九年级数学中考二轮复习《猜想与证明综合解答题》考前冲刺专题提升训练

这是一份九年级数学中考二轮复习《猜想与证明综合解答题》考前冲刺专题提升训练，共7页。试卷主要包含了观察下列等式，观察以下等式，观察下列各式，观察下列各式及其验证过程，阅读下列材料∶，根据要求解答下列问题等内容，欢迎下载使用。
1．观察下列等式：
第1个等式：13+3×12+1+1=23；第2个等式：23+3×22+2+1=33；
第3个等式：33+3×32+3+1=43；第4个等式：43+3×42+4+1=53；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_____；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
2．观察以下等式：
第1个等式：1×3=42−13；
第2个等式：2×4=52−17；
第3个等式：3×5=62−21；
第4个等式：4×6=72−25；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数），并证明．
3．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
第1个等式2−32=12；
第2个等式3−53=213；
第3个等式4−74=314；
第4个等式5−95=415；
第5个等式6−116=_________（根据规律填空）
(2)观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律．
若a−23a=b112（a，b均为正整数），则b−a的值为_________．
4．观察下列等式11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14，以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14
(1)猜想并写出1n×(n+1)=______；
(2)直接写出计算结果：11×2+12×3+13×4+……+12024×2025=______；
(3)探究并计算：12×4+14×6+16×8+……+12024×2026
(4)计算：14+112+124+140+160+184+1112+1144+1180
5．【特例与观察】（1）用“>”“=”或“4×9 ② 9+162>9×16
③ 16+252>16×25 ④ 5+52=5×5
(1)对于任意a>0，b>0， 猜想 a+b2与 ab的大小，并证明你的结论；
(2)如图，第一象限的点 P 在 y=1x的图象上，过点 P 作 PM∥y轴交直线y=−x于点M，
①是否存在点P，使得PM=4，若存在，求点P的坐标，不存在请说明理由；
②PM 是否存在最小值，若存在请写出最小值，不存在请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．
(1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？
(2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？
(3)探究点−4,3在第几个正方形的边上？−2n,2n在第几个正方形的边上（n为正整数）？
16．我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为a1，第2个数记为a2,⋯，第n个数记为an．1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21,a9=34，⋯．从a3开始，每个数都等于它前面的两个数之和，即an=an−1+an−2n≥3．小明在一次课外活动中，作了如下探究：a2+a4=1+3=4,a2+a4+a6=12,a2+a4+a6+a8=33,⋯小明发现，这样的求和结果与该数列中的某个数有着某种特殊关系，他为了证实自己的猜想，准备再举一些例子……
(1)请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出a2+a4+⋯+a2k与数列中的哪个数，有怎样的数量关系？注：k为正整数，下同）．
