人教版中考综合实践数学探究——题目汇总练习题（含答案）

这是一份人教版中考综合实践数学探究——题目汇总练习题（含答案），共2页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示．
注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计；
注2：以上计算取3；
注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等；
注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点．
(1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为．
①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）；
②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）；
(2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）．
2．如图是一个长方体的表面展开图，一共标有、、、、、六个面，，，，请根据要求回答：
(1)如果面在长方体的底部，那么________面会在上面；
(2)求这个长方体的表面积和体积（用含和的式子表示）．
(3)若，，，，且相对两个面上式子的和都相等，求代表的代数式．
3．在学习整式的乘法运算时，数学老师去借助图形的面积，让同学们更直观的判断和理解整式的乘法运算．
如图是王老师用硬纸卡制作的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C）
(1)王老师在利用学具A、C各一张，组合了如图1的图形，借助图形的面积，可以得出的整式乘法关系式为 ；
(2)王老师在接下来的探究中，给同学们2张A，1张B和3张C硬纸卡，要求同学们将这些硬纸卡全部使用，拼成一个长方形（各个部分不重合且镶嵌）．请在下列的方格纸中画出这个长方形（假设：a的值为2个单位长度，b的值为1个单位长度），并借助图形的面积直接写出整式乘法的关系式．整式乘法的关系式为： ；
(3)王老师在本节课结束后，布置了一道思考题：“如图，用4张C类型的硬纸卡拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则的值是多少？”，请写出求解过程，完成解答．
4．综合实践
5．根据以下素材，探索完成任务
6．【综合与实践】在数学活动课上，用一根质地均匀长为的木杆和一些等重的小物体，做下列实验（如图所示）：
（1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一个小物体，看看左右是否保持平衡；
（3）在木杆左端小物体下加挂一个小物体，然后把这两个小物体一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离；
（4）在木杆左端的两个小物体下再加挂一个小物体，然后把这三个小物体一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离；
（5）在木杆左边继续加挂小物体，并重复以上操作和记录如下：
若在支点左边挂n个小物体，并使木杆左右平衡，此时支点与木杆左边挂重物处的距离记为．根据以上实验活动完成下列任务．
【任务1】①用式子表示n与x的关系，并指出n与x成什么比例关系？
②求n的最大值．
【任务2】若在木杆右端单独悬挂一块质量为的橡皮进行实验．已知每块小物体质量为，先在木杆左端悬挂3个小物体，移动这些小物体位置使木杆左右平衡；随后在木杆支点左侧原有重物基础上再增加2个小物体，此时需将左端悬挂的所有小物体向右移动，木杆方可再次实现平衡．求m的值．
7．综合实践
【问题背景】
勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形：
图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形；
图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形；
这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为．
(1)【探索求证】
请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理．
(2)【深入实践】
同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论．
(3)【拓展迁移】
如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________．
8．【问题情境】排箫是中国的传统乐器，如图①，它由长短不同的竹管组成，现用吸管模拟排箫探索这一乐器的“音”．
【实验操作】将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关仪器测得吸管另一出口发出声音的振动频率，不同长度吸管吹出声音的频率的部分数据如表1：
