初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）定义、命题、定理达标测试

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）定义、命题、定理达标测试，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．甲，乙，丙共人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为，，．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（ ）
A．第二名，第三名的总分之和为分或分
B．第二名的总分可能超过分
C．第三名的总分共有种情形
D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名
2．下列命题中的假命题是（ ）
A．的算术平方根是2B．65720可以用科学记数法表示为
C．方程组可化为D．若在的北偏东方向，则在的南偏西方向
3．在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法：
存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等；
总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为；
对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．下列命题中，①相等的角是对顶角，②，，则，③如果，则；④如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点．其中共有几个真命题（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．下列说法正确的是（ ）
A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题
C．假命题没有逆命题D．真命题的逆命题是真命题
6．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．﹣1的平方根是1B．4是16的一个平方根
C．（﹣4）2的平方根是﹣4D．64的立方根是±4
7．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行
D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
9．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②邻补角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中，真命题的个数是( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．下列命题中的假命题是（ ）
A．两个无理数的和仍是无理数B．实数与数轴上的点一一对应
C．两直线平行内错角相等D．同位角相等两直线平行
11．有下列命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；算术平方根等于它本身的数是；如果点到两坐标轴的距离相等，则；若，则；若，则其中假命题的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
12．下面语句是命题的是（ ）
A．是有理数B．已知，求
C．作的角平分线D．正数大于一切负数吗？
二、填空题
13．将“负数没有平方根”改写为“如果……那么……”的形式，可写为______．
14．将“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式____________________，
将“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式____________________．
15．15只鹦鹉和15只八哥关在10个笼子里，每个笼子三只鸟，鹦鹉说真话，八哥说假话，问“笼子里面有八哥吗”，有21只鸟回答没有，则只有鹦鹉的笼子有________个．
16．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是______．
17．举例说明命题“如果，那么”的逆命题为假命题__．
三、解答题
18．某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式﹣x2+2x+3的性质”时，进行了如下活动．
【试验操作】取不同的x的值，计算代数式﹣x2+2x+3的值．
(1)补充完整下列表格：
(2)【观察猜想】实验小组组员观察表格，提出以下猜想：同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式﹣x2+2x+3的值一定不大于4”．请你也提出一个合理的猜想 ；
(3)【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也有可能是错误的，请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以证明．
19．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
(1)写出命题的题设和结论；
(2)画出符合命题的几何图形；
(3)用几何语言叙述这个命题；
(4)说明这个命题是真命题的理由．
20．观察下列整式的次数和项数，找出它们的共同特征，给以名称，并作出定义．
，，，．
21．【问题提出】
甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略．
【问题探究】
（1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律：
结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
（2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）．
当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略．
当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态．
结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
（3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
【问题解决】
当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？
【问题拓展】
若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜．
22．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：
试按照以上步骤证明：对顶角相等．
23．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题．
(1)互为相反数的两个数的和为零；
(2)同旁内角互补．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
﹣x2+2x+3
…
0
3
4


…
石子总数（n）
1
2
3
4
5
6
7
先手是否有必胜的策略
是
是
否
《7.3定义、命题、定理》参考答案
1．C
【分析】本题考查了逻辑推理与论证，分类讨论是解答本题的关键．
根据甲的得分情况分类，然后列出第二名和第三名可能的得分情况，最后判断各个选项的正确性即可．
【详解】解：人的总得分为（分），
依题意，甲的得分为，，或，，，
当甲得分为，，时，第二名、第三名的总分之和为分，
甲得分为，，时，第二名、第三名的总分之和为分，A正确；
甲得分为，，时，第二名得分有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分，第三名得分对应有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分；
甲得分为，，时，第二名得分有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分，第三名得分对应有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分，
B，D正确，第三名的总分共有种情形，C错误，
故选：C．
2．C
