数学中考二轮复习《圆综合解答题》考前冲刺专题提升训练

这是一份数学中考二轮复习《圆综合解答题》考前冲刺专题提升训练，共7页。试卷主要包含了圆内知识综合，圆与三角形综合，圆与四边形综合等内容，欢迎下载使用。
1．如图，已知MN为⊙O的直径，PQ与⊙O相切于点A，MB⊥PQ于点B．
(1)求证：MA平分∠BMN；
(2)若⊙O的直径MN=16，MB=9，求MA的长．
2．如图，AB和CD为⊙O的两条直径，点P为AB延长线上一点，连接BE交OC于点F，若弦CE∥AB，∠P+2∠ABE=90°．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若3OF=2CF，⊙O半径为10，求BP的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弧BC的中点，连接AC、BC、AD，AD与BC相交于点H，过点D作直线DG∥BC，交AC的延长线于点G．
(1)求证：DG是⊙O的切线；
(2)若弧AC=弧BD，CG=2，求阴影部分的面积．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C, D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC, AC．
(1)求证：∠AEC=90°；
(2)若DC=2，求DH的长．
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，DE⊥CE，连接CD，BC．
(1)求证：∠BCO=∠DCO；
(2)若sin∠DCO=35，AE=3，求⊙O的半径．
6．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，CD⊥AB于点D，过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点E，F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G，连接CG并延长与AB的延长线相交于点H，⊙O的半径为3．
(1)若AC=5，求点C和点B间的距离；
(2)求证：CH是⊙O的切线；
(3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG，②FG=CG=BG，③FG6)，求y关于x的函数解析式．
19．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC和BD交于点E，∠BAD+2∠ACB=180°．
(1)如图1，求证：AB=AD；
(2)如图2，连接AO并延长交BE于点F，若∠AFB:∠BCD=3:4，求证：△ABD是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在AB上，且AH=DE，连接CH，若△BCH的面积为43，CD=2，求OA的长．
20．已知：⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连结TO并延长交⊙O于点S．
(1)如图1，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD内部时，连结DT、DS．
①试判断线段DT、DS的关系是 ；
②若正方形ABCD的边长为6，则AS+AT= ．
(2)如图2，当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时，连结DT、DS，那么线段AS、AT和AD有什么数量关系？请说明理由；
(3)如图3，延长DA到点E，使AE=AD，当⊙O经过A、E两点时，连结ET、ES．根据（1）、（2），通过观察、分析，当AS=2,AD=4，求CT的长．
参考答案
1．（1）证明：如图，连接OA，

∵PQ与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PQ，
∴∠OAP=90°，
∵MB⊥PQ，
∴∠MBP=90°=∠OAP，
∴OA∥MB，
∴∠OAM=∠AMB，
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠AMN，
∴∠AMN=∠AMB，
∴MA平分∠BMN；
（2）解：如图，连接AN，
∵MN为⊙O的直径，
∴∠MAN=90°，
由（1）可知，∠AMN=∠AMB，∠MBP=90°，
∴∠MAN=∠MBP，
∴△ABM∽△NAM，
∴MBMA=MAMN，即9MA=MA16，
∴MA2=144，
解得MA=12（负值舍去）．
2．（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠BEC=∠ABE．
∵∠P+2∠ABE=90°，
∴∠P+2∠BEC=90°．
∵∠BOC=2∠BEC，
∴∠P+∠POC=90°，
∴∠PCO=90°，即PC⊥CO，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OG⊥CE，交CE于点G，
∴CG=EG=12CE．
∵CE∥AB，OB=OC=10，
∴△CEF∽△OBF，∠BOG=∠OGC=90°，
∴CEOB=CFOF．
∵3OF=2CF，
∴CFOF=32,
∴CEOB=32，
即CE10=32，
解得CE=15，
∴CG=12CE=152．
∵∠COG+∠BOC=∠BOC+∠P=90°，
∴∠COG=∠P．
在Rt△CGO中，sin∠COG=CGOC=15210=34，
∴sin∠P=sin∠COG=34=OCOP，
∴OP=403，
∴BP=OP−OB=403−10=103．
3．解:（1）证明：连接OD，交BC于点E，
∵点D为 eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(BC)) 的中点，
∴OD垂直平分BC，
∵DG∥BC，
∴∠ODG=∠OEC=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DG⊥OD，
∴DG是⊙O的切线．
（2）解：连接OC、CD，则OA=OC=OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DG∥BC，
∴∠G=∠ACB=90°，
∴∠ECG=180°,
又∠CED=∠EDG=90°，
∴四边形CEDG是矩形，
∴DE=CG=2，