(2)小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立．你赞同小明的想法吗？如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法．
(3)①请你借鉴小明的探究思路，直接写出a1+a3+⋯+a2k−1与该数列中某个数的数量关系（不用证明）．
②查得该数列中a30=832040,a31=1346269，求a1+a2+a3+⋯+a30的值．
17．某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a10；
猜想x+12−4x与0的大小关系为x+12−4x=x2+2x+2−4x=x2−2x+2=x−12≥0；
故答案为：x+12−4x≥0；
（3）解：a2−8a+20
=a2−8a+16+4
=a−42+4
∵a−42≥0
∴a−42+4≥4，
∴代数式a2−8a+20的最小值为4．
6．（1）①5；26；②7；256；（2）能；（3）见解析
【分析】本题考查通过观察、分析特殊情况来归纳总结规律，并对规律进行验证．
（1）直接计算出相应的结果即可；
（2）根据（1）中计算的结果，归纳总结出规律；
（3）将三位数表示为100a+10b+c，然后通过变形，结合已知条件a+b+c能被3整除来证明．
【详解】解：（1）①：1+8=3×3,18=3×6;7+8=3×5，78=3×26；
②：3+4+8=3×5，348=3×116；7+6+8=3×7，768=3×256；
（2）若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除，则这个数能被3整除，
验证如下：
如（1）中两位数18，1+8=9，各位数字之和9能被3整除，则这个数18能被3整除；
（3）已知这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数可以表示为100a+10b+c，
将100a+10b+c变形为99a+a+9b+b+c，进一步整理为99a+9b+a+b+c ，
因为99a+9b=3×33a+3b，所以99a+9b能被3整除，
又因为已知a+b+c可以被3整除，
由于99a+9b和a+b+c都能被3整除，所以它们的和99a+9b+a+b+c ，即100a+10b+c也能被3整除，也就是这个三位数可以被3 整除．
7．(1)x9−1
(2)xn+1−1
(3)264−1
【分析】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索规律，根据规律答题．
（1）运用多项式乘多项式法则展开，合并同类项即得；
（2）根据所列等式得出规律：等号右边为x的幂−1，x的指数为左边第二个因式第一项指数加1，据此即可得出结论；
（3）原式乘以(2－1)，然后利用（2）中结论解答即可．
【详解】（1）解：x−1x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1=x9−1，理由：
x−1x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1，
=x9−x8+x8−x7+x7−x6+x6−x5+x5−x4+x4−x3+x3−x2+x2−x+x−1
=x9−1．
故答案为：x9−1．
（2）解：∵x−1x+1=x2−1；
x−1x2+x+1=x3−1；
x−1x3+x2+x+1=x4−1；
……，
x−1x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1=x9−1
∴根据规律可得：x−1(xn+xn−1+⋅⋅⋅+x+1)=xn+1−1．
故答案为：xn+1−1．
（3）解：∵x−1(xn+xn−1+⋅⋅⋅+x+1)=xn+1−1，
∴1+2+22+23+24+⋅⋅⋅+262+263
=263+262+⋅⋅⋅+24+23+22+2+1
=2−1263+262+⋅⋅⋅+24+23+22+2+1
=264−1．
8．（1）4415，验证过程见解析；（2）aaa2−1，验证过程见解析；（3）a3aa3−1；验证过程见解析.
【分析】（1）利用已知，观察2+23=83=22×23=223，3+38=278=32×28=338，可得4+415的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．