【补充材料】材料一：在到40℃范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：℃）的关系如表2：
表1
表2
材料二：声音的频率（单位：Hz）是指声波每秒振动的次数．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是．
材料三：声音的波长（单位：）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离．声音的频率和波长与声音的传播速度（单位：）满足公式：．
【探索发现】（1）请你根据实验操作中的表格数据，在图②中描点、连线．观察图象发现，吸管越短，振动频率越__________（填“高”或“低”）．
（2）当气温为10℃时，声速为____________；当声速为时，气温为____________℃．
（3）根据材料一中的表格数据，求声速与气温之间函数的关系式（不要求写出的取值范围）．
【实际应用】（4）目前国际通用的钢琴标准音A4频率为，在气温为23℃的情况下，求钢琴标准音A4的波长．
9．阅读材料，回答问题．
10．杨辉三角是我国南宋数学家杨辉发现的，利用杨辉三角可以很方便地写出二项式的次方的展开式．杨辉三角中的每一行的数分别对应二项式次方展开式中的各项系数．例如：，右边的系数是杨辉三角中第三行的三个数，又如：中右边各项系数是杨辉三角中第四行的四个数．
根据这个规律，试解决下列问题：
(1)试写出下一个展开式：_____．
(2)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程；
(3)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除．
11．阅读理解：根与系数的关系
(1)韦达定理：已知两根为，则，用求根公式证明韦达定理
(2)待定系数法证明韦达定理
设是方程的两个根，则原方程可表示为将方程展开整理得，比对相同次项的系数得：______，______（用表示）
(3)请你仿照（2），试一下：设是方程的三个根，则原方程可表示为______________；将方程展开整理得_______________________；比对相同次项的系数可得：_______，______；
(4)用类似的方法，我们可以得到一元n次方程的根与系数之间的关系为：
_______，_______．
12．测量金字塔高度
如图1，金字塔是正四棱锥S-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，SO垂直于地面，是正四棱锥S-ABCD的高．泰勒斯借助太阳光，测量金字塔影子△PBC的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量，甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S-ABCD表示．
（Ⅰ）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔甲的影子是△PBC，PC=PB=50m，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为_________m．
（Ⅱ）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔乙的影子是△PBC，∠PCB=75°，PC=m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
（Ⅲ）测量丙金字塔高度：如图3，是丙金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为56m，金字塔丙的影子是△PBC，PC=60m，PB=52m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算丙金字塔的高度．（精确到0.1）（）
13．金字塔是一种古老的建筑结构．它的底面是一个正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等），侧面是由多个形状和大小一样的三角形构成，这些三角形的底边是底面多边形的边，顶点汇聚于一个共同的点，称为金字塔的顶点．
【提出问题】如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？
【理解问题】在正多边形中，到各顶点距离相等的点是正多边形的中心．将正多边形相邻的两个顶点与中心相连，所得的三角形面积均相等．
【探究问题】
（1）如图，点O是正n边形硬纸片的中心，将其沿虚线剪开，分割成的多个四边形形状和大小也一样．将分割成的三角形拼接成一个无底的金字塔模型，此时正n边形的中心变为了金字塔的顶点．
已知正三角形、正方形、正五边形硬纸片的面积均为180，几种简单情形的数据如下：
【归纳总结】（2）如图4，按照以上方式，则的度数为 °（用含有n的代数式表示），金字塔模型中每个侧面的面积为 （用含有S与n的代数式表示）．
