专题12 二次函数与几何图形的综合问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题12：二次函数与几何图形的综合问题
目录
一、热点题型归纳
【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题
【题型二】 二次函数与角度数量关系问题
【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题
【题型四】 二次函数与特殊三角形问题
【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题
【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题
【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题
二、最新模考题组练


【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题
【典例分析】
1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点为二次函数的图象与轴的交点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为二次函数图象上的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）利用函数轴的交点坐标即可求解；
（2）先求出的面积，设点，再根据得到方程求出值，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于，两点，
∴，
二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数的解析式为，
∴令，则，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴设点，
∴，
即，
∴解得：，
∴或．
【点睛】本题考查了利用轴交点坐标求二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，三角形面积，求得函数的解析式是解题的关键．

【提分秘籍】
对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：
①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；
②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；
③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.
④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.
【变式演练】
1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)求的面积最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)的面积最大值为

【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解；
（3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图所示，过点作轴交于，

设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
∴的面积最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键．
2．如图，抛物线与x轴交于两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？
(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)当或时，；
(3)Q点坐标为．

【分析】（1）已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式；
（2）观察图象即可解决问题；
（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接，直线与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为；
（2）解：观察函数图象，当或时，，
故答案为或；
（3）解：在抛物线对称轴上存在点Q，使的周长最小．
∵长为定值，
∴要使的周长最小，只需最小，
∵点A关于对称轴直线的对称点是，
∴Q是直线与对称轴直线的交点，
设过点B，C的直线的解析式，把代入，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入上式，
∴，

∴Q点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．

【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）作点关于对称轴对称的点，连接，先根据二次函数的解析式求出点的坐标，从而可得点的坐标，再根据二次函数的对称性可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，周长最小，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】解：（1）将点代入得：，
解得，
则抛物线的函数关系式为；
（2）二次函数的对称轴为直线，
当时，，即，
，
如图，作点关于对称轴对称的点，连接，则，，

周长为，
当取得最小值时，周长最小，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为，
由两点之间的距离公式得：，
则周长的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．

【题型二】 二次函数与角度数量关系问题
【典例分析】
1．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；
(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3
(2)M（，）
(3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12）

【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解；
（2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解；
（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），
∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3；
（2）解：当 时， ，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为 ，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝-x＋3，
设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），
∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋，
当m ＝时，MN的长度最大，
此时M（，）；
（3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，

∵ ，
∴点P坐标（1，4），
∵点B（3，0），C（0，3），
∴PC＝，PB＝，BC＝，
∴ ，
∴△PBC为直角三角形，
∴tan∠PBC＝，
设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），
∵，
则，
解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），
故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键．

【提分秘籍】

探究两个角相等的方法：
①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；
②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.
【变式演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值．
(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)）或．

【分析】（1）将代入，即可求函数的解析式；
（2）由题意可求，又由，可得，能求出点，即可求t的值；
（3）由题意可得，从而能求出，再由，求出t即可求P点坐标．
【详解】（1）解：代入，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：令，则，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴t的值为2；
（3）解：存在点P，使，理由如下：
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴P点坐标为）或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
2．如图，抛物线与轴相交于点，且经过，两点，连接．

(1)求抛物线的表达式；
(2)设为轴下方抛物线上一点，为对称轴上一点，为该抛物线对称轴与轴交点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)P的坐标为：或

【分析】（1）把，代入，再建立方程组即可；
（2）由抛物线为的对称轴为直线，可得，当时，则，则，可得，设，如图，过作轴交抛物线于，交抛物线的对称轴于，则，，，再建立方程求解可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线为．
（2）抛物线为的对称轴为直线，
∴，
当时，则，则，

∵，，
∴，
设，如图，过作轴交抛物线于，交抛物线的对称轴于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，（经检验：负根不符合题意舍去），
∴，
∴，
由对称性可得：也符合题意；
综上：P的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，抛物线的性质，锐角三角函数的应用，利用锐角相等得到同名三角函数值相等建立方程是解本题的关键．
【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题
【典例分析】
1．如图，已知经过，两点的抛物线与轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式及点的坐标；
(2)若线段上有一动点不与、重合，过点作轴交抛物线于点．求当线段的长度最大时点M的坐标；
【答案】(1)；
(2)①；②不存在，理由见解析