【详解】解答：解：（1）4+415=4415，
理由是：4+415=6415=42×415= 4415；
（2）由（1）中的规律可知3＝22−1，8＝32−1，15＝42−1，
∴a+aa2−1=aaa2−1，
验证：a+aa2−1=a3a2−1=aaa2−1；
正确；
（3）3a+aa3−1=a3aa3−1（a为任意自然数，且a≥2），
验证：3a+aa3−1=3a4−a+aa3−1=a3aa3−1
【点睛】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
9．（1） c，−mc；（2）5，45；（3）x1=5,x2=−35
【分析】（1）根据x−1x=c−1c的解是x1=c，x2=−1c可以猜想得到方程的解；
（2）把x+4x=545变为x+4x=5+45，即可利用阅读材料中提供的方法得到解答；
（3）把题中方程变形为x−3x=225=5−35，再由（1）的结论可以得到问题解答．
【详解】（1）∵x=c时，方程左边=c−mc=方程右边；
x=−mc时，方程左边= −mc−m÷−mc=−mc+c=c−mc=方程右边，
所以方程的解为：x1=c,x2=−mc；
（2）由阅读材料类推可以得到：
x+4x=c+4c的解是 x1=c，x2=4c，且 x+4x=545=5+45，
∴c=5，∴所求方程的解为：x1=5，x2=45；
3∵x−3x=225=5−35，∴在 x−mx=c−mc中，c=5，m=3，
∴由（1）的结论可得：x1=5，x2=−35．
【点睛】本题考查观察、类比、猜想与证明在分式方程求解中的应用，通过阅读材料归纳出如题所示的特殊分式方程的解法并加以应用是解题关键．
10．(1)①x1＝x2＝1； ②x1＝1，x2＝2； ③x1＝1，x2＝3；
(2)x1＝1，x2＝8，验证见解析；
(3)x1=1，x2=m．
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）利用配方法解方程x2−9x+8=0可判断猜想结论的正确；
（3）根据前面发现的规律即可完成此问．
【详解】（1）解：①x2−2x+1=0，
（x−1）2=0，
解得x1=x2=1，
即方程x2−2x+1=0的解为x1=x2=1；
②x2−3x+2=0，
（x−1）（x−2）=0，
解得x1＝1，x2＝2，
即方程x2−3x+2=0的解为x1＝1，x2＝2；
③x2−4x+3=0，
（x−1）（x−3）=0，
解得x1＝1，x2＝3，
即方程x2−4x+3=0的解为x1＝1，x2＝3，
故答案为：①x1＝x2＝1； ②x1＝1，x2＝2； ③x1＝1，x2＝3；
（2）解：x2−9x+922=−8+922，
（x−92）2＝494，
x−92=±72，
∴x1＝1，x2＝8；
故答案为：x1＝1，x2＝8；
（3）解：x2−1+mx+m=0，
（x−1）（x−m）=0，
x1=1，x2=m．
故答案为：x1=1，x2=m．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，也考查了因式分解法-十字相乘法解一元二次方程．
11．(1)x=4
(2)x=a
(3)①见解析；②x=a+2
【分析】本题考查了方程的解，（1）根据题干方程与方程解的规律即可得到该方程的解，（2）根据题干的规律，可以推导出该方程的解；（3）①用代入检验法检验第二问的猜想；②根据结论推导出的是x−1的值，移项即可得到x的值.
【小题1】解：根据题干可知：
关于x的方程x3+x=43+4的解为：x=4；
故答案为：x=4.
【小题2】解：关于x的方程x3+x=a3+a的解为：x=a；
故答案为：x=a.
【小题3】解：①把x=a代入等式的左边，
得a3+a，
左边=右边，
∴x3+x=a3+a的解为x=a；
则第（2）问得证．
②由题意知，
x−1=a+1，
∴x=a+2；
故答案为：x=a+2．
12．(1)10+15=25=52
(2)nn+12+n+1n+22=n+12，证明见解析
(3)2025可以看作990和1035这两个相邻“三角数”之和
【分析】本题考查规律题的探究，找到规律是解题的关键．
（1）根据等式规律，即可解答；
（2）根据题意，分别进行化简，最后判定是否相等，即可解答．
（3）根据题意列出方程(n+1)2=2025，求出n的值，再代入三角形数公式，即可解答．