【应用结论】（3）按照上述方式，若想剪拼出每个侧面的面积均为的无底金字塔模型，需要用面积多大的正八边形硬纸片？
14．课本呈现：
问题探究：
(1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．

15．如图，由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车从发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离．其中，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，在反应距离内汽车的运动可近似为匀速直线运动．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离．那么制动非安全距离与哪些因素有关呢？
小明和同伴组成兴趣小组对其进行研究，查阅资料获得以下材料：
材料一：某研究所随机抽取了20万人，进行人体的反应时间研究，获得人体的反应时间数据如表1：
表1
材料二：制动距离与刹车时的车速和路面的光滑程度有关．
①在干燥沥青路面上，当车速小于时，制动距离（单位：）与刹车时的车速（单位：）的关系如表2：
表2
②湿滑沥青路面制动距离（单位：）与刹车时的车速（单位：）的函数关系式为：．
根据上述材料完成以下探究任务：
任务一：请在图2的坐标系中，以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点，已知汽车在干燥沥青路面的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式；
任务二：某款新型汽车在上市之前需要进行制动测试．
（1）若该款汽车的某次干燥沥青路面测试中，测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度；
（2）该种汽车在湿滑沥青路面易出现“水滑”现象，制动效率将大幅降低．若某日下雨后，测试员此时以的速度在湿滑沥青路面内行驶，测得制动非安全距离大约为，请判断此时是否发生“水滑”现象？并说明理由．
《人教版初中综合实践 数学探究》参考答案
1．(1)①第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为．②第六分道起跑点设在北侧直道；第六道相对于第一道的前伸数．
(2)两项比赛场地的总面积为．
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式．
（1）①根据总长减去圆周长进行计算即可；
②根据①的计算结果可得起跑点设在北侧直道，再由第六跑道西侧查道测量线的长减去第一跑道西侧弯道测量线的长即可；
（2）利用割补法求解五边形的面积，再求解圆的面积，再求和即可．
【详解】（1）解：①记第一分道弯道测量线所在圆半径为，第六分道弯道测量线所在圆半径为
第六分道的直道总长度为
第六分道的弯道总长度为
答：第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为．
②第六分道起跑点设在北侧直道；
第六分道西侧弯道长为
第一分道西侧弯道长为
答：第六道相对于第一道的前伸数．
（2）解：根据题意，得
长方形的面积为
三角形的面积为
三角形的面积为
五边形的面积为
“跳绳”项目比赛场地
答：两项比赛场地的总面积为．
2．(1)
(2)表面积是：，体积是：
(3)
【分析】（1）根据长方体的平面展开图，还原成立体图形即可得到答案；
（2）根据，，，结合长方形面积公式，数形结合即可得到答案；
（3）根据长方体的平面展开图，与对应、与对应、与对应，从而由，，，，且相对两个面上式子的和都相等，列式求解即可得到代表的代数式．
【详解】（1）解：如图所示，根据长方体的平面展开图，与是对面，
如果面在长方体的底部，那么面在长方体的上面；
故答案是：；
（2）解：这个长方体的表面积是：；
这个长方体的体积是：；
（3）解：由长方体的平面展开图，与对应、与对应、与对应，
根据相对两个面上式子的和都相等，得，
∴，
，，，，
，
，
∴代表的代数式为．
【点睛】本题考查长方体及其平面展开图与整式运算综合，涉及长方体表面积、体积公式、整式加减运算、去括号法则及合并同类项运算，利用空间想象能力，熟记长方体平面展开图与立体图形的对应关系，掌握长方体表面积及体积计算公式、整式混合运算是解决问题的关键．
3．(1)；
(2)，图见解析；
(3)3，求解过程见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，整式乘法的应用，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据矩形的面积公式求解；
（2）画出图形，再根据矩形的面积公式求解；
（3）先表示出和，再代入解方程即可．
【详解】（1）解：如图1，图形面积可以用面积公式表示为，也可以用正方形A和长方形C的面积和表示为，
则整式乘法关系式为：，
故答案为：