∵ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(ACB)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(BD)) ，点D为 eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(BC)) 的中点，
∴ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AC)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(CD)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(BD)) ，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=13×180°=60°，
∴△AOC和△COD都是等边三角形，
∵CE⊥OD，
∴OE=DE=2，
∴AC=OC=CD=OD=2DE=4，
∴AG=AC+CG=6，DG=CD2−CG2=42−22=23，
∵∠CAH=12∠COD=30°，
∴AH=2CH，
∵AC=AH2−CH2=2CH2−CH2=3CH=4，
∴CH=433，
∴S阴影=S△AGD−S△ACH=12×6×23−12×4×433=1033，
∴阴影部分的面积是1033．
4．（1）证明：连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AD)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(CD)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(CB)) ，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC (内错角相等，两直线平行)，
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）解：连接OD，
∵ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AD)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(CB)) ，
∴∠DCA=∠CAB，
∴ CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=DFOD，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=3，
∴DH=2DF=23．
5．（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，∠OCE=90°，
∵DE⊥CE，
∴OC∥DE，
∴∠DCO=∠CDE，
∵ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AC)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AC)) ，
∴∠B=∠CDE，
∴∠B=∠DCO，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
∴∠BCO=∠DCO；
（2）解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∵∠OCE=90°，
∴∠ECA+∠OCA=∠BCO+∠OCA=90°，
∴∠ECA=∠BCO，
∴∠ECA=∠B=∠DCO，
∵sin∠DCO=35，
∴sin∠ECA=AEAC=35，sin∠B=ACAB=35，
∵AE=3，
∴AC=5，
∴AB=53AC=253，
∴⊙O的半径为12AB=256．
6．（1）解：∵⊙O的半径为3，
∴AB=2×3=6，
连接CB，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=AB2−AC2=62−52=11，
即点C和点B间的距离为BC的长度，即为11；
（2）解：连接CO，如图所示：
∵过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点E，
∴AB⊥EB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥BE，
∴∠GBA=∠CDA,∠BGA=∠DFA,
∴△GBA∽△FDA，
∴AFAG=FDGB，
∴CD∥BE，
∴∠E=∠FCA,∠EGA=∠CFA,
∴△GEA∽△FCA，
∴CFEG=AFAG，
则FDGB=CFEG，
∵F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴GB=EG，
∴CG是△BCE的中线，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ECB=90°，
∵CG是△BCE的中线
∴CG=12EB=EG=BG，
∴∠GCB=∠GBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB⊥EB，
∴∠OBC+∠GBC=90°，
即∠OCB+∠GCB=90°，
故∠OCG=90°，
∵OC是半径，
∴CH是⊙O的切线；
（3）解：②FG=CG=BG成立．
理由如下：
如图，过点G作GK⊥CD于点K，则∠GKD=90°．
∵BE是⊙O的切线，
∴BE⊥AB，
∴∠GBD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠KDB=90°，
∴四边形DBGK为矩形，
∴GK=BD，BG=DK，KD∥GB，KG∥DB，
∴FD∥GB，KG∥AD，
∴△ADF∽△ABG，∠ADF=∠GKF，∠FAD=∠FGK，
∴△ADF∽△GKF，
∴△GKF∽△ABG，
∴GKAB=KFBG．
∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，
∵BD=2，GK=BD，
∴GK=2，
∴GKAB=26=13，
∴KFBG=13，
∴BG=3KF，
∵BG=DK，
∴DK=3KF，
∴DF=2KF，
∵F是CD的中点，
∴CD=2DF=4KF，
∴CK=CD−DK=4KF−3KF=KF，
∴点K为CF中点．
∵GK⊥CD于点K，
∴GK为线段CF的垂直平分线，
∴FG=CG．
由（2）可知BG=CG，
∴FG=CG=BG成立．
