%＝4.5，所以该组数据的75%分位数是这组数据从小到大排列后的第5个数据，则m≤8，即实数m的取值范围是(－∞，8]．故选C．]
2．(2025·福州期末)某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了400名学生，得到这400名学生对食堂用餐质量给出的评分数据(评分均在[50，100]内)，将所得数据分成五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为(　　)A．82.5 B．81.5C．87.5 D．85
D　[根据题意，设该组数据的第60百分位数为x，第一组的频率为0.010×10＝0.1，第二组的频率为0.015×10＝0.15，第三组的频率为0.020×10＝0.2，第四组的频率为0.030×10＝0.3，则x在第四组，则0.1＋0.15＋0.2＋(x－80)×0.03＝0.6，解得x＝85．故估计学生对食堂用餐质量的评分的第60百分位数为85．故选D．]
考点二　总体集中趋势的估计考向1　样本的数字特征[典例2]　(多选)(2025·大同月考)某地连续8天的最高气温(单位：摄氏度)分别为26，29，27，29，26，29，31，33，则这8个数据的(　　)A．平均数为28.75 B．众数为29C．中位数为27.5 D．第80百分位数为31
通性通法：中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”，我们需根据实际需要选择使用．
[多维变迁]1．(2025·保定三模)一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位数与这组数据的第60百分位数相等，则该组数据的平均数为(　　)A．7.5 B．6C．4.5 D．3
考向2　频率分布直方图中的数字特征[典例3]　某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的中位数(精确到0.1)、众数和平均数．
[解]　(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005，所以前两组的频率之和为1－0.7＝0.3，即(a＋b)×10＝0.3，所以b＝0.025．
[多维变迁](多选)(2025·长沙期末)在某次单元测试中，4 000名考生的考试成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有(　　)A．成绩在[70，80)分的考生人数最多B．考生考试成绩的第80百分位数为83.3C．考生考试成绩的平均分约为70.5分D．考生考试成绩的中位数为75分
ABC　[A选项，由频率分布直方图知[70，80)对应矩形最高，即频率最大，故成绩在[70，80)内的考生人数最多，A选项正确；B选项，由0.01×10＝0.1＜0.2＜(0.01＋0.015)×10＝0.25，故成绩的第80百分位数在区间[80，90)内，设为x，则0.1＋(90－x)×0.015＝0.2，可得x≈83.3分，B选项正确；C选项，由题图知，平均分为0.1×45＋0.15×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.15×85＋0.1×95＝70.5，C选项正确；
D选项，由(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45＜0.5＜(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75，所以中位数位于区间[70，80)，设为y，则0.5－0.45＝(y－70)×0.03，可得y≈71.7分，D选项错误．故选ABC．]
考点三　总体离散程度的估计[典例4]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
[解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示，
通性通法：总体离散程度的估计标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
课时作业(四十七)　用样本估计总体
一、单项选择题1．(苏教版必修第二册P270本章测试T7改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则(　　)A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a
2．(2025·苏州期末)若样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为(　　)A．3 B．5C．6 D．12
D　[∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为3，∴2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22×3＝12．故选D．]
3．(2025·德州期末)在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分分别为10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的75%分位数是(　　)A．6.5 B．8C．8.5 D．9
4．(2025·通州期末)已知一组样本数据16，x，14，15，13的平均数为15，则该组样本数据的方差为(　　)A．2 B．2.1C．2.2 D．2.4
5．(2025·南通期末)10名运动员比赛前进行特训，特训的成绩分别为9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的(　　)A．众数为12 B．平均数为14C．中位数为15 D．第85百分位数为16
6．(2025·天津月考)某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制，统计满意度并绘制成如图所示的频率分布直方图，图中m＝2n，则下列结论不正确的是(　　)A．n＝0.015B．满意度计分的众数约为75分C．满意度计分的平均分约为79分　D．满意度计分的第25百分位数约为70分
C　[对于A，由频率分布直方图可得(0.01＋n＋0.035＋m＋0.01)×10＝1，又m＝2n，解得n＝0.015，m＝0.03，故A正确；对于B，满意度计分的众数为最高矩形底边中点的横坐标，为75分，故B正确；对于C，满意度计分的平均分约为(55×0.01＋65×0.015＋75×0.035＋85×0.03＋95×0.01)×10＝76.5，故C错误；对于D，前两组的频率之和为0.25，所以满意度计分的第25百分位数约为70分，故D正确．故选C．]
二、多项选择题7．(2025·黄山期末)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是(　　)
A．图1的平均数＝中位数＝众数B．图2的众数＜平均数＜中位数　C．图2的众数＜中位数＜平均数　D．图3的中位数＜平均数＜众数
AC　[题图1的频率分布直方图是对称的，平均数＝中位数＝众数，A正确；题图2的众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；题图3的左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误．故选AC．]
8．(2025·汕头期末)在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是(　　)A．平均来说甲队比乙队防守技术好　B．甲队比乙队技术水平更稳定　C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好　D．乙队很少不失球
ACD　[由甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少，所以平均来说甲队比乙队防守技术好，故A正确；甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，所以甲队的起伏较大，故B错误；
甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差是0.4，说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大，所以甲队的表现时好时坏，故C正确；乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小，说明乙队的表现较稳定，经常失球，故D正确．故选ACD．]
9．(2026·金华模拟)饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET”．随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义．某高中随机调查了该校某两个班(A班，B班)5月份每天产生饮料瓶的数目(单位：个)，并按[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70]分组，分别得到频率分布直方图如下，下列说法正确的是(　　)
选项D，A班和B班5月份产生饮料瓶数在[40，50)内的频率均为0.020×10＝0.2，故该校学生5月份产生饮料瓶数在[40，50)内的频率也为0.2，∵1 000×0.2＝200，∴该校约有200人5月份产生饮料瓶数在[40，50)内，故选项D错误．故选ABC．]
三、填空题10．(2025·洛阳月考)高二(2)班第一组的期末数学考试成绩分别为138，130，120，122，120，130，110，130，则该组成绩的中位数与平均数之差为________．
11．(2025·焦作期末)某农场种植了一批梨树，从中随机抽取15棵，单株产量(单位：千克)分别为24，27，29，31，32，34，35，36，38，40，41，43，45，47，50．若规定单株产量小于等于10%分位数的梨树需重点养护，则估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为________千克．
27　[已知梨树单株产量分别为24，27，29，31，32，34，35，36，38，40，41，43，45，47，50，因为样本容量为15，所以15×10%＝1.5，则第2个数27即为10%分位数，所以估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为27千克．]