第九章9.2　用样本估计总体-2027年高考数学一轮复习培优课件（含解析版试题）

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1.百分位数一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据__________这个值.
1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近.(　 　)(2)方差与标准差具有相同的单位.(　 　)(3)若一组数中每个数都减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变.(　 　)(4)在频率分布直方图中,可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(　 　)
2.(人教A版必修第二册P181练习T1改编)为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50 000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了200户进行调查,得到其日用电量的平均数为6.5 kW·h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数 (　 　)A.一定为6.5 kW·hB.高于6.5 kW·hC.低于6.5 kW·hD.约为6.5 kW·h解析:由样本的数字特征与总体的数字特征的关系,可知全市居民用户日用电量的平均数约为6.5 kW·h.故选D.
3.(人教A版必修第二册P215练习T2改编)若数据x1,x2,…,x9的方差为2,则数据2x1,2x2,…,2x9的方差为 (　 　)A.2B.4C.6D.8解析:根据方差的性质可知,数据x1,x2,…,x9的方差s2=2,那么数据2x1,2x2,…,2x9的方差为22s2=8.故选D.
考点1 样本数字特征的简单计算【例1】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
根据表中数据,下列结论中正确的是 (　 　)A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kgB.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
(2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　 　)A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
1.求一组数据的数字特征时,要掌握其方法,不要混淆.2.中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”,我们需根据实际需要选择使用.
【对点训练1】　(1)(多选)(2025·福建厦门三模)甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示,则 (　 　)A.甲得分的极差大于乙得分的极差B.甲得分的平均数大于乙得分的平均数C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数D.甲得分的方差大于乙得分的方差
考点2 总体集中趋势的估计【例2】　(2025·天津和平区二模)某人工智能公司为优化新开发的语言模型,在其模型试用人群中开展满意度问卷调查,满意度采用计分制(满分100分),统计满意度并绘制成如图所示的频率分布直方图,图中m=2n,则下列结论错误的是 (　 　)A.n=0.015B.满意度计分的众数约为75分C.满意度计分的平均数约为79分D.满意度计分的第25百分位数约为70分
【解析】　对于A,由频率分布直方图可得,(0.01+n+0.035 +m +0.01) × 10=1,又m=2n,所以n=0.015,m=0.03,故A正确;对于B,满意度计分的众数估计值为最高矩形底边中点的横坐标,即75分,故B正确;对于C,满意度计分的平均数约为(55×0.01+65×0.015+75×0.035+85×0.03+ 95× 0.01) ×10=76.5(分),故C错误;对于D,前两组的频率之和为0.25,所以满意度计分的第25百分位数约为70分,故D正确.故选C.
频率分布直方图中的数字特征(1)众数:最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数:中位数左边和右边的矩形的面积之和相等.(3)平均数:各组区间的中点值与对应频率之积的和.(4)对称分布:平均数≈中位数,右偏分布:平均数>中位数,左偏分布:平均数中位数B.中位数>平均数C.中位数>众数D.众数>平均数
【解析】　由题中直方图在右边“拖尾”知,平均数大于中位数,故A正确;由题图估计中位数接近7.2 t,众数为5.7 t,所以中位数大于众数,故C正确.故选AC.
本题考查了平均数、中位数、众数的运算.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形状有关.准确理解概念的本质是解题的关键.
1.(5分)下列说法正确的是 (　 　)A.众数可以准确地反映出总体的情况B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数C.平均数与中位数都有局限性,都不能准确地反映出总体的情况D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越小
解析:对于A,众数只利用了出现次数最多的那个值的信息,因此,众数只能传递数据中很少的一部分信息,故A错误.对于B,一组数据的平均数不可能大于这组数据的每个数,故B错误.对于C,中位数不受少数极端值的影响,对极端值不敏感,平均数能较好地反映样本数据全体的信息,但易受极端值影响,故C正确.对于D,一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大,稳定性越差,故D错误.故选C.
2.(5分)(2025·山东聊城三模)已知数据x,9,7,9的中位数和平均数相等,那么x的值为(　 　)A.5B.7C.5或9D.7或11
5.(5分)(2025·山东威海三模)某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试,所得成绩的频率分布直方图如图所示,则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为(　 　)A.87.5分　B.85分C.82.5分　D.80分
解析:成绩落在[60,70)内的频率为0.01×10=0.1,成绩落在[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,成绩落在[80,90)内的频率为0.04×10=0.4,因为0.1+0.3=0.40.5,所以中位数落在[80,90)内,设中位数为x分,则0.1+0.3+(x-80)×0.04=0.5,解得x=82.5.故选C.
6.(5分)(人教B版必修第二册P91习题5-1BT3(1)改编)下列结论错误的是(　 　)A.一组数据2,1,4,3,5,3,3的平均数、众数、中位数相同B.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲C.一组数据1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的80%分位数为4.5D.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差为0,则这组数据的众数唯一
8.(6分,多选)(2025·山东青岛三模)某学校组织全体学生参加了文创大赛,随机抽取了400名学生的成绩进行统计,得频率分布直方图(如图),则 (　 　)A.图中x的值为0.020B.该样本中成绩在区间[90,100]内的学生有160人C.估计全校学生成绩的平均数为86.5分D.估计全校学生成绩的80%分位数为95分
10.(5分)某市2025年5月份某一周的日最高气温(单位:℃)分别为25,28,30,29,31,32,28,则这周的日最高气温的第75百分位数为____ ℃.解析:将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32.因为7×75%=5.25,所以这周的日最高气温的第75百分位数为从小到大排列后的第6个数据31 ℃.
11.(10分)某地统计局就某地居民的月收入(单位:元)情况调查了10 000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图),每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在[2 500,3 000)内.
(3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替,估计该地居民月收入的平均数.解:2 750×0.1+3 250×0.2+3 750×0.25+4 250×0.25+4 750×0.15+5250×0.05=3 900(元),所以估计该地居民月收入的平均数为3 900元.
(2)将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的成绩如下:甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140从甲、乙两组中选一组强化训练,备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差,并分析应选择哪一组参赛,理由是什么?
13.(5分)某中学从高一学生中抽取了50名男生、50名女生调查高一学生身高的情况.已知这100名学生身高的方差为48,其中50名男生身高的平均数为172.5 cm,方差为16,50名女生身高的平均数为162.5 cm,则50名女生身高的方差为(　 　)A.15D.36
14.(6分,多选)(2025·安徽合肥三模)有一组样本数据1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10,现去除其中的两个数据,去除的两个数据分别记为x和y(x