【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）①先待定系数法求得直线的解析式为，设M的坐标为，则，进而得出关于的函数关系式，根据二次函数的性质得出线段的长度最大时，求得点的值，即可点M的坐标；

【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
当时，，即；
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设M的坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∴；

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，线段最值问题，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

【提分秘籍】
探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：
①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；
②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax²+bx+c上点的坐标为(x，ax²+bx+c)；双曲线y=kx上的点的坐标为y=（x，kx）
③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=（x−m）²+（y−n）²。
④求线段的数量关系时(或者求线段的最值时),可用三角形全等、相似或勾股定理等求线段的长，然后直接判断两条线段是否相等或者利用求出的线段长度进一步计算得出其他的结论(或者利用二次函数的性质进一步求出线段的最值).

【变式演练】
1．如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点D是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，求m的取值范围；
(3)对称轴与直线交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当时，求点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或

【分析】（1）先求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点D的坐标即可；
（2）先求出点M的坐标，进而求出在中，当时，y的值即可得到答案；
（3）如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T，证明四边形是平行四边形，推出；再证明，推出此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，设，则，求出，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，解方程即可；如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意．
【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：在中，当时，则，
解得或，
∵点在抛物线对称轴左侧的图像上，
∴，
在中，当时，，
∵将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，
∴；
（3）解：如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T，
∵轴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，
设，则，
在中，当时，，
∴，
由平行四边形对角线中点坐标相同可知，
解得或（舍去），
∴；

如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意，
∴；
综上所述，点Q的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，二次函数图象的平移等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y交y轴于点C，交x轴于A、B两点，，，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），轴，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
【答案】(1)；
(2)2．

【分析】（1）代入法求解及可；
（2）结合（1）求出直线的表达式为，设点，则点，则，即当时，的最大值为．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式，
得：，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）由（1）可知，
对称轴为：，
令，解得，令，解得或，
故点A、B、C的坐标分别为：、、，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
故直线的表达式为：，
设点，则点，
且，
则，

，
∵，故有最大值，
当时，的最大值为；
【点睛】本题考查了代入法求函数解析式，二次函数有关的线段问题；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．

【题型四】 二次函数与特殊三角形问题
【典例分析】
1．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为．

(1)求n的值和抛物线的解析式．
(2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)当时，的面积最大，最大值为64；
(3)存在点M，使是以为直角边的直角三角形，此时点M的坐标为或

【分析】（1）先求出，再把点B、C的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
（2）过点P作y轴的平行线交于点H，连接，设点P的坐标为，则点，可得，
再由的面积，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点B为直角顶点时，当点C为直角顶点时，即可求解．
【详解】（1）解：对于，
令，则，
令，解得：，
当时，，
∴点A、B、C的坐标分别为；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线交于点H，连接，

设点P的坐标为，则点，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，的面积存在最大值，最大值为64；
（3）解：存在，理由如下：
①当点B为直角顶点时，如图，此时，分别过点M和点C作y轴的垂线，垂足分别为N，D，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∵点M在抛物线上，
∴，解得或0（舍），
∴，
∴；
②当点C为直角顶点时，如图，此时，过点作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，

由①知，
∴，
∴，
∴，
设点的横坐标为m，则，
∴，
∴，解得或8（舍），
∴．
综上所述，存在点M，使是以为直角边的直角三角形，此时点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

【提分秘籍】
在解答直角三角形的存在性问题时，具体方法如下：
(1)先假设结论成立，根据直角顶点的确定性，分情况讨论.
(2)找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点.②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的坐标轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点.
(3)计算：把图形中点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各边(表示线段时，还要注意代数式的符号),再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或者利用三角函数建立方程求点的坐标.
【变式演练】
1．抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，符合题意的点E的坐标为或或或．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况：，，讨论即可．
【详解】（1）解：∵经过、，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在y轴上存在点E，使为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式为，
∴，
设E点坐标为，
∴，，，
当时，有，
∴，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，             
，
解得，
∴此时点E的坐标为；
当时，，
，
解得或，
∴此时点E的坐标为或．
综上所述，符合题意的点E的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数与特殊三角形，掌握待定系数法，勾股定理等知识是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数经过点，点，点在此抛物线上，其横坐标为．

