二次函数与几何图形综合题(含答案)（动态几何问题）归纳练 中考数学二轮复习备考

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（1）写出C点的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．
2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx－5（a，b是常数，a0）的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（5，0）．动直线y＝t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q（点P在Q的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动直线y＝t与y轴交于点C，若CQ=3CP，求t的值；
（3）将抛物线y＝ax2＋bx－5在x轴下方的部分沿x轴翻折，若动直线y＝t与翻折后的图像交于点M、N，点M、N能否是线段PQ的三等分点？若能，求PQ的长度；若不能，请说明理由．
3．如图，二次函数y＝x2﹣5x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，有一个动点E从点B出发以每秒一个单位向点A运动，过E 作y轴的平行线，交△ABC的边BC或AC于点F，以EF为边在EF右侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S，E点运动时间为t秒．
（1）求顶点C的坐标和直线AC的解析式；
（2）求当点F在AC边上，G在BC边上时t的值；
（3）求动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系．

4．二次函数y=﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y=﹣x＋3，AD⊥x轴交直线BC于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）M（m，0）为线段AB上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E、F．直线AE与直线BC交于点G，当时，求m值．
5．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；
(3)若点M在抛物线上，且在y轴的右侧，⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出点M的坐标（把其中一个点M坐标的求解过程写出来）．
6．如图，顶点为（）的二次函数图象与轴交于点，点在该图象上，直线交二次函数图象对称轴于点，点、关于点对称，连接、．
（1）求该二次函数的关系式（用含的式子表示）．
（2）若点在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
②求证：．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点P（m，n）在第三象限内的二次函数图象上运动．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，设四边形BAPC的面积为S，试求S的最大值并求出此时点P坐标；
(3)如图2，点Q在二次函数图象上，且位于直线AC下方，过点Q作QM⊥AC，
垂足为点M，连接CQ，若△CMQ与△AOC相似，求点Q的坐标．
8．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点为该二次函数图象顶点．连接、及、．

（1）如图1，若点的坐标，顶点坐标．
①求的值，并说明；
②如图2，点是抛物线的对称轴上一点，以点为圆心的圆经过、两点，且与直线相切，求点的坐标；
（2）若，点，点，如图3，动点在直线上方的二次函数图象上．过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求出点的横坐标：若不存在，请说明理由．
9．如图，已知二次函数的图像经过点，顶点为一次函数 的图像交轴于点是抛物线上-一点，点关于直线的对称点恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与轴交于点）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）若点是第二象限内抛物线上一点，关于抛物线的对称轴的对称点是，连接，点是线段上一点，点是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点的坐标．

10．二次函数与轴交于、两点，，与直线交于、两点，点在轴上，．

（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上有一点，若的面积为，求点的横坐标；
（3）点在第四象限的抛物线上运动，连接，与直线交于点，连接，．设的面积为，的面积为，求的最小值．
11．如图，已知二次函数(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点与△ABC的外心重合，求的取值；
（3）点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．