【详解】（1）解：根据规律，可得
第④个等式为：10+15=25=52
（2）nn+12+n+1n+22=n+12，证明如下：
∵左边=nn+12+n+1n+22
=n2+n+n2+2n+n+22
=n2+2n+1
=n+12=右边；
∴nn+12+n+1n+22=n+12．
（3）由（2）得
(n+1)2=2025
解得n1=44,n2=−46（不合题意，舍去）
∴nn+12=44×452=990,n+1(n+2)2=45×462=1035．
∴2025可以看作990和1035这两个相邻“三角数”之和．
13．(1)x2−4x−5=0；−1；5
(2)第n个方程为x2−nx−n+1=0，方程的根为x1=−1，x2=n+1，证明见解析
【分析】本题为规律探究题，先观察已知方程的系数、常数项与方程序号的关系，归纳得到规律，写出对应方程和根，再利用一元二次方程的求根公式验证猜想结论即可．
【详解】（1）解：观察已知表格中的规律可得：第4个方程为x2−4x−5=0，根为x1=−1，x2=5；
（2）解：猜想可得第n（n为正整数）个方程为x2−nx−n+1=0，根为x1=−1，x2=n+1，
证明：x2−nx−n+1=0
判别式Δ=−n2−4×1×−n+1=n2+4n+4=n+22，
∴x=−−n±n+222×1=n±n+22，
∴x1=n−n+22=−1，x2=n+n+22=n+1．
14．(1)当a≠b时，a+b2>ab，当a=b时，a+b2=ab，证明见详解
(2)①P(2+3,2−3)或P(2−3,2+3)；②是，2
【分析】（1）先求出a+b22−ab2，结合a>0，b>0，分a≠b和a=b两种情况分别解答即可．
（2）①设Pa,1a，因为PM∥y轴交y=−x于点M，所以M为(a,−a)，则PM=1a−(−a)=1a+a，由PM=4可得1a+a=4，整理得到a2−4a+1=0，利用求根公式求出a=2±3，又因为a>0，所以均符合，进而得到点P的坐标．
②根据（1）中结论得PM=1a+a≥2a×1a=2，当且仅当a=1时取等号，即可求解．
【详解】（1）解：当a≠b时，a+b2>ab，当a=b时，a+b2=ab
证明：a+b22=a2+b2+2ab4，ab2=ab，
a+b22−ab2
=a2+b2+2ab4−ab
=a2+b2+2ab−4ab4
=a2+b2−2ab4
=a−b24，
∵a>0，b>0，
∴a+b2>0，ab>0，
当a≠b时，a−b24>0，
∴a+b22−ab2>0，a+b22>ab2，
∴a+b2>ab．
当a=b时，a−b24=0，
则a+b2=ab．
（2）解：①设Pa,1a，则M为(a,−a)，
∴PM=1a−(−a)=1a+a，
∵PM=4，
∴1a+a=4，
整理得到a2−4a+1=0，
解得：a=4±16−42=2±3，
∴P(2+3,2−3)或P(2−3,2+3)．
②根据①可得PM=1a+a，
由（1）的结论得PM=1a+a≥2a×1a=2，
当1a=a，则a2=1，解得a=1或−1（舍去），
当且仅当a=1时取等号，所以PM 有最小值，最小值是2．
【点睛】该题考查了二次根式的性质，完全平方公式，解分式方程，解一元二次方程，一次函数几何综合等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
15．(1)画图见解析，第4个正方形上有16个整点
(2)第20个正方形的四条边上的整点个数为80个
(3)点−4,3在第7个正方形边上；−2n,2n在第4n个正方形边上
【分析】（1）观察图形，分别计算出各边上的整点数的和，
（2）根据分析可以发现第n个正方形的整点有4n个，据此规律进行解答即可．
（3）通过观察前3个正方形上的整点，得出核心结论，计算该点横、纵坐标的绝对值之和即可解答．
【详解】（1）解：画出由里向外的第4个正方形如图所示，

解：第1个正方形有4×1=4个整点；
第2个正方形有4×2=8个整点；
第3个正方形有4×3=12个整点；
第4个正方形上有4×4=16个整点；
（2）解：第1个正方形有4×1=4个整点；
第2个正方形有4×2=8个整点；
第3个正方形有4×3=12个整点；
…
第n个正方形有4n个整点；
所以第20个正方形有4×20=80个整点．
（3）观察第1个正方形上的点，(1,0)、(0,1)，横纵坐标绝对值之和 |1|+|0|=1，|0|+|1|=1．