7．（1）证明：连接AD, OD，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，
又∵ AB=AC，
∴ BD=CD, ∠BAD=∠CAD，
∴ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(DE)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(CD)) ，
∴DE=CD，
∴DB=DE，
∵ OA=OC，DB=DC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB．
又∵FG是⊙O的切线，
∴OD⊥FG，
∴AB⊥FG，
又∵ DB=DE，
∴在等腰三角形BDE中BF=EF．
（2）解：连接EC，
在Rt△ODG中，设OD=OC=3a，
∵tan∠G=34，
∴DG=4a, OG=5a ，
∴CG=OG−OC=2a，
∵CG=4，
∴a=2, AC=6a=12，
又∵AC是直径，
∴∠AEC=90°，
∴EC∥FG，
∴∠ACE=∠OGD，
又∵∠AEC=∠ODG=90°，
∴△ODG ∽△AEC，
∴ AEAC=ODOG=35，
∴AE=35⋅AC=35×12=365．
8．（1）证明：如下图所示，连接OA，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BEC=90°，
∵CE∥AD，
∴∠D=∠BEC=90°，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
即∠OAD=∠D=90°，
∴∠OAD+∠D=180°，
∴OA∥DE，
∴∠EBC=∠BOA，
∵∠BOA=2∠ACB，
∴∠EBC=2∠ACB；
（2）解：∵∠OAD=∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACB，
∴∠BAD=∠ACB，
∵∠D=∠BAC=90°，
∴△ADB∽△CAB，
∴ABBC=BDAB，
即5BC=15，
∴BC=5，
即⊙O的半径长为52．
9．（1）证明：∵CE为AB边上的中线，且满足CE=12AB，
∴CE=AE=BE，
∴∠A=∠ACE，∠B=∠BCE，
∴∠A+∠B=∠ACE+∠BCE=∠ACB，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，即2∠ACB=180°，
∴∠ACB=90°，即∠GCH=90°，
∵G,H都在⊙O上，
∴GH为⊙O的直径．
（2）解：∵⊙O的半径为3，CD为⊙O的直径，
∴CD=6，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在Rt△CDB中，BC=CD2+BD2=62+102=234，
如图，连接DG，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CGD=90°，
∴∠GCD+∠GDC=90°，∠CGD=∠CDB，
由（1）可知，∠ACB=90°，
∴∠GCD+∠DCB=90°，
∴∠GDC=∠DCB，
∴△CGD∽△BDC，
∴CDBC=CGBD，即6234=CG10，
∴CG=6×10234=153417．
10．解：（1）∵AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°,∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
又∵∠ACB=∠AEB，
∴△ABE∽△ADC；
（2）连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，则AE为⊙O的直径，
同（1）法可得：△ACE∽△ADB，
∴ABAE=ADAC，
∵⊙O的半径为13,AC=24，AD=18，
∴AB13×2=1824，
∴AB=19.5．
11．（1）证明：如图，连接CE．
∵∠ABC=90°，
∴AC为直径，
∴∠AEC=90°．
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO．
∵DE∥AC，
∴∠CAE=∠AED．
又∵∠ABO=∠AED，
∴∠BAO=∠CAE．
在△ABC和△AEC中，
∠ABC=∠AEC=90°∠BAO=∠CAEAC=AC
∴△ABC≌△AECAAS，
∴AB=AE．
（2）解：①∵∠AED=∠ABD=∠BAC，tan∠AED=34，
∴tan∠BAC=34．
∵AE=AB=8，
∴BC=AB⋅tan∠BAC=6，
∴在Rt△ABC中，AC=AB2＋BC2=10，
∴OC=5．
②延长AF，CB交于点G．
∵BF=BC，
∴ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(BF)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(BC)) ，
∴∠GAB=∠CAB．
在△ABG和△ABC中，
∠GAB=∠CABAB=AB∠ABC=∠ABG=90°
∴△ABG≌△ABCASA，
∴AG=AC=10,BG=BC=BF=6．
∴∠GCA=∠G=∠GFB
在△FBG和△CAG中，
∠G=∠G∠GFB=∠GCA
∴△FBG∽△CAG，
∴FGCG=FBCA．
∵FB=BC=6，
∴FG=CG⋅BCCA=7.2，
∴AF=AG−FG=2.8．
12．（1）解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵AB=AC=6，
∴∠ABC=∠ACB，∠BAC=180°−2∠ABC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，∠AOP=180°−2∠OPA，
∵OP∥BC，
∴∠ABC=∠OPA，
∴∠ABC=∠ACB=∠OPA=∠OAP，
∴∠BAC=∠AOP，
设AD=x，则CD=6−x，
在Rt△ABD中，BD2=AB2−AD2，
在Rt△BCD中，BD2=BC2−CD2，
∴AB2−AD2=BC2−CD2，
∴62−x2=42−6−x2，
解得：x=143，即AD=143，
∴cs∠BAC=ADAB=79，
∴cs∠AOP=79；
（2）解：如图，记PO与AC的交点为K，过点B作BD⊥AC于点D，
结合（1）可得：AD=143，
∵PO⊥AC，AC=6，
∴AK=CK=3，∠AKP=∠CKP=90°，BD∥PO，
∴△APK∽△ABD，
∴APAB=AKAD，
∴AP==AB·AKAD=6×3143=277，
∴BP=6−277=157.