12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的函数解析式为，点是二次函数的图象上一点，过点作直线轴，且点的横坐标为，二次函数的图象与二次函数的图象关于直线成轴对称．
（1）直接写出二次函数图象的对称轴（用含的代数式表示）
（2）当点落在轴上时，求二次函数的解析式．
（3）当点在轴的右侧时，过点作射线轴，设射线与的图象交于点，的图象在上方的部分记为，的图象的剩余部分沿翻折得到，由和所组成的图象记为．
①当点的纵坐标与横坐标之和为6时，求的值
②当时，随着的增大，图象所对应函数的函数值先减小后增大时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．（1）C（0，-3）；（2）y=x2-2x-3；（3）P（，），△AGP的最大面积为
【分析】（1）根据OB=OC，可得C点坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得G点坐标，根据点在函数图象上，可得P（x，x2-2x-3），根据待定系数法，可得直线AG的解析式，根据PQ平行于y轴，可得Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得Q点的纵坐标，根据线段的和差，可得PQ的长，根据面积的和差，可得用x表示出三角形的面积，根据二次函数的最值，可得答案．
【详解】解：（1）由点B的坐标为（3，0），且OB=OC，得C（0，-3）；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象过A、B、C点，得
，解得：，
这个二次函数的解析式y=x2-2x-3；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
当x=2时，y=22-2×2-3=-3，G（2，-3），
直线AG为y=-x-1．
设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），
PQ=-x2+x+2．S△APG=S△APQ+S△GPQ=（-x2+x+2）×3，
当x=时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（，），S△APG最大=××3=．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，（1）利用了等量关系，（2）利用了待定系数法求函数解析式，（3）利用了自变量与函数值的对应关系得出P、Q点的坐标，又利用了面积的和差，利用了二次函数的性质．
2．（1） ；（2）-8或7；（3）能，
【分析】（1）将点A，点B的坐标代入抛物线，解方程组即可求出抛物线解析式；
（2）分y＝t在x轴的上方或在x轴下方两种进行讨论，根据抛物线的对称性和CQ=3CP即可求出点P，点Q的横坐标，将点Q的坐标代入抛物线即可求得t的值；
（3）根据对称性可得翻折后的抛物线的解析式，再根据点P，点Q是直线y=t与抛物线，点M，点N是抛物线的交点，联立方程，求得点P，Q，M，N的坐标，再利用点M、N是线段PQ的三等分点，得出PM=MN=NQ，据此求出t的值，即可求出线段PQ的长．
【详解】解：（1）∵A（－1，0），B（5，0）在抛物线上，
∴，解得：，
∴二次函数关系式为y＝x2－4 x－5；
（2）当y＝t在x轴的上方，如图，
抛物线的对称轴，与直线y＝t交于点H，
∴CH=2，
根据抛物线的对称性可得，PH=QH，
∵CQ=3CP，
∴PH=CH=2，QH=2CH=4，
∴CQ=6，
∴点Q的坐标为，
∵点Q在抛物线y＝x2－4 x－5上，代入得，
，
当y＝t在x轴的上方，如图，
此时，根据抛物线的对称性可得，
CH=HQ，
∵CQ=3CP，
∴CP=PH=1，HQ=2CP=2，
∴点P的坐标为，
∵点P在抛物线y＝x2－4 x－5上，代入得，
，
综上所述，t＝或7 ；
（3）点M、N可以是线段PQ的三等分点，此时，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线y＝ax2＋bx－5在x轴下方的部分沿x轴翻折，
∴点E与点D关于x轴对称，点E的坐标为，
∴翻折后的抛物线解析式为：，
∵直线y=t与抛物线交于P，Q两点，
∴ ，解得：，
∴点P的坐标为，点Q的坐标为，
∵直线y=t与抛物线交于M，N两点，
∴ ，解得：,
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
要使点M、N是线段PQ的三等分点，则PM=MN=NQ，
，
解得：，
∴,
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数图像和性质，抛物线的对称性，分类讨论思想，抛物线与一次函数的交点坐标等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质以及分类讨论思想是解决本题的关键．
3．（1）顶点C的坐标为（），直线AC的解析式是；（2）当点F在AC边上，G在BC边上时t的值是；（3）S＝t2（0＜t≤）或S＝﹣t2+9t﹣（＜t≤）或S＝﹣t2+t﹣（＜t＜）或S＝t2﹣t+（≤t＜3）．
【分析】（1）把y＝x2﹣5x+4化成顶点式，求出顶点C的坐标，y＝x2﹣5x+4化成（x﹣1）（x﹣4），求出A、B的坐标，设AC直线为y＝kx+b，把A、C的坐标代入就能求出直线AC的解析式；
（2）设直线BC的解析式是y＝ax+c，把B、C的坐标代入就能求出直线BC，点E坐标为（4﹣t，0），点F坐标为（），求出EF＝，FG＝2t﹣3，根据EF＝FG，即可求出t的值；
（3）可分以下几种情况：①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF2，此时时，点F坐标为（），根据三角形的面积公式即可求出；②I如图2，EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB，此时＜t≤，根据三角形的面积公式即可求出；II如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH，此时，，因为S＝S正方形EFGH﹣S△KMG，根据三角形的面积公式即可求出；Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时≤t＜3，
根据正方形的面积公式求出即可．
【详解】（1）解：