观察第2个正方形上的点，如(2,0)、(1,1)，横纵坐标绝对值之和|2|+|0|=2，|1|+|1|=2．
观察第3个正方形上的点，如(3,0)、(2,1)，横纵坐标绝对值之和|3|+|0|=3，|2|+|1|=3．
结论：若点(x,y)在第k个正方形的边上，则|x|+|y|=k．
计算点(−4,3)：
横坐标x=−4，纵坐标y=3．
计算绝对值之和：|−4|+|3|=4+3=7．
所以点(−4,3)在第7个正方形的边上．
计算点(−2n,2n)：
横坐标x=−2n，纵坐标y=2n（n为正整数）．
计算绝对值之和：|−2n|+|2n|=2n+2n=4n．
∴点−4,3在第7个正方形边上；−2n,2n在第4n个正方形边上．
16．(1)a2+a4+a6+a8+a10=88，猜想a2+a4+⋯+a2k=a2k+1−1
(2)不赞同小明的想法，理由见解析；更好的证明方法见解析
(3)①a1+a3+⋯+a2k−1=a2k；②2178308
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
（1）先求出a10=55，a11=89，再举一个例子为a2+a4+a6+a8+a10=88，然后猜想a2+a4+⋯+a2k=a2k+1−1即可得；
（2）数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明，枚举法只能验证有限个例，不能保证对所有正整数k成立，则不赞同小明的想法．更好的证明方法：先求出a3=a1+a2，a5=a3+a4，⋯，a2k+1=a2k−1+a2kk≥1，再将这些式子的左右两边相加，化简即可得证；
（3）①先求出a4=a2+a3，a6=a4+a5，⋯，a2k=a2k−2+a2k−1k≥2，再将这些式子的左右两边相加，化简即可得；
②参考上面的结论，可求出a2+a4+a6+⋯+a30和a1+a3+⋯+a29的值，再代入计算即可得．
【详解】（1）解：由题意得：a10=a8+a9=21+34=55，
a11=a9+a10=34+55=89，
所以再举一个例子为a2+a4+a6+a8+a10=33+55=88，
观察可知：a2+a4=1+3=4=a5−1，
a2+a4+a6=12=a7−1，
a2+a4+a6+a8=33=a9−1，
a2+a4+a6+a8+a10=88=a11−1，
所以猜想a2+a4+⋯+a2k=a2k+1−1．
（2）解：不赞同小明的想法（多举例子就能证实猜想成立）．理由：数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明，枚举法只能验证有限个例，不能保证对所有正整数k成立．更好的证明方法如下：
∵a3=a1+a2，
a5=a3+a4，
a7=a5+a6，
⋮
a2k+1=a2k−1+a2kk≥1，
∴a3+a5+a7+⋯+a2k−1+a2k+1=a1+a2+a3+a4+a5+a6+⋯+a2k−1+a2k，
∴a2k+1=a1+a2+a4+a6+⋯+a2k，
∴a2+a4+a6+⋯+a2k=a2k+1−a1=a2k+1−1．
（3）解：①a1+a3+⋯+a2k−1=a2k，证明如下：
∵a4=a2+a3，
a6=a4+a5，
a8=a6+a7，
⋮
a2k=a2k−2+a2k−1k≥2，
∴a4+a6+a8+⋯+a2k=a2+a3+a4+a5+a6+a7+⋯+a2k−2+a2k−1，
∴a2k=a2+a3+a5+a7+⋯+a2k−1，
∵a1=a2=1，
∴a1+a3+⋯+a2k−1=a2k．
②∵a30=832040,a31=1346269，
∴a2+a4+a6+⋯+a30=a31−1=1346269−1=1346268，
a1+a3+⋯+a29=a30=832040，
∴a1+a2+a3+⋯+a30=1346268+832040=2178308．
17．探究一：（3）7；（4）2n−3探究二：（1）4；（2）3n−8探究三： 4n−15归纳结论：na−a2+1问题解决：476
【分析】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题是关键．
探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果；
（4）结合（3）即可得到结果；
