有关圆的综合题高频考点预测练(含答案)-中考数学二轮复习备考

这是一份有关圆的综合题高频考点预测练(含答案)-中考数学二轮复习备考，共7页。试卷主要包含了如图，是的直径，弦与相交于点，如图，点为的外接圆上的一动点，等内容，欢迎下载使用。

(1)求证：；
(2)探究的值是否为一个定值？若是，求出这个定值若不是，请说明理由．
(提示：将、、转化到同一个三角形中)
2．如图，是的直径，弦与相交于点．过点作，交的延长线于点．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径．
3．如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接并延长，交于点，若．求的值．
4．如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点．
(1)求证：．
(2)如图2，若，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，已知，，求的长．
5．如图，点为的外接圆上的一动点（点不在上，且不与点，重合），．
(1)求的度数．
(2)过点A作，交延长线于点E，求证：是的切线．
(3)是否存在常数，使存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
6．如图①，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D，连接并延长，交于点H，交的延长线于点．
(1)求证：为的切线．
(2)如图②，记（1）中的切点为E，连接，．求证：．
(3)若的半径为3，，求的长．
7．如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接．
(1)设的半径为，若，求线段的长；
(2)如图，连接，，设与交于点．
①求证：为中点；
②若，求证：．
8．四边形 内接于，且，连接对角线， 相交于点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图1，过点的直线交的延长线于点，且．求证：是的切线；
(3)如图2，点在线段上，连接交于点．若，求证：．
9．已知是的直径，是的弦，是弧的中点（如图），弦与交于点．
(1)连结，求证：．
(2)求证：．
(3)当时，求的正弦值．
10．如图，已知 内接于，点D在上，连接交于点 ，连接 ， ；
(1)如图1，求证∶ ；
(2)如图2，点F在上，连接交于点G，交于点H，若，求证∶ ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若， ，求的半径．
11．如图1，是的外接圆，为直径，点是外一点，且，连接交于点，交于点，延长交于点，连接．
(1)证明：；
(2)若，证明：是的切线；
(3)在（2）的条件下，连接交于点，连接，若的半径为3，求的长．
12．如图已知：在中，直径，垂足为E，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点B作的垂线交于点G，交于点F，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，点J为上一点，连接、，延长交于点H，，，当时，求的长．
13．如图，内接于，，点D是延长线上的点，是的切线，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．如图， 是的直径， 是的切线，切点为B，连接，过点C作 交于点A，连接．
(1)求证： 是的切线；
(2)若 的半径为6，求的长．
15．如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
(3)如图，连接，若的半径为，弦，设，求的长，并直接写出与之间的函数关系式和的最大值．
参考答案
1．（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：是定值，定值为，理由如下：
延长到点，使得，连接，如图，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
由（1）知，
在和中，，
∴，
∴，，
∵是的直径，
∴，，即，
∴，
又∵平分，
∴，
由得，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
2．（1）解：为的切线，理由如下：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
即的半径为．
3．（1）解：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图，连接、，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
在中，，
，
，
．
4．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键．
（1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；；
（2）根据题意证得，再证得即可得到结论；
（3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长．
【详解】（1）解：连接，
∵为的直径，弦，
∴，
∴，
∴
∵
∴
（2），
，
（3）连接，
，
，
，
∴，设，
解得：