（2）解：如下图，图形面积可以用面积公式表示为，也可以用六个图形的面积和表示为，
则乘法关系式为：，
故答案为：；
（3）解：，，，
，
等式可化为：，
，
，
解得：（不合题意，舍去），或，
的值是3．
4．任务1：甲农产品每包售价10元，乙农产品每包售价15元；任务2：单独销售甲农产品数量至多有250包
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
任务1：设甲农产品每包售价为x元，则乙农产品每包售价为元，根据“乙农产品每包的售价比甲农产品每包的售价高5元，且乙农产品270元销售收入的销量是甲农产品60元销售收入销量的3倍”列分式方程求解即可；
任务2：设单独销售甲数量为包，求出单独销售甲、单独销售乙和捆绑销售甲的包数，进而求出销售总额，根据“销售总额不少于10000元”求出k的取值范围，即可求出答案．
【详解】解：任务1：设甲农产品每包售价为x元，则乙农产品每包售价为元，
∵乙农产品每包的售价比甲农产品每包的售价高5元，且乙农产品270元销售收入的销量是甲农产品60元销售收入销量的3倍，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴乙农产品每包售价为元，
即甲农产品每包售价10元，乙农产品每包售价15元；
任务2：设单独销售甲数量为包，则捆绑销售甲数量为包，
∴捆绑销售中赠送乙数量为包，
则单独销售乙数量为包，
∵销售总额由单独销售甲、单独销售乙和捆绑销售甲收入组成
∴销售总额元，
∵销售总额不少于10000元，
∴，
解得：，
即单独销售甲数量包．
∴单独销售甲农产品数量至多有250包．
5．任务1：；任务2：见解析；任务3：；任务4：47秒；
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键．
任务1、根据函数图象（图2）中的数据，即可作答；
任务2、根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图；
任务3、设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，则可得，再整理即可；
任务4、根据一次函数的增减性即可作答．
【详解】解：任务1：段的路程为：（米），
甲车经过段的时间为：（秒），
则甲车经过段的速度为：；
故答案为：8；
任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、，
根据图4中可得乙车经过段的时间：，
乙车经过段的时间为：，
甲车经过段的速度为：，
则乙车经过段的速度为，
即乙车经过段的时间为：，
∴乙车经过段的时间为：，
即补全函数图象如图．
任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，
记车在段等待红灯至离开点A需要y秒，
则，
任务4：∵，
∴随x的增大而减小，，
∴当时，y取得最小值，最小值为（秒），
即丙车在段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟．
6．任务1：①，与成反比例关系；②n的最大值为9；任务2：m的值为20
【分析】本题考查了反比例的应用和一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．
任务1：①根据题意可得：左侧总重量左侧距离右侧总重量右侧距离，设每个小物体质量为，进而即可求解；②根据和反比例的性质即可求解；
任务2：根据题意分为两次平衡的阶段，对两次的平衡阶段进行列出式子，进而即可求解．
【详解】解：任务1：①根据题意可得：左侧总重量左侧距离右侧总重量右侧距离，
设每个小物体质量为，则左侧挂个小物体的总质量为，右侧挂1个小物体的总质量为；支点到左侧距离为，支点到右侧距离为（表格中右侧距离恒为45），
∴
，
∴与成反比例关系．
②∵，且在中，随的减小而增大，
∴当取最小值时，取得最大值：
∴；
任务2：由题意得，第一次平衡：左端挂个小物体，设支点到左侧距离为，右侧挂橡皮，右侧距离为，
∴
解得．
第二次平衡：左端增加个小物体（共个），且向右移动，此时支点到左侧距离为，再次平衡．
∴
，
将代入中，
得
解得．
7．(1)见详解
(2)见详解
(3)，理由见详解
【分析】（1）从图1，图2，图3任选一个图形，根据整体的面积等于每部分面积和即可证明；
（2）根据都是正数，要证，两边平方等价于证明，结合勾股定理，得，结合，得出该式恒成立，即可证明；
（3）设中，，分别求出，由勾股定理得，即可得出，结合​，，．证出．
【详解】（1）解：选图1：
大正方形边长为，因此大正方形面积，
大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为的小正方形组成，因此总面积也可表示为：，
因此，勾股定理得证．
选图2：大正方形边长，面积，
整理得，勾股定理得证．
选图3：梯形面积，
整理得，勾股定理得证．
（2）证明：∵都是正数，
要证，两边平方等价于证明，整理得，
结合勾股定理，代入得：，
整理得，
∵，
∴该式恒成立，
因此原不等式​得证．
（3）解：．
理由：设中，，