探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果；
（2）结合以上（1），总结规律，即可得结果；
探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果；
问题解决：根据以上结论即可得到答案．
【详解】解：探究一：
（3）
根据表格可得3,4,5,6,7,8,9共有7种不同的结果，
故答案为：7；
（4）由以上知，取两个整数最小值为1+2=3，最大值为n+n−1=2n−1，
在最小值和最大值之间的数值都有可能，所以为2n−1−3+1=2n−3，
故答案为：(2n−3)；
探究二：
（1）所出现情况的和的最小值为1+2+3=6，最大值为2+3+4=9，
则共可以出现情况为9−6+1=4（种），
故答案为：4；
（2）所出现情况的和的最小值为1+2+3=6，最大值为n−2+n−1+n=3n−3，
则共可以出现情况为3n−3−6+1=(3n−8)种，
故答案为：(3n−8)；
探究三：
所出现情况的和的最小值为1+2+3+4=10，最大值为n−3+n−2+n−1+n=4n−6，
则共可以出现情况为4n−6−10+1=(4n−15)种，
故答案为：(4n−15)；
归纳总结：
所出现情况的和的最小值为1+2+3+⋯+a=a1+a2，最大值为n−a−1+n−a−2+⋯+n−1+n=na−1+a−1a−12，
则共可以出现情况为na−1+a−1a−12−a1+a2+1=(na−a2+1)种，
故答案为：(na−a2+1)；
问题解决：
所出现情况的和的最小值为1+2+3+4+5=15，最大值为96+97+98+99+100=490，
则共可以出现情况为490−15+1=476（种），
故答案为：476．
18．（1）180°；（2）详见解析；（3）垂直，理由详见解析
【分析】（1）根据四边形内角和360度解题；
（2）根据角平分线性质解题；
（3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度解题即可．
【详解】解：（1）①由四边形内角的性质，得∠OBC+∠ODC=180°；
（2）∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD=∠CBD，
∵∠BOD=∠C=90°，
∴∠ODB=∠CDB，
∴BD平分∠ODC；
（3）∵∠ODC+∠OBC=180°
∠CBM+∠OBC=180°，
∴∠CBM=∠ODC，
∴12∠CBM=∠EBG=12∠ODC=∠EDC．
∵∠BEG=∠DEC，
∴180°−∠EBC−∠BEG=180°−∠EDC−∠DEC，
∴∠BGE=∠DCE=90°，
∴DE垂直BF．
【点睛】本题考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识，是常见基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．（1）1，0；画图见解析，猜想：点P在一条直线上运动；（2）证明见解析；（3）△BDC周长的最小值为22+26，此时B点的坐标52,52
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，一次函数的图象与性质，画一次函数的图象，求一次函数的解析式，线段的最值问题，熟练掌握一次函数的图象与性质及线段的最值问题是关键．
（1）把a=1，2代入−a+2可求出点P4，P5纵坐标，再把各点描出来，可得点P的位置变化规律；
（2）由x+y即可求证；
（3）由轴对称可得B3−m,m+2，令3−m=x，m+2=y，则点B的坐标为x,y，可得y=−x+5，即得点B在直线y=−x+5上运动，设直线y=−x+5与x轴相交于点E，与y轴相交于点F，可得E5,0，F0,5，得∠OFE=45°，由勾股定理得CD=22，过点F作FD′⊥y轴，且FD′=FD，可得∠DFB=∠D′FB=45°，即得点D与点D′关于直线y=−x+5对称，得到DB=D′B，即得D′3,5，进而得直线CD′的表达式为y=5x−10，由C△BCD=CD+DB+BC=22+DB+BC=22+D′B+BC可知当D′、B、C三点共线时，D′B+BC取到最小值，即为线段CD′的长度，利用勾股定理求出CD′的长即得△BDC周长的最小值，最后联立直线EF、CD′表达式可求出点B的坐标．