(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)当点在轴上方时，结合图象，求的取值范围．
(3)若此抛物线在点左侧部分包括点的最低点的纵坐标为．
①求的值；
②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)①，；②或或

【分析】（1）把点A、B的坐标代入解析式进行求解即可；
（2）根据二次函数的图形及（1）可直接进行求解；
（3）①由题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，然后可分当时和当时，进而分类求解即可；
②由①可得，过点作轴，，证明，根据全等三角形的性质得出，即，当，根据等腰直角三角形的性质直接求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得，
∴．
（2）解：由（1）可令，
解得，
∴抛物线与x轴交点坐标为，，
∵抛物线开口向上，
∴根据图象可知当或时，点P在x轴上方．
（3）解：①∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，抛物线顶点为最低点，
∴，
解得，
当时，点为最低点，
将代入得，
∴，
解得（舍），，
∴或．
②∵由①可得
如图所示，时，

过点作轴，，
则，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即．
当，则，则到的距离为，
∴或．
综上所述，或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)在x轴上存在点P，使得为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为或或或．

【分析】（1）根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况进行讨论：①时；②；③．
【详解】（1）解：对于直线，
令，即，
解得：，
令，得，
∴，，
∵A为x轴负半轴上一点，且，
∴．
将点A、B的坐标分别代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：存在．如图2，
由得抛物线的对称轴为直线，
∴，

∵点P在x轴上，
∴设．
∵，
∴由勾股定理，得：，，，
分为三种情况讨论：
①当时，，
即，
解得，，
此时点P的坐标为或；
②当时，，即，
解得，（不符合题意，舍去），
此时点P的坐标为；
③当时，，
即，
解得，
此时点P的坐标为．
综上所述，在x轴上存在点P，使得为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为或或或．

【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的定义及两点坐标距离公式，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解题的关键．
【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题
【典例分析】
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；
(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)PA+PC的长为
(3)存在，点Q的坐标为或，理由见解析

【分析】（1）当x＝0时，y＝3，可得C（0，3）．再设设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系数法，即可求解；
（2）连接PA、PB、PC，根据轴对称性可得PA＝PB．从而得到PA+PC＝PC+PB．进而得到当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．即可求解；
（3）先求出抛物线的对称轴，可得点，再由点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得，可得∠CBM=∠MNO，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），
将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．
（2）解：如图，连接PA、PB、PC，

∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，
∴PA＝PB．
∴PA+PC＝PC+PB．
∵两点之间线段最短，
∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．
∵OC＝3，OB＝3，
∴BC＝．
∴PA+PC的最小值＝．
（3）解：存在，理由：
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．
∵抛物线的对称轴l与x轴交于M点．
∴点，
∵点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．
∴OM=ON=1，OB=OC=3，
∴，
∴∠CBM=∠MNO，
当点Q在点N下方时，∠MNQ=135°，不符合题意，
∴点Q在点N上方，
设点Q的坐标为（0，n）．则QN=n+1，
∵以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似，
∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，
当时，，如图（2），

∴，
∴，解得：，
∴点；
当时，，如图（3），

∴，
∴，解得：，
∴点，
综上所述，点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．

【提分秘籍】
解答三角形相似的问题时，要具备分类讨论的思想及数形结合的思想，具体如下：
①分情况讨论，剔除不符合的情况：探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角、对应边，根据相似三角形的对应关系，可以确定出三种不同的对应形式，根据题意或实际情况，剔除不符合的对应形式；
②设未知量，求边长：在这种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点的坐标表示出所求三角形的边长；
③建立关系式，并计算：由相似三角形的性质列出相应的比例式，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点坐标.
【变式演练】
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D．

(1)求直线AB的表达式；
(2)求tan∠ABD的值；
(3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）根据抛物线经过点A（2，0），可得抛物线解析式为，再求出点B的坐标，即可求解；
（2）先求出点D的坐标为 ，然后利用勾股定理逆定理，可得△ABD为直角三角形，即可求解；
（3）先求出直线BD的解析式，可得到点P的坐标为 ，然后分两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点A（2，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
设直线AB的解析式为 ，
把A（2，0），，代入得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为；
（2）如图，连接BD，AD，