过点分别作，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵​，，．
将前两式相加，代入，消去相同项后整理得：．
8．（1）见解析；高（2）337；30（3）（4）
【分析】（1）观察表1中吸管长度与振动频率的变化关系，判断吸管长短对应的频率变化；
（2）直接从表2中查找对应气温的声速、对应声速的气温；
（3）根据表2数据的变化规律，确定声速与气温是一次函数关系，用待定系数法求出函数关系式；
（4）先利用（3）的函数关系式求出对应气温的声速，再结合公式计算波长．
【详解】解：（1）根据表1中的数据描点、连线，如图．
观察表 1：吸管长度越短，振动频率越大，故填：高．
（2）气温为时，声速为；
声速为时，气温为．
（3）根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，
设声速与气温的函数关系式为．
把，代入，得，解得，
声速与气温的函数关系式为．
当时，代入得，与表2中对应声速一致；
当时，代入得，与表2中对应声速一致；
当时，代入得，与表2中对应声速一致；
由此可验证该函数关系式正确．
（4）由（2）可知声速与气温的函数关系式为，
当气温为时，．
声音的频率和波长与声音的传播速度满足公式：，
，
在气温为的情况下，钢琴标准音的波长为．
【点睛】本题考查了表格数据的读取、一次函数的实际应用及物理公式的结合计算，掌握从表格提取对应数据、用待定系数法求一次函数关系式、利用公式进行物理量换算是解题的关键．
9．任务1：30；任务2：；任务3：见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，平移的性质：
任务1：连接，则与的交点即为所求上到教学楼B和教学楼的距离之和最短的供水点，根据等边三角形的性质可得点是的角平分线的交点，即可求解；
任务2：连接，证明是等边三角形，可得，再由点在上，可得当时，有最小值．过点作，垂足为，则在中，，从而得到，再由的面积，即可求解；
任务3：由于天桥与道路垂直，所以的长度是固定的，要使从到的路径最短，只需最短，将点沿着与大道边缘垂直的方向平移之间的距离（即的长度）至点，根据平移的性质得总有成立，则，即可求解．
【详解】解：任务1：连接，则与的交点即为所求上到教学楼B和教学楼的距离之和最短的供水点．
是等边三角形，，，
是的平分线，是的平分线，
∴点是的角平分线的交点，
∴是的平分线，
∴；
任务2：如图，连接，
分别是点关于和的对称点，
，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
，
又∵点在上，
∴当时，有最小值．
如图，过点作，垂足为，则在中，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
∴周长的最小值为；
任务3：由于天桥与道路垂直，所以的长度是固定的，要使从到的路径最短，只需最短．
如图，将点沿着与大道边缘垂直的方向平移之间的距离（即的长度）至点，
根据平移的性质得，总有成立
则，
根据“两点之间，线段最短”，得连接与的线段的长度即使得最短的距离，此时，与的交点即为所求的S，过点S作b的垂线与的交点即为所求的．
10．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据规律即可求解；
（2）令，可得，即可解答；
（3）根据规律分别求得，据此求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：令，则，
令，则，
；
（3）证明：∵
，
，
∴
，
∵x是整数，
∴也是整数，
∴能被50整除．
11．(1)见解析
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）利用求根公式求出方程的根，然后代入，即可；
（2）将的左边按照多项式乘以多项式的方式展开，然后可得到，，由此即可求解；
（3）仿照（2）求解即可；
（4）同理求出的根与系数之间的关系，的根与系数之间的关系，然后找出一般规律即可．
【详解】（1）解：∵两根为，
∴，
∴，
不妨设，，
则
，
，
即；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：设是方程的三个根，
则原方程可表示为；将方程展开整理得；比对相同次项的系数可得：，；
（4）解：由（2）知的根与系数之间的关系为：，；
由（3）知的根与系数之间的关系为：，；
同理：的根与系数之间的关系为：，；
的根与系数之间的关系为：，；
……
∴一元n次方程的根与系数之间的关系为：
，
【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的韦达定理推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
12．（1）100；（2）m；（3）95.5m
【分析】（Ⅰ）连接OP，交BC于H，可得OP是BC的垂直平分线，求出OP的长，然后利用相似三角形的性质求解即可；