【详解】解：（1）如图1，P4，P5即为所求；
猜想：通过列表和描点，点P的位置规律：点P在一条直线上运动，
答：点P在一条直线上运动；
故答案为：1，0，点P在一条直线上运动；
（2）x=a+1①y=−a+2②，
①+②得x+y=3，即y=−x+3，
∴P在直线y=−x+3上；
（3）∵点B、点A关于x轴对称，点A的坐标为3−m,−m−2，
∴B3−m,m+2，设点B的坐标为x,y，
令x=3−m，y=m+2，则 x+y=5，即y=−x+5．
∴点B在直线y=−x+5上运动，
设直线y=−x+5交x，y轴于点E，F，
∴OE=OF=5，
∵OC=OD=2，
∴D0,2，C2,0，CD=2OC=22，
∴CD所在直线表达式为y=−x+2，
如图2，过点F作 FD′⊥y轴，且FD′=FD，
∴∠DFB=∠D′FB=45°，
∴点D与点D′关于y=−x+5对称，
将D′3,5，C2,0代入直线表达式y=kx+b，
得CD′所在直线表达式为y=5x−10，
∴△BDC的周长=CD+DB+BC=22+DB+BC=22+D′B+BC，
当D′、B、C三点共线时，D′B+BC取到最小值，
联立EF，CD′表达式，y=5x−10y=−x+5，得交点坐标为52,52，
∵D′B+BC的最小值为：(3−2)2+(5−0)2=26，
∴△BDC的周长最小值为22+26，此时点B的坐标为52,52．
20．(1)不是，不是
(2)332
(3)M0,−4，点N横坐标的最大值为2
【分析】（1）根据“垂动点函数”定义判断即可；
（2）首先证明△PAO∽△OBP′，再根据S△PAO=12⋅PA⋅OA=38可求出点P 的坐标，从而求出P′即可求面积；
（3）设点P坐标为（a，−14a2），点Q坐标为（b，−14b2），根据△AOP∽△BQO得出ab=−16，由S梯形ABQP=S梯形APMO+S梯形BQMO可求M坐标，再表示直线PQ解析式，根据ON⊥PQ，表示直线ON解析式，两直线联立，可表示点N的横坐标，根据完全平方的非负性可求出点N横坐标最大值．
【详解】（1）解：（1）不是；
（2）不是．
（2）解：由图可知PA⊥y轴，P′B⊥y轴，
∴∠POP′=90°，
∵∠POA+∠P′OB=90°，∠POA+∠OPA=90° ，
∴∠OPA=∠P′OB ，
∵∠PAO=∠OBP′=90° ，
∴△PAO∽△OBP′ ，
∴APAO=OBBP′ ，
设点P 坐标为（x,x+1），
则S△PAO=12⋅PA⋅OA=38，
∴12(−x)⋅(−x−1)=38 ，
解得x1=−32，x2=12（舍），
∴点P坐标为（−32，−12），
则APAO=OBBP′=3，
设点P′坐标为（m，m+1），
则−mm+1=3解得m=−34，
则m+1=14，
∴S△P′BO=12×34×14=332．
（3）解：设点P坐标为（a，−14a2），点Q坐标为（b，−14b2），
则OA=−a，OB=b，AP=14a2，BQ=14b2，
由（2）可知△AOP∽△BQO，
则OABQ=APOB，
∴−a14b2=14a2b解得ab=−16，
由题意可知S梯形ABQP=12(BQ+AP)⋅AB =12(14a2+14b2)(b−a)
S梯形ABQP=S梯形APMO+S梯形BQMO =12(−a)(OM+14a2)+12b(OM+14b2)
∴12(14a2+14b2)(b−a) =12(−a)(OM+14a2)+12b(OM+14b2)
整理得ab(a−b)=−4OM(a−b)
∵a≠b
∴OM=−14ab ，
∴OM=−14ab=14×16=4 ，
点M坐标为（0，-4），
∵kPQ=−14a2+14b2a−b=−14(a+b) ，
∴直线PQ解析式为：y=−14(a+b)x−4 ，
∵ON⊥PQ，
∴kON=4a+b ，
∴直线ON解析式为y=4a+bx，
∵点N是直线PQ与ON的交点，
∴−14(a+b)x−4=4a+bx，
∴(4a+b+a+b4)x=−4 ，
∴x=−4[4(a+b)16+(a+b)2]，
当(4+a+b)2≥0时，
∴16+(a+b)2≥−8(a+b)，
∴4(a+b)16+(a+b)2≥−12，
则−4[4(a+b)16+(a+b)2]≤2，
当[4−(a+b)]2≥0时，
∴16+(a+b)2≥8(a+b)，
∴4(a+b)16+(a+b)2≤12，
∴−4[4(a+b)16+(a+b)2]≥−2，
∵a0，a+b