∵，
∴点D的坐标为 ，
∵A（2，0），，
∴ ，
∴ ，
∴△ABD为直角三角形，
∴；
（3）设直线BD的解析式为 ，
把点，代入得：
，解得： ，
∴直线BD的解析式为 ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ，
当△ABP∽△ABC时，∠ABC=∠APB，
如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ=3，OQ=1，

∵△ABP∽△ABC，
∴∠ABD=∠BCQ，
由（2）知，
∴，
∴ ，
∴CQ=9，
∴OC=OQ+CQ=10，
∴点C的坐标为 ；
当△ABP∽△ABC时，∠APB=∠ACB，此时点C与点P重合，
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D．

(1) ； ；
(2)连结，与相似吗？说明理由；
(3)若点P为射线上一点，当与相似时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)相似，理由见解析
(3)点P的坐标为或

【分析】（1）把两点坐标代入函数求出b，c的值；
（2）先求， ， ，再根据三角形相似的判定定理证明即可；
（3）当与相似时分两种情况分别进行讨论即可．
【详解】（1）把和点代入得

∴，
（2）；理由如下：
∵，
∴，，
∴， ， ．
∴．
∴，
在与中，
，
，
∴；
（3）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即：．
∴当与相似时，有两种对应情况．
当时，
∴．
∴．
∴．
当时，
∴．
∴．
∴．
综上，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的判定是解题的关键．
3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当面积最大时，求点的坐标；
(3)如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在， 或．

【分析】（1）将A，B，C三点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可；
（2）设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论；
（3）分和两种情况列式求解即可.
【详解】（1）∵抛物线过点，，，
∴代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设，则，
设直线解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴，

∵，
∴当时，即当时，；
（3）存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，则，.
∴，
如图，过点作轴于点，则，

由（1）可得：，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点，
①当时，，即，
解得：或（舍去），
∴；
②当时，，即，
解得：或（舍去），
∴
综上所述，或
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免遗漏．．

【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题
【典例分析】
1．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线上方的抛物线上时，求的最大面积，并直接写出此时P点坐标；
(3)若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大面积为，点P的坐标为（﹣，）
(3)能，点或

【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）求出直线的解析式，过点P作轴交于Q，设，则，根据求出函数关系式，即可得到答案；
（3）先求出抛物线的对称轴，设出点P的坐标，再分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1 ）知，抛物线的解析式为，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于Q，

设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大面积为，此时，点P的坐标为；
（3）能是平行四边形；
由(1)知，抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，
设点，
假设存在以B，C，P，M为顶点、为边的四边形是平行四边形，
①当四边形是平行四边形时，
∵点，
∴，
得，
∴；
①当四边形是平行四边形时，
∵点，
∴，
∴，
∴，
即：满足条件的点或．

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形面积的求法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解题的关键．

【提分秘籍】
对于特殊四边形的探究问题，也会以探究菱形、矩形、正方形来命题，解题方法步骤如下：
(1)先假设结论成立；
(2)设出点坐标，求边长；
(3)建立关系式，并计算.若四边形的四个顶点位置已经确定，则直接利用四边形的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论.
探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式.
探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解.
探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.
【变式演练】
1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 和点 ．为第一象限的抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求面积的最大值；
(3)过点作，垂足为点，求线段长的取值范围；
(4)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为
(3)
(4)

【分析】（1）设，将点，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
（3）同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解；
（4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）抛物线与轴交于点，，，，
设，将点，代入，
得：，
解得：，
；
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为
，，，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则点，

∴，
当时，面积的最大值为；
（3）如图，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为
，，，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则点，

在中，，
，轴，
，
，
，
又，
，
，即，
，
当时，取得最大值为，
；
（4）设，，
，
四边形是菱形，
，
，
解得：，

【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求的最大值；
(3)过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．
【答案】(1)
(2)2
(3)