（Ⅱ）作CH⊥OP于H，根据勾股定理和正方形的性质求出OC的长，可证OC=PC，进而求出∠COP=30°，利用锐角三角函数的知识求出OH的长，进而求出OP的长，然后利用相似三角形的性质求解即可；
（Ⅲ）作PM⊥BC于M，作ON⊥PM交|PM的延长线于N，连接ON，作OT⊥BC于T，先求出MN的长，再根据勾股定理列方程求出CM的长，进而求出PM、OP的长，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（Ⅰ）如图1，连接OP，交BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，OB⊥OC，
∵PC=PB=50m，
∴OP是BC的垂直平分线，
∴OH=BH=BC=40m，
∴PH=m，
∴OP=40+30=70m，
由题意，得
，
∴SO=100 m，
故答案为：100；
（Ⅱ）如图4，作CH⊥OP于H，
∵四边形ABCD是正方形，
AC=m，
∴OC=AC=m，
∵PC=m，
∴OC=PC．
∵∠PCB=75°，
∴∠OCP=45°+75°=120°．
∴∠COP=∠CPO=30°，
∴OH=cs30°×OC=m，
∴OP=m，
由题意，得
，
∴SO=m，
∴乙金字塔的高度是m；
（Ⅲ）作PM⊥BC于M，作ON⊥PM交|PM的延长线于N，连接ON，作OT⊥BC于T，则四边形ONMT是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB⊥OC，
∴OT=BC=×56=28m，
∴MN=28m，
设CM=xm，则BM=(56-x)m，由勾股定理，得
PC2-CM2=PB2-BM2，
∴602-x2=522-(56-x)2，
解得x=36，
∴PM=m，
∴NP=28+48=76m，ON=MT=36-28=8m，
∴OP=，
由题意得
，
∴SO≈95.5m，
∴ 丙金字塔的高度是95.5m．
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的知识，以及相似三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
13．（1）120；90；12；（2），；（3）1200
【分析】本题考查了正多边形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
（1）由题意可得出答案；
（2）由正多边形的性质可得出答案；
（3）由（2）中的结论可得出答案．
【详解】解：（1）由图1可知，；
由图2可知，，
由图3可知，金字塔模型中每个侧面的面积为；
故答案为：；
（2）∵分割成的多个三角形形状和大小一样，
∴的度数为；
∵正n边形硬纸片的面积为S，
∴金字塔模型中每个侧面的面积为.
故答案为：，；
（3）根据题意可得，
∵，
所以，，
所以．
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，则，，待定系数法求得直线的解析式为：，当时，，可知点在直线的下方，当时，，可知点在直线的上方，进而可得拼合的长方形内部有空隙；
（2）如图3，由拼图前后的面积相等得：，整理得：，由，可得，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，

∵，，
设直线的解析式为：，
将代入，解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点在直线的下方，
当时，，
∴点在直线的上方，
∴拼合的长方形内部有空隙；
（2）解：如图3，

由拼图前后的面积相等得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：或（负值不合题意，舍去）．
∴的值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，完全平方公式，一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意以及对知识的灵活运用．
2．任务一：，函数图象见解析；任务二：（1）该款汽车开始刹车时的速度为；（2）此时发生了“水滑”现象．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
任务一：利用待定系数法求得函数关系式为，再列表、描点、连线即可画出函数图象；
任务二：（1）将代入，求解即可；
（2）当时，求得的值，再比较即可求解．
【详解】解：任务一：设函数关系式为，
将和代入得，
解得，
∴函数关系式为，
代入验证：，
∴点在函数上；
∴函数关系式为；
列表：
描点，连接、函数图象如图：
任务二：（1）由题意得，则，
解得（负值已舍），
∴该款汽车开始刹车时的速度为；
（2）发生了“水滑”现象．理由如下：
当时，，
，
∴，
∴此时发生了“水滑”现象．
“互联网+”助力乡村振兴
背景
“互联网+”是中国提出的一种创新发展模式，核心是将互联网技术与传统行业深度融合，利用互联网的平台、数据、技术优势，改造传统产业的生产、经营、管理模式，催生新业态、新模式，提升行业效率和竞争力．