【分析】根据算术平方根的定义、科学记数法的表示方法、等式的性质和方向角的定义判断即可．
【详解】解：A、的算术平方根是2，故本选项命题是真命题，不符合题意；
B、65720 可以用科学记数法表示为6.572×104，故本选项命题是真命题，不符合题意；
C、方程组可化为，故本选项命题是假命题，符合题意；
D、若A在B的北偏东40°方向，则B在A的南偏西40°方向，故本选项命题是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．B
【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例跟反例．
【详解】解：题目中说存在着一个式子第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等，
举出正例：选择进行“加括号操作”得到，
与原多项式相等，故说法正确；
总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为，
∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的，
∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去的，
∴存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是错误的；
对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果，
举出反例：选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
结果大于四种，故说法错误；
故选：．
4．B
【分析】由对顶角相等，相等的角不一定是对顶角判断①；由平行线的传递性判断②；由互为相反数的两个数，绝对值相等判断③；由垂直平分线的性质可判断④；
【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①是假命题；
②如果，，那么，是真命题；
③如果，那么是真命题；
④如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的垂直平分线上，故④是假命题；
真命题是②③，共有两个；
故选：B
【点睛】本题考查了命题和定理，解题的关键是掌握教材上的相关定理和概念．
5．B
【分析】利用逆定理、逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、每个定理的逆命题不一定正确，所以不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意；
B、每个命题都有逆命题，此说法正确，符合题意；
C、假命题也有逆命题，此选项说法错误，不符合题意；
D、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意
故选B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大．
6．B
【分析】根据平方根和立方根判断即可．
【详解】解：A、−1没有平方根，原命题是假命题；
B、4是16的一个平方根，是真命题；
C、（−4）2的平方根是±4，原命题是假命题；
D、64的立方根是4，原命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方根和立方根等相关知识，难度不大．
7．B
【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向不变． 根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可．
【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合，
①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；
②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题；
③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；
④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题；
⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；
⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题，
故真命题一共有2个，
故选：B．
8．C
【分析】根据命题的定义进行解题即可；
【详解】解：A.相等的角不一定是对顶角，假命题，故不符合题意；
B.只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角会互补，假命题，故不符合题意；
C.平行于同一条直线的两条直线互相平行，真命题，故符合题意；
D.同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，假命题，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查判断命题的真假，掌握相关知识是解题的关键．
9．C
【分析】根据对顶角、邻补角的定义， 平行线的判定定理，垂线的性质逐个分析判断即可求解．
【详解】解：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，则相等的角不一定是对顶角，故①是假命题；
两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角或两个角有一个公共顶点并且一个角的两条边是另一个叫两条边的反向延长线叫做邻补角，则邻补角互补，故②是真命题；
同位角相等，两直线平行，③是真命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，④是假命题，
故②③是真命题，共2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．
10．A
【分析】根据实数的性质，平行线的判定和性质，一一判断即可．
【详解】解：A、两个无理数的和仍是无理数，是假命题，比如，0是有理数．本选项符合题意．
B、实数与数轴上的点一一对应，是真命题，本选项不符合题意．
C、两直线平行内错角相等，是真命题，本选项不符合题意．
D、同位角相等两直线平行，是真命题，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，判断命题的真假关系是要熟悉课本中的性质定理．
11．C
【分析】根据平行线的性质、平方根、算术平方根、立方根、平面直角坐标系中点坐标等知识逐一判断即可．
【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故是假命题；
算术平方根等于它本身的数是和；故是假命题；
如果点到两坐标轴的距离相等，则或；故是假命题；
若，则；故是假命题；
若，则；故是真命题．
假命题有，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握相关概念和定理．
12．A
【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；
B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．
13．如果一个数是负数，那么这个数没有平方根
【分析】命题由题设和结论组成，题设是条件，结论是由条件推出的结果，再平方根的概念由此即可求解．
【详解】解：条件是“负数”，结论是“没有平方根”，
∴改写为：如果一个数是负数，那么这个数没有平方根，
故答案为：如果一个数是负数，那么这个数没有平方根．
【点睛】本题主要考查命题的改写方法，平方根的概念，掌握命题的题设、结论的概念，平方根的概念是解题的关键．
14． 如图两个角是对顶角，那么这两个角相等 如果两个角相等，那么它们的余角也相等
【分析】根据命题的定义，把命题改写为题设和结论的形式即可．
【详解】根据命题的定义，
将“对顶角相等”改写成：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等
将“等角的余角相等”改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等．
故答案为：如图两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果两个角相等，那么它们的余角也相等．
【点睛】本题考查了命题的条件和结论的叙述，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