（3）解：如图，当O在边AC上时，过O作OG⊥AB于G，
∴AG=PG，
∵AC=AB=6，
∴OA=OC=3，
∵cs∠BAC=ADAB=79，
∴AGAO=AG3=79，
∴AG=73，
∴AP=2AG=143，
∴BP=6−143=43；
如图，当O在边AB上时，
∵AP为⊙O的直径，
∴∠ACP=90°，
∴cs∠BAC=ACAP=79，
∴AP=547，
∴BP=547−6=127；
如图，当O在直线BC上时，过A作AJ⊥BC于J，过O作OQ⊥AP于Q，
∴AQ=PQ，
∵AB=AC=6，BC=4，
∴BJ=CJ=2，∠ABC=∠ACB，
∴sin∠BAJ=BJAB=13，
∵∠ABJ=∠OBQ，
∴∠BOQ=∠BAJ，
∴sin∠BOQ=BQOB=13，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠OCA=∠ABC，
∴△CBA∽△CAO，
∴CBCA=CACO，
CO=364=9，
∴OB=9−4=5，
∴BQ=53，
∴PQ=AQ=6+53=233，
∴BP=PQ+BQ=233+53=283.
综上：BP为43或127或283.
13．（1）解：①如答图①，连接OC．
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，即∠OCP=90°，
∴∠AOC=90°+40°=130°，
∴∠ADC=12∠AOC=65°．
②当△ADE是等腰三角形时，分三种情况讨论．
a．当AD=AE时，∠AED=∠ADE=65°，
∴∠PEC=∠AED=65°，
∴∠PCD=180°−∠PEC−∠P=75°；
b．当DA=DE时，∠AED=∠DAE=12×180°−65°=57.5°，
∴∠PEC=∠AED=57.5°，
∴∠PCD=180°−∠PEC−∠P=82.5°；
c．当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=65°，
∴∠AED=180°−∠DAE−∠ADE=50°，
∴∠PEC=∠AED=50°，
∴∠PCD=180°−∠PEC−∠P=90°．
综上所述，∠PCD的度数为75°，82.5°或90°．
（2）证明：如答图②，连接OC，OD．
易知∠OCP=90°，
∴∠PCE+∠OCE=90°．
∵点D是AB的中点，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°．
∵OC=OD，
∴∠ODE=∠OCE，
∴∠OED=∠PCE．
又∵∠OED=∠PEC，
∴∠PCE=∠PEC，
∴PC=PE．
14．（1）解：∵弦BC经过圆心O，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABC=60°；
（2）解：如图，连接OA、OC，
∵AD与⊙O相切，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CAD=∠ACB=30°，
∴∠OAC=∠OAD−∠CAD=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，OC=AC=6，即⊙O的半径为6，
∴ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AC)) 的长为60°×π×OC180°=60°×π×6180°=2π．
15．（1）解：在正方形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴△APE∽△CQE，
∴AECE=APCQ；
∵CQ=2tcm，AP=tcm，
∴APCQ=12，
∴AECE=12；
（2）解：过点E作EH⊥AD于点H，如图，
则∠AEH=∠HAE=45°，
∴AH=HE，
∵AC=152，AECE=12，
∴AE=52，HE=AH=5，
当Q运动到B点时CQ=2t=15，解得：t=152，
即AP=152cm，
∴△APE的面积为12AP⋅EH=12×152×5=754cm2，
在Rt△PEH中，HP=AP−AH=52cm，
∴由勾股定理得：PE=PH2+EH2=525cm，
∵DH=AD−AH=10cm，PF为⊙O的直径，
∴∠PEF=90°，
∵∠HDE=∠PFE，tan∠HDE=HEDH=12，
∴tan∠HDE=tan∠PFE=PEEF=12，
∴EF=2PE，
由勾股定理得：PF=5PE=252cm，
即⊙O的半径为254cm；
（3）解：①如图，当∠APE=90°，得矩形PDFE，此时PE=DF，DP=EF，
∴AP=5，
∴t=5÷1=5；
如图，当PE=PD时，PF为直径，∠PEF=90°，可得△FDP≌△FEP