【分析】（1）利用待定系数法即可求解抛物线的函数表达式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，得到，根据二次函数的性质即可得到的最大值；
（3）先求出，得到，根据四边形是矩形，得到，，则，由轴得到，，则，，同理可得，，则，得到，得到点H的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴相交于，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标是，则点E的坐标是，
∴，
∴当时，的最大值是2；
（3）解：过点B的直线交y轴于点C，
当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵过点D作x轴的垂线，垂足为G，
∴轴 ，
∴，，
∴，
∴，
∵，，  
∴
∴
∴，
∴,
∴，
∴点H的坐标是．
【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；
(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，此时点的坐标为或

【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，即，
当时，，解得，即，
把，代入得，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，
当时，，解得或（舍去），
则．
（3）解：存在，求解如下：
设点的坐标为，
①当四边形是矩形时，则，
∵直线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
把点代入得，
直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为；
②当四边形是矩形时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或（即为点，舍去），
，
四边形是矩形，且，，，
，解得，
则此时点的坐标为，
综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、矩形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键
4．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．

(1)求m的值及该抛物线的对称轴；
(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m＝4，x=
(2)存在，(4，5)或(，)

【分析】（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的顶点式的即可得二次函数对称轴；
（2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形性质即可求解．
【详解】（1）解：把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：
∴﹣16+12+m＝0，
解得：m＝4，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴二次函数对称轴为直线x＝；
（2）解：存在，理由如下：
令y=0，即y＝﹣x2+3x+4，
解得x=4或x=-1，
∴点B的坐标为（-1，0）
①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，

∵A（4，0），AB＝5，
∴点Q′的坐标为（4，5）；
②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
∵AB、PQ是正方形对角线，
∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，
∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，
∴点Q的坐标为（，﹣），
故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质，关键是注意正方形存在性问题得分类求解，避免遗漏．


1．（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P抛物线上一动点（P与C不重合）．

(1)求点A、C的坐标；
(2)当时，抛物线上是否存在点P（C点除外）使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当时，过点P作轴于点Q，求的长．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)2

【分析】（1）分别求出时，的值、以及时，的值即可得出答案；
（2）先根据三角形的面积公式求出的值，再过点作轴于点，根据可得，利用正切的定义求解即可得；
（3）先根据平行线的性质可得，从而可得，再设点的坐标为，则，根据正切的定义可得，从而可得，由此即可得．
【详解】（1）解：抛物线开口向上，
，即，
当时，，
则点的坐标为，
当时，，解得或，
抛物线与轴负半轴交于点，
点的坐标为．
（2）解：由（1）可知，，，，
，
，
，
，
解得，
，
由题意可知，点只能在轴的上方，如图，过点作轴于点，

设点的坐标为，则，
，
，
，即，
整理得：，
解得或，
经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，
，
则点的坐标为，
所以抛物线上存在点（点除外）使，此时点的坐标为．
（3）解：，
，
，
，
，
设点的坐标为，则，
，
，
解得，
，
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、正切、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握二次函数的性质和正切的定义是解题关键．
2．（2023·江西上饶·统考模拟预测）二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．

(1)求该二次函数解析式；
(2)如图1，第一象限内该二次函数图象上有一动点，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，将该二次函数图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数图象如图2所示，若直线与新函数图象恰好有三个公共点时，则的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）将点，，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，直线的解析式为：，设，则，然后根据三角形面积公式得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据轴对称的性质得出在时，函数解析式为，即，结合函数图象，可知①当经过点时，②当与只有个交点时，符合题意，据此即可求解．
【详解】（1）将点，，代入得，

解得：
∴
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，

由，当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
将点，代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则，
∴
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∵，
∴取得最大值时，面积取得最大值，
∴面积的最大值为
（3）解：由与轴交于，，
顶点坐标为
将该二次函数图象在轴上方的部分沿轴翻折后，顶点坐标为，开口向上，
∴在时，函数解析式为，即，
依题意，直线与新函数图象恰好有三个公共点时，
①当经过点时，即，
解得：，
②当与只有个交点时，
∴有个相等实数根
即，
∴，
解得：，