15．2
【分析】本题考查了方程的应用，逻辑推理与论证，正确进行推理是解题的关键．依据题意，设类笼个：3只鹦鹉，类笼个：1只八哥只鹦鹉；类笼只八哥只鹦鹉；类笼只八哥，则，且，又21只鸟回答“没有”，从而,再由笼子总数得，代入“回答数”方程：，故，进而可以计算得解．
【详解】解：由题意，设A类笼x个：3只鹦鹉，B类笼y个：1只八哥只鹦鹉；C类笼z个：2只八哥只鹦鹉；D类笼w个：3只八哥，
，且．
又只鸟回答“没有”，
分析每类笼的回答：A类笼只鹦鹉：说真话无八哥，3只均答“没有”，则贡献；
B类笼只八哥2只鹦鹉：八哥说假话答“没有”，鹦鹉说真话答“有”，则贡献y；
C类笼z个：八哥1只鹦鹉：2只八哥说假话答“没有”，鹦鹉说真话答“有”，则贡献；
D类笼只八哥：说假话有八哥，3只均答“没有”，则贡献，
．
由笼子总数得，代入“回答数”方程：，
，
④．
将方程④代入“鹦鹉总数”方程：
．
只有鹦鹉的笼子有2个．
故答案为：
16．同位角相等
【分析】本题考查了命题的概念与组成，熟练掌握命题的构成是解题的关键；
由命题的题设和和结论的定义进行解答．
【详解】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，结论是由已知条件推出的事项，
命题中已知的事项是“同位角相等”，推出的事项是“两直线平行”，
命题的条件为：同位角相等，结论为：两直线平行．
故答案为：同位角相等
17．如果，而（举例不唯一）
【分析】
首先要写出原命题的逆命题，然后通过实例说明逆命题不成立即可．
【详解】
解：如果，那么的逆命题是：如果，那么．
如果，而．
故如果，那么为假命题．
故答案为：如果，而（举例不唯一）．
【点睛】
本题考查逆命题的相关知识，关键是能够写出原命题的逆命题．
18．(1)3,0
(2)当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）
(3)甲的判断不正确，乙的判断正确，反例和证明见解析
【分析】（1）将数值代入计算即可；
（2）填一个从表中数据可以得到的结论，并言之有理即可；
（3）根据表中数据即可举出反例说明甲的判断错误，通过对代数式进行变形，即可得到它的最大值为4，证明乙正确．
【详解】（1）当x=2时，﹣x2+2x+3=3；
当x=3时，﹣x2+2x+3=0；
故答案为：3；0．
（2）当x＞1时，代数式的值随着x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）甲的判断是不正确的，例如当x=2时，﹣x2+2x+3=3＜4；
∴同学甲说：“代数式﹣x2+2x+3的值随着x的增大而增大”是错误的；
乙的判断是正确的，原因如下：
，
由于，
∴，
所以同学乙的判断正确．
【点睛】本题考查了代数式的求值及其变化规律问题，解题关键是能够根据表中数据正确判断代数式值的情况，并能够对代数式进行正确的变形．
19．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，即可得答案；
（2）先画ABCD，再画GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC即可；
（3）根据图形用字母表示叙述即可；
（4）根据平行线的性质得∠BGM=∠CMG，再由GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，可得∠HGM=∠NMG，即可得答案．
【详解】（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行；
（2）如下图所示：
；
（3）如上图，已知ABCD，GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
求证：GHMN；
（4）真命题，理由：
∵ABCD，
∴∠BGM=∠CMG，
又∵GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
∴∠HGM=∠BGM，∠NMG=∠CMG，
∴∠HGM=∠NMG，
∴GHMN．
【点睛】本题考查了命题、作图、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质并灵活运用．
20．见解析
【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可．
【详解】解：是二次三项式；
是二次三项式；
是二次三项式；
是二次三项式；
∴这些整式的共同特征为：最高次数为2，项数都是3，它们都叫做二次三项式；
定义：一个整式的最高次数为2，且含有三个单项式，这样的式子叫做二次三项式．
【点睛】本题主要考查了多项式的项和次数，命题与定义，熟知相关定义是解题的关键：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
21．
问题探究：（1）是，是，否，是，；（2），；（3）
问题解决：先手，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜；
问题拓展：
【分析】本题考查逻辑推理，以及找规律，解题的关键在于根据基础情形逐步扩展到一般情况．
问题探究：（1）分析涉及表格每个数字是否先手有必胜的策略，找到规律即可．
（2）利用（1）中规律求解即可；
（3）利用（1）和（2）中规律求解即可；
问题解决：利用（3）的结论求解即可．
问题拓展：先手第一次取完后，留下是的倍数即可先手必胜．
【详解】解：问题探究：（1）当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜；
当时，先手取2颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜；
当时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，即可后手必胜；
当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜；
∴填写下表并总结规律：
结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
故答案为：是，是，否，是，；
（2）当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略．
当时，先手第一次取1颗，可迫使后手陷入必输状态．
结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
故答案为：，；
（3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，则后手必胜，即后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
故答案为：；
问题解决：∵，
∴选择先手可以必胜，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜．
故答案为：先手；
问题拓展：若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取颗，后面不管后手怎么取都可以保证先手获胜．
故答案为：．
22．见解析
【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可．
【详解】已知：如图，直线AB与相交于点，
求证：．
证明：∵直线AB与相交于点，
∴，
∴，
∴．
23．(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题
(2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题
【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键．
（1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假；
（2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假．
【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；
（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，
反例：如图，和是同旁内角，
但两直线不平行，故和不互补．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
B
B
B
B
B
C
C
A
题号
11
12








答案
C
A








石子总数（n）
1
2
3
4
5
6
7
先手是否有必胜的策略
是
是
否
是
是
否
是