则FD=EF，过点E作EH⊥AD于点H，
在Rt△PEH中，AH=HE=5，HP=t−5，PE=PD=15−t，
由勾股定理得：52+t−52=15−t2，
解得t=354，
如图，当PD=DF时，在Rt△PEH中AH=HE=5，HP=t−5，PD=15−t，
∴PF=2PD=215−t，
由（2）知PF=5PE，
∴PE=PF5=215−t5，
52+t−52=2515−t2，
化简得：3t2+10t−200=0，
解得：t1=−10（舍），t2=203，
而PE:EF=1:2，
∴显然PE≠EF；
综上所述，t的值为5或354或203；
②如图，当OE∥AD时，延长EO交DF于点R，作EI⊥PF，垂足为I，
∴AH=HE=DR=RF=5，即CF=5，ER=10，
∴△CEF的面积为12CF×ER=12×5×10=25，
∵OE∥AD，OE=OP，
∴∠REP=∠APE，∠REP=∠EPO，
∴∠APE=∠EPO，
即PE平分∠APO，
∴EH=EI=5，
又∵∠PEI=90°−∠EPO=∠PFE，∠EIP=∠PEF=90°，
∴△IPE∽△EPF，
∴IPEI=PEEF，
由（2）知PEEF=12，
∴IP=12EI=52，
∴由勾股定理得PE=IP2+EI2=525，
∴EF=2PE=55，
△OPE的面积就是△PEF面积的一半，
PE×EF×12×12=525×55×14=1258，
即△EFC与△OPE面积之差为25−1258=758cm2．
16．（1）解：由图可知，四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
又∠C=2∠A，
∴3∠A=180°，
∴∠A=60°；
（2）解：①如图，连接OB，OD，作OE⊥BD于点E，
则∠BOD=2∠A=120°，OB=OD=5，
∴∠OBD=∠ODB=12180°−120°=30°，
∴OE=12OB=52，
∴BE=OB2−OE2=532，
由垂径定理，得BE=DE，得CF=BC，则BC+CD=CF+CD=DF，
∵CA平分∠BCD，
∴∠DCA=∠BCA，
∴AB=AD，
又∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形，
由①，得BD=53，
∵∠BCF=180°−∠BCD=180°−2∠BAD=60°，BC=CF，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠F=60°，
∴点F在以BC为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当DF为所在圆直径时，DF的长最大，
此时∠DBF=90°，
∴∠BDF=90°−∠F=30°，
∴DF=2BF，
∴BD=DF2−BF2=32DF，
∴DF=23×BD=23×53=10，即为最大值，
∴BC+CD的最大值为10；
（3）解：如图，延长BC，AD，交于点G，
∵AC为直径，
∴∠B=∠ADC=90°，
∴∠G=90°−∠BAD=30°，
∴AG=2AB，CG=2CD，
∴BG=AG2−AB2=3AB，
又BG=BC+CG，
∴BC+2CD=3AB．
17．（1）证明：∵CD⏜=CD⏜，AB⏜=AB⏜，
∴∠DAE=∠CBE，∠ADE=∠BCE，
∴△ADE∽△BCE，
∴DEAE=CEBE，
∴AE⋅CE=BE⋅DE．
（2）解：①如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB；
∴DFAD=EFAB，
∴AB⋅DF=AD⋅EF，
∴ABAD−AF=AD⋅EF，
∴AB⋅AD=AB⋅AF+AD⋅EF，
又∵CB=CD，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴AF=EF，
∴AB⋅AD=AB⋅AF+AD⋅AF；
∴1AB+1AD=1AF．
②如图，∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，

∵BC=CD，BD=1，
∴BC=CD=22，BC⏜=CD⏜，
∴∠CBE=∠CDE=∠CAB=∠DAC=45°，
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴BCAC=CECB=BEAB，即22AC=CE22=BEAB，
∴AC⋅CE=12，即CE=12x，
∴AE=AC−CE=x−12x=2x2−12x，
∴AECE=2x2−1>0，而x>0，
∴x>22，
延长AB至Q，使BQ=AD，连接CQ，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°=∠ABC+∠QBC．