“互联网+农村商业”的核心是“连接”与“赋能”，通过数字技术打破城乡壁垒，让农产品高效“出山”、工业品便捷“下乡”，创造就业创业机会，重塑农村商业生态，助力乡村振兴．
素材1
某网络销售商为了助力乡村振兴，决定在元旦期间对幸福村的甲、乙两种农产品进行直播卖货经过调查，乙农产品每包的售价比甲农产品每包的售价高5元，且乙农产品270元销售收入的销量是甲农产品60元销售收入销量的3倍．
素材2
通过观看直播后台留言发现，许多客户对甲，乙两种农产品都有需求．为了满足客户需求，在原有单独销售方案基础上，新增捆绑销售方案：购买3包甲农产品免费赠送1包乙农产品．
在直播结束后，该销售商对在直播期间开展单独销售与捆绑销售的销售数量进行了统计，得知售出及赠送的甲、乙两种农产品共1000包，其中单独销售甲农产品数量与捆绑销售甲农产品数量之比为．
问题解决
任务1
根据素材1，分别求出甲、乙两种农产品每包售价各多少元？
任务2
根据以上素材，在直播期间开展单独销售与捆绑销售，若销售总额不少于10000元，求单独销售甲农产品数量至多有多少包？
探究通过维修路段的最短时长
素材1
如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）．
素材2
甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过，，段的时间分别为，，，它的路程与时间的关系如图2所示；两车经过段的速度相等，乙车经过段的速度是．
素材3
红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯，绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．

问题解决
任务1
甲车经过段的速度为__________；
任务2
在下图中补全乙车通过维修路段时行驶的路程与时间之间的函数图像；
任务3
丙车沿方向行驶，经过段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯时车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，计红绿灯2由绿灯变为红灯后的x秒后丙车到达，丙车在段从开始等待至离开点A需要y秒，求y关于x的解析式；
任务4
丙车在段从开始等待至离开点A至少需要多少秒钟？
木杆左边挂小物体的个数
支点到木杆左边挂重物处的距离（单位：）
木杆右端挂小物体的个数
支点到木杆右端挂重物处的距离（单位：）
2
1
45
3
15
1
45
4
1
45
…
…
1
45
n
x
1
45
长度
200
150
120
100
80
60
50
振动频率
435
580
725
870
1087.5
1450
1740
气温
0
10
20
30
声速
325
331
337
343
349
“最短路径问题”再探究
材料1
在八年级上学期的“综合与实践——最短路径问题”中，我们利用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识对最短路径问题进行探究．接下来，我们循着这个思路，继续探究一些问题．
材料2
学校及周边的设施的平面图上，如果将道路抽象成线，建筑物抽象成点，那么就可以将一些问题转化成数学问题来解决．
材料3
如图是某学校平面图的一部分，处是校门，处是教学楼，处是办公楼，是等边三角形，两条主干道和恰好互相垂直．
任务
任务1
在教学楼和办公楼之间有一教学楼，且．现矿泉水公司欲在主干道上的某处建一个供水点，使得供水点与教学楼和与教学楼的距离之和最短，请在图中画出符合条件的点，此时 ．
任务2
如图，在主干道处有一条通往道路的小道（点在上，是锐角），学校想在三角形区域建一个三角形的宣传栏，使点在上，点在上，点在上，为节省资金，周长需最小．若，求周长的最小值（用表示）；小马同学是这样想的：分别作点关于和的对称点和，连接，则周长的最小值即为的长度……请你画出图形并继续解答．
任务3
大型住宅小区的大门与学校间隔一条大道，大道的边缘互相平行．为了让小区住户的学生上学安全，开发商想在小区与学校之间建一座天桥RS（天桥与道路垂直，点在大道边缘上，点在大道边缘上），使从到的路径最短，天桥应建在哪里？请帮开发商画出设计方案的示意图并简要说明理由．
正n边形的边数
3
4
5
……
示意图
图1
图2
图3
……
的度数
°
°
……
金字塔模型中每个侧面的面积
20
15

……
直觉的误差有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，，，
∵，∴．
∵，∴，∴．
因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．

反应时间（）
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
人数（万人）
1
4
5
6
1
2
1
刹车时的车速（）
0
30
60
90
120
干燥沥青路面制动距离（）
0
4
16
36
64
刹车时的车速（）
0
30
60
90
120
干燥沥青路面制动距离（）
0
4
16
36
64
湿滑沥青路面制动距离（）
0
9
33
72