∵y＝x2﹣5x+4＝，
顶点C的坐标为（），
∵y＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4），
∴点A（1，0），B（4，0），
设AC直线为y＝kx+b，得，
解得：k＝﹣，b＝，
∴，
答：顶点C的坐标为（），直线AC的解析式是．
（2）解：设直线BC的解析式是y＝ax+c，
把B（4，0），C（，﹣）代入得：0＝4a+c且﹣＝a+c，
解得：a＝，c＝﹣6，
直线BC的解析式为，
当F在AC边上，G在BC边上时，
点E坐标为（4﹣t，0），点F坐标为（），
得EF＝，
而EF＝FG，
∵抛物线的对称轴和等腰△ABC的对称轴重合，
∴FG＝，
＝2t﹣3，
∴＝2t﹣3，
解得，
答：当点F在AC边上，G在BC边上时t的值是．
（3）解：点E坐标为（4﹣t，0）随着正方形的移动，重叠部分的形状不同，可分以下几种情况：

①点F在BC上时，如图1重叠部分是△BEF，
此时时，点F坐标为（），
，
②点F在AC上时，点F坐标为（）又可分三种情况：
Ⅰ．如图2，EB≤EH时重叠部分是直角梯形EFKB（设FG与直线BC交于点K），

此时＜t≤，
∴，
Ⅱ．如图3，EB＞EH，点G在BC下方时，重叠部分是五边形EFKMH（设FG与直线BC交于点K，GH与直线BC交于点M），

此时，，
点H坐标为（，0），点M坐标为（），
，
，
，
∴S＝SEFGH﹣S△KMG＝（）2，
＝，
Ⅲ．如图4，点G在BC上或BC上方时，重叠部分是正方形EFGH，此时≤t＜3，

∴＝t2﹣t+，
答：动点E从点B向点A运动过程中，S关于t的函数关系S＝t2（0＜t≤）或S＝﹣t2+9t﹣（＜t≤）或S＝﹣t2+t﹣（＜t＜）或S＝t2﹣t+（≤t＜3）．
【点评】本题考查对二次函数与X轴的交点，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，三角形的面积，用十字相乘法分解因式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．
4．（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）m的值为1或2或
【分析】（1）由直线BC求出点B、C的坐标，再代入二次函数的解析式，求出b、c的值，得出二次函数的解析式；
（2）用含m的代数式表示点E和点F的坐标，用相似的三角形对应边成比例的性质列方程，求出m的值．
【详解】（1）∵直线y=﹣x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点B（3，0），点C（0，3），
∵B（3，0）和C（0，3）在抛物线y=﹣x2＋bx＋c上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2＋2x＋3.
（2）∵二次函数y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A、B，
∴点A（﹣1，0），
∵AD⊥x轴交直线BC于点D，
∴点D（﹣1，4），
∴AD＝4，
∵EM⊥x轴，AD⊥x轴，
∴EF∥AD，
∴△EFG∽△ADG，
∴，
∵EM⊥x轴交直线BC于点F，点M（m，0），
∴E（m，﹣m2＋2m＋3），F（m，﹣m＋3）．
①若点M在原点右侧，如图1，则EF=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)=﹣m2＋3m，
∴，解得：m1=1，m2=2；
②若点M在原点左侧，如图2，则EF=(﹣m＋3)﹣(﹣m2＋2m＋3)=m2﹣3m，
∴，解得：m3=，m4=（舍去）；
综上所述，m的值为1或2或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，用字母表示横、纵坐标并且用相似三角形的性质列方程是解题的关键．
5．(1)；
(2)E (1，2)，且四边形ABEC的最大面积为4；
(3)M．
【分析】(1)根据题意，把A，B代入二次函数的解析式，得到b，c的二元一次方程组，求出b，c的值即可；
(2)表示出四边形ABEC的面积，再结合E在二次函数图象上，即可求解；
(3)画出图形，以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，得到相似比，根据n的范围求出m的范围．
【详解】（1）二次函数的图象与x轴相交于点A(-1，0)，B(2，0)，
，
，
∴二次函数的解析式为．
（2）如图1，过点E作EF⊥x轴，
二次函数的解析式为，与y轴相交于点C，
∴C(0，2)．
设E(a，b)，且a>0，b>0，
∴A(-1，0)，B(2，0)，
∴OA=1，OB=2，OC=2．
则，
E(a，b)为抛物线的第一象限的动点，
，
，
当时，，
当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为(1，2)，且四边形ABEC的最大面积为4．
（3）如图2，
设M(m，n)，且m>0．
点M在二次函数的图象上，
．
⊙M与y轴相切，切点为D，
∴∠MDC=90°，
以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，
或，
① 当n>2时，或
解得 (舍去)，或 (舍去)， (舍去)；
同理可得，当n