5．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查“切线的判定”“圆周角定理”“圆内接四边形的性质定理”，构造合适的辅助线和全等三角形，从而建立题目中各线段、角度之间的联系是解题关键．
（1）利用同弧所对角相等，推出的度数，再通过三角形内角和计算即可；
（2）已知半径证垂直，连半径，借助平行的条件，通过证明得到即可；
（3）通过在所在直线上构造与相等的线段，建立与相关联的线段，再通过全等三角形，找到角度或线段关系，从而得到该线段与的关系即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1），得，，
∴为直径，为等腰直角三角形，
∴点为的中点，，
又∵，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：如图，在的延长线上截取，连接，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴存在常数m，．
6．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点O作于点E，证明，得出，说明是的半径，即可得出答案；
（2）连接，根据切线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明两个三角形相似；
（3）根据切线的性质和切线长定理得出，，根据勾股定理得出，根据三角函数定义得出，证明，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据求出结果即可．
【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则，
与相切于点D，
∴，
∴，
为等腰三角形，
∴，
又O是底边的中点，
∴，
∴，
，即是的半径．
为的切线．
（2）证明：如图，连接，
与相切于点E，
∴，
∴，
为的直径，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图．，为的切线，切点分别为D，E，
∴，，
的半径为3，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
7．(1)；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】（1）过点作于点，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）①连接，过点作，交于点，利用三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
②连接，，过点作于点，通过等量代换和三线合一推出，再利用圆周角定理，正方形的判定与性质得到为的垂直平分线，即，最后运用等量代换求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如图，
∵点是半径的中点，的半径为，
∴，，，
∴．
∵，，，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴；
（2）①证明：连接，过点作，交于点，如图，
∵，点是半径的中点，
∴，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵，为的两条直径，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴为中点；
②证明：连接，，过点作于点，如图，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∵点是半径的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴．
∵，为的两条直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，平分，即为的垂直平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等，添加适当的辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．
8．(1)的度数为
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，再由即可求解；
（2）连接，，延长交于点，连接，可证明，利用即可证明结论；
（3）过点作，可证，可得，再由平行可得即可证明结论．
【详解】（1）解：∵四边形 内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接，，延长交于点，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（3）证明：如图，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的性质，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键．
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查圆的性质、相似三角形判定与性质、等腰三角形性质及三角函数计算，需结合圆的弧、直径性质，利用平行、相似、角度关系逐步推导．
（1）要证，需结合“弧中点”的性质（弧中点与弦的垂线关系）和“直径所对圆周角为直角”的性质，通过证明同位角（或内错角）相等，推导两直线平行；
（2）要证，先利用小问（1）的推导，再结合相似三角形的边长比例，将转化为，最后结合的定义完成推导；
（3）已知，需结合圆的弧中点性质推导等腰三角形，再通过设角度、利用相似三角形的比例关系，结合三角形内角和定理求出角度，最终计算的正弦值．
【详解】（1）证明：如图，
是弧的中点，
，
，
又是的直径，
，
；
（2）证明：，
，
；
（3）解：如图，连接、，
，
，
，
，
是弧的中点，
，
，
，
是等腰三角形，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
在中，，
，
则，
设，，则，
则，
解得：，（舍去），
．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)的半径为
【分析】（1）延长，交于点F，连接，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，结合平行线的判定，证明，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据平行线的性质得出，即可得出结论；
（2）连接，，根据垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，证明，根据等角对等边得出，根据等腰三角形“三线合一”，得出；
（3）延长，交于点M，连接，，证明，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，得出，根据，得出，根据勾股定理得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）证明：延长，交于点F，连接，，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：连接，，如图所示：
根据解析（1）可得：，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长，交于点M，连接，，如图所示：
根据解析（1）可得：，
∴，
根据解析（2）可得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
11．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的逆定理得为线段的垂直平分线，再根据垂径定理证明 ；
（2）设，根据得，设的半径得，在中，根据得，进而得，在中，由勾股定理计算，进而得，，，易得，从而，进而证明是的切线；
（3）过点作于点，过点作于点，连接，，由得，、、，进而得，易得，进而由
得，由四边形是矩形得，由得，计算得，在中，由勾股定理得，得，在中，根据勾股定理计算．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，，
为线段的垂直平分线，
，
又是的直径，
；
（2）证明：在中，，
，
设，则，设的半径，则
在中，，
，
解得，
又 ，
在中，，
，，，
，
，即，
又是的半径，
是的切线；
（3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，，
，
的半径，
，，
由（2）知，
，，，
由（2）得，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可求证；
（2）证明，可得，即可求证；
（3）过点B作，交于点W，证明，可得，，设，则，，，再证明，可证明，可得，设，，，，根据，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：，，
，
又，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图，过点B作，交于点W，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得．又，故为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，证得；
（2）过点作于，在中，由，设，，代入勾股定理，解得．在中，，进而即可求解．
【详解】（1）解：连接，如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：过点作于点F，如下图，
∵，，，
∴在中，，
∴设，
∴
解得或（舍去），
∵，
∴在中，．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线；
（2）连接交于点，设，根据勾股定理，得，再利用三角形的面积，勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
又因为是半径，
是的切线；
（2）解：连接交于点，
的半径为6，
，
，
，
，
垂直平分，
，
设，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
．
15．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先由结合三角形内角和定理，求出和的和，再通过角平分线的性质，借助圆周角定理将转化为，进而求得；
（2）先通过角平分线、外角性质和圆周角定理得，再利用相似三角形的比例关系设未知数列方程，求解得出；
（3）先根据角平分线与垂直平分线性质，结合勾股定理算出的长，再通过垂径定理与勾股定理建立与的函数关系，最后根据二次函数性质求出的最大值．
【详解】（1）解：平分，平分，，
，
，
，
，
．
答：．
（2）解：平分，平分，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，则．
答：．
（3）解：如下图，连接，，，过点作，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
由（2）可得，当平分，平分时，，
，
在中，，
在中，，
，即，
，，
，
即，
，
，
的最大值为．
答：，．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，灵活运用圆周角定理是解题关键．