综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，轴对称的性质，根据函数图象确定方程的解，熟练掌握是解题的关键．
3．（2023·山西吕梁·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点，顶点为B．
(1)时，时，求抛物线的顶点B的坐标；
(2)求抛物线与轴的另一个公共点的坐标用含a，c的式子表示；
(3)若直线经过点B且与抛物线交于另一点，求当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可．
（2）把A点坐标代入抛物线可得，利用两根之积即可求出答案．
（3）根据点和都在抛物线上可求出b的值，从而得到和顶点B的坐标，再结合C点坐标可联立方程求出函数解析式，即可求出答案．
【详解】（1）解：把，代入抛物线得：，
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：把代入抛物线得：，
∴，
则抛物线，
∵两根之积，
∴，
∵，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为．
（3）解：∵点在抛物线上，
由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
由抛物线可得顶点B的坐标为，
把C点坐标代入直线解析式得：，
把B点坐标代入得：，
联立①、②并求解得：、或、，
∵，
∴，，
∴抛物线解析式为，如图所示

A、B、C点的坐标分别为、、，
∴当时，的最小值是，无最大值，
∴的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数的交点问题，灵活运用数形结合是解题关键．
4．（2023·河南许昌·统考一模）在平面直角坐标系中，已知L1：经过点，点．
(1)求的解析式．
(2)将向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，求的解析式．
(3)若点，，，在上，且，将上方抛物线沿翻折，翻折后得到一个新图象．当这个新图象与过点且平行于轴的直线恰好只有2个公共点时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用平移的规律即可求得；
（3）根据二次函数的顶点求出翻折后新图象的顶点坐标，结合图象求解．
【详解】（1）解：抛物线 经过点，点，
，解得，
的解析式为；
（2），
将向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的解析式为，即；
（3）点，，，，
轴，所在直线为，
抛物线，沿直线翻折后顶点坐标为，
，
，
当时符合题意，
解得，
．

当时，符合题意，

综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数与方程的关系以及数形结合是解题的关键．
5．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值；
(3)当取最大值时，求的面积．
【答案】(1)
(2)1
(3)2

【分析】（1）先求出A、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点B的坐标 ，再利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，则，由二次函数的性质求解即可；
（3）根据，进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，
∴，
∵抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，
∴，
∴可设抛物线解析式为，
把代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设，则，
∴


，
∵，
∴当时，最大，最大值为1；
（3）解：由（2）得当最大时，，
∴


．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等；灵活运用所学知识是解题的关键．
6．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）如图，二次函数经过点，点是轴正半轴上一个动点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点．设点的横坐标为．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若、、三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求的值．
(3)点在线段上时，
①连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
②若以、、为顶点的三角形与相似，求的值；
【答案】(1)
(2)
(3)①E（2，5）；②m的值是或．

【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）先求得直线的解析式为，从而有，，根据为线段的中点时，得方程，解方程即可；
（3）①设出，，列出与的函数关系式即可得解；②由，分当为直角时与为直角时两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：把（，）、（，）代入
得，解得
∴
（2）解：∵（，）、（，）
∴直线的解析式为
∵，则，
∴，
当为线段的中点时，则有
即：
解得（三点重合，舍去）或
∴
（3）解：①∵（，），
∴
∵，
∴
∴
∴当时，的最大值为，此时（，）
②∵，，∴
由（）可知：（，）、、
∵
∴以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论：
①当为直角时，则
∴，即：
∴，即：
解得：（舍去），
②当为直角时，则
∴，即：
∴，即：
解得，（舍去）
综上所述，的值是或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数与一次函数，二次函数的图像及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形以及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
7．（2023·山西忻州·统考一模）综合与探究．
如图1，抛物线经过，，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接，．

(1)求抛物线的表达式．
(2)求证：．
(3)如图2，动点P从点B出发，沿着线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)存在，或或

【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行证明；
（3）分三种情况讨论，分别根据利用平行线的性质，三角形相似的性质分别求解．
【详解】（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）当时，，
解得：或，
∴，，
当时，，
，
∴，，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，，，
∴，
当时，，解得：；
当时，如图1，

过点Q作于点D，则，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
当时，如图2，过点P作于点，
则，
∵，，
∴，
∴，即：，
解得：，
综上，当或或时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题的关键．
8．（2023·湖北黄冈·校考一模）如图，抛物线与x轴交于两点，且，与y轴交于点，其中是方程的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的一个动点，过点M作，交于点N，连接，当的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴是否存在点F，使以A，D，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或