∴∠QBC=∠ADC，
∵CB=CD，
∴△QBC≌△ADCSAS，
∴∠Q=∠CAD=45°=∠CAB，
∴∠ACQ=90°，AC=CQ=x，
∴AB+AD=AB+BQ=AQ=2x，
∴y=AECE+AB+AD=2x2+2x−1，
∵BD=1，AC=x，
∴226)．
19．（1）证明：∵AB=AB，
∴∠ACB=∠ADB，
∵∠BAD+2∠ACB=180°，
∴∠BAD+2∠ADB=180°，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD；
（2）证明：连接OD，OB，
，
∵AB=AD，
∴点A在线段BD垂直平分线上，
∵OB=OD，
∴点O在线段BD垂直平分线上，
∴AO为线段BD的垂直平分线，
∴AF⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∵∠AFB:∠BCD=3:4，
∴∠BCD=120°，
∵AB=AD，
∴ eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AB)) = eq \(\s\up4(⌒),\s\d2(AD)) ，
∴∠BCA=∠ACD=12∠BCD=60°，
∵AB=AB，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ABD为等边三角形；
（3）解：过点H作HP⊥BC交BC于点P；过点B作BK⊥CA交CA于点K．
∴∠HPB=∠BKE=90°，
∵△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CAD，即∠ABC=∠BEA，
∵AH=DE，AB=BD，
∴BH=BE，
∴△BHP≌△EBK，
∴HP=BK，
在Rt△BCK中，设CK=a，则BC=2a，BK=3a，
∴HP=BK=3a，
∵△BCH的面积为43，
∴12BC×HP=12×2a×3a=43，
解得：a=2（负值不符合题意，舍去），
∴BC=4，
过点D作DN⊥BC交BC延长线于点N，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCN=∠BAD=60°，
∴∠CDN=90°−∠DCN=30°，
∴CN=12CD=1，
∴DN=CD2−CN2=3，BN=BC+CN=5，
∴BD=BN2+DN2=27，
∴BF=12BD=7，
∵∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠BOF=12∠BOD=60°，
∴OB=BFsin60°=732=2213，
∴OA=OB=2321．
20．（1）解：①线段DT、DS的数量和位置关系分别是：DT=DS,DT⊥DS．理由如下：
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠TAD=45°，
∵TS为直径，
∴∠SDT=90°，
又∵∠TSD=∠TAD，
∴∠TSD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DT=DS,DT⊥DS；
②∵∠SDT=∠ADC=90°，
∴∠SDA=∠CDT，
又∵TS为直径，
∴∠SAT=90°，
∴∠SAD=45°，
∴∠SAD=∠DCT，
∵DA=DC，
∴△DAS≌△DCT(ASA)，
∴AS=TC，
∴AS+AT=AC，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AC=62，
∴AS+AT= 62；
（2）∵TS为直径，
∴∠SAT=90°,∠SDT=90°，
∴∠SAC=90°，
∵∠CAD=45°，
∴∠SAD=45°，
∴∠STD=45°，
∴△DST为等腰直角三角形，
∴DS=DT，
又∵∠SAD=∠DCT=45°,∠ASD=∠DTC，
∴△DAS≌△DCT(AAS)，
∴AS=TC，
∴AS−AT=TC−AT=AC，
∵AC=2AD，
∴AS−AT=2AD；
（3）在TA上截取TF=AS=2，连接EF，如图，
∵∠TSE=∠TAE=∠DAC=45°，∠TES=90°，
∴△EST为等腰直角三角形，
∴SE=TE，
又∵∠ASE=∠ETF，
在△EAS和△EFT中，
SA=TF∠ASE=∠FTESE=TE
∴△EAS≌△EFT(SAS)，
∴∠SEA=∠TEF，AE=EF=AD=4，
∵∠TES=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF=2AE=42，CA=2AD=42
∴CT=AF+TF+AC=82+2．