【分析】（1）先解方程得到，则可设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）作轴于H，如图1，设，证明，利用相似比可表示出，则，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）先确定，如图2，然后分类讨论：当，由于，易得此时F点坐标为或；当时，根据平行四边形的性质可得到点E和点D的纵坐标互为相反数，则计算出当时，或，得到E点坐标为或，然后利用点平移的规律和确定对应F点的坐标．
【详解】（1）解：解方程得，则，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：作轴于H，如图1，
设，
，
，
，即，
，


，
当时，的面积最大，此时M点的坐标为；

（3）解：当时，，则，
如图2，当，则，
∴，
∴此时F点坐标为或；
当时，则点E和点D的纵坐标互为相反数，即点E的纵坐标为5，
当时，，
解得，
若E点坐标为，由于点向右平移5个单位，向下平移5个单位得到D点，则E点向右平移5个单位，向下平移5个单位得到F点，此时F点坐标为；
若E点坐标为，同样方法得到此时F点坐标为；
总上所述，满足条件的F点坐标为或或或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决问题．
9．（2023·广东东莞·校考三模）如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
(3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，P的坐标是,,，

【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设，根据勾股定理的逆定理推论出，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）∵是方程的两根（），
解得原方程的两根分别是：，
∴，
设抛物线的解析式为，
则，
解得：，
∴抛物线的解析式是．
（2）∵，
∴对称轴为：，
①当为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∵E在对称轴上，
∴D的横坐标是1或，
∴D的坐标是或，此时E的坐标是；
②当是对角线时，则和互相平分，由E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标是，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，即是顶点，此时，
综合上述，符合条件的点E共有两个，分别是或．
（3）假设存在，设，
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，，
∵以P、M、O为顶点的三角形和相似，
又∵，
∴，或，
∴或，
解得：或或或，
∴存在P点，P的坐标是,,，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解以及分类讨论思想的运用．
10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、．

(1)求抛物线的顶点M的坐标；
(2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式．
【答案】(1)，顶点坐标为：．
(2)点E的坐标为；
(3)直线的函数表达式为．

【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）先求解抛物线与x轴交于，， 可得，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ， 由翻折得， 由勾股定理，得， 求解， 由翻折得， 再利用三角函数可得答案；
（3）连接， 证明为等边三角形， 证明， 可得， 设与x轴相交于点K， 可得点K的坐标为．再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与x轴交于点B、．
∴，解得：，
∴抛物线为：，
∴顶点坐标为：．
（2）如图，令，
解得：，，

∵抛物线与x轴交于，，
∴，抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ，
由翻折得，
由勾股定理，得，
∴点F的坐标为，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴点E的坐标为；
（3）连接，
∵， ， 则为等边三角形，
∵，为等边三角形，

∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
设与x轴相交于点K，
∴．
∴点K的坐标为．
设直线的函数表达式为， 则 ， 解得，
∴直线的函数表达式为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握代入法求二次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定，轴对称的性质，代入法求一次函数解析式是解本题的关键．
11．（2023·广东东莞·校考一模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在第四象限的抛物线上，若的面积为4时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上，当时，求点M的横坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)或

【分析】（1）将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；
（2）先求得，则，再求得直线的解析式为，作轴于点，交于点，设，则，所以，可求得，由，得，解方程求出的值即可；
（3）取点中，连接，则，，可证明，得，再证明，则，即可证明，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，可求得直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标；二是点在轴的下方，可求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标．
【详解】（1）抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）抛物线，当时，则，
解得，（不符合题得，舍去），
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
如图1，作轴于点，交于点，

设，，则，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
（3）如图2，取点中，连接，则，，

，，
，
，
，
，
，
，
当点在轴的上方，设交轴于点，
，
，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，（不符合题意，舍去），
点的横坐标为；
当点在轴的下方，设交轴于点，
直线，当时，，
，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，（不符合题意，舍去），
点的横坐标为，
综上所述，点的横坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
12．（2023·广东东莞·虎门五中校联考一模）如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式：
(2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由；
(3)如图②，连接，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式为，进而得到直线于直线平行，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，求出，据此求解即可；
（3）分图3-1和图3-2两种情况过点A作使得，过点P作轴于T，连接，可证明，则与抛物线的交点即为点Q，利用一线三垂直模型求出点P的坐标，进而求出直线的解析式，再联立直线的解析式和抛物线解析式求出点Q的坐标即可．
【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，
设直线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线与直线平行，
∵，
∴，
∴点M在运动过程中的长保持不变，
要使的面积最大，则最大，即要使最大，
∵，
∴当最大时，最大，即此时的面积最大，
∵M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m，
∴，
∴，
∴


，
∵，
∴当时，最大，即此时的面积最大；

（3）解：如图3-1所示，过点A作使得，过点P作轴于T，连接，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，令，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴与抛物线的交点即为点Q，
同（2）法可求出直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点Q的坐标为；

如图3-2所示过点A作使得，过点P作轴于T，连接，
同理可得，，
∴与抛物线的交点即为点Q，
同理可得同理可求出直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
13．（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考二模）如图所示抛物线与轴交于，A两点，，其顶点与轴的距离是．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设顶点为，将直线绕点顺时针旋转，得到的直线与抛物线交于点，求点的坐标；
(3)点在抛物线上，过点的直线与抛物线的对称轴交于点当与的面积之比为时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）由题意可得，再将代入求出的值即可求函数的解析式；
（2）通过证得，求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组即可求得的坐标；
（3）设直线与轴的交点为，与轴的交点为，则，，由题意可知直线与坐标轴的夹角为，求出，，再由，求出的值即可．
【详解】（1），
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
顶点与轴的距离是6，
顶点为，
，
抛物线经过原点，
，
，
；
（2）设旋转90，得到的直线与轴交于点，对称轴与轴的交点为，

，其顶点与轴的距离是6．
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
设直线为，
代入得，
解得，
直线为，
由解得或，
的坐标为，；
（3）设直线与轴的交点为，与轴的交点为，

，，
，，
直线与坐标轴的夹角为，
，，
与的面积之比为，
，
，
解得或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2023·甘肃酒泉·统考二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

(1)求抛物线的关系式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式．
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)存在，或

【分析】（1）点坐标代入解析式可求的值，由对称轴可求的值，即可求解；
（2）①先求出点，点，点的坐标，利用待定系数法可求解析式，由三角形的面积公式可求解；②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
【详解】（1）解：直线是抛物线的对称轴，且点的坐标为，
，，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
（3）解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．
理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15．（2023·四川巴中·统考一模）如图1，已知抛物线经过点和点B，且与y轴交于点C，直线经过B点和点C．

(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作于点E，作轴，交直线BC于点F，当的周长最大时，求点P的坐标．
(3)在第（2）问的条件下，直线CP上有一动点Q，连接BQ，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）利用抛物线的解析式求点的坐标，代入一次函数求出一次函数的解析式，再求出点的坐标，最后把的坐标代入抛物线的解析式中即可；
（2）设点P的横坐标为，用的代数式表示点P和点F的坐标，构建是的二次函数，利用二次函数的性质确定最大值，此时的周长也最大，最后求出点P的坐标；
（3）作，利用相似得比例线段，把转化为，再用“二点一线”模型，结合相似三角形求最小值．
【详解】（1）在中
令，，∴
将点代入得：，
∴直线的解析式是，
当时，，∴，∴，
将，代入得
解得：，
∴抛物线的解析式是
（2）∵，，
∴，，
易得，
∴，即，
∴，
∴的周长为：
∴当PF最大时，的周长最大．
设点P的坐标为，则点F的坐标为
∴


∴当时，PF的值最大，的周长最大，此时

（3）过点Q作于点E
∵，，
∴轴
∴，
∴，即，
∴，
∴，
作点B关于直线CP的对称点，连接，此时，，过点作于点，交CP于点，此时，的值最小，即的值最小，最小值为．
∴，∴，
∵，
∴
∴，即
∴，即的最小值为．

【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，构建二次函数求最值，解题的关键是掌握待定系数法，突破点是构建新的二次函数求最值．