初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）定义、命题、定理课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）定义、命题、定理课后测评，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
B．相等的角是对顶角
C．有理数和数轴上的点一一对应
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
2．下列语句中，属于命题的是（ ）
A．向前走10米B．小华是男生C．你有橡皮吗D．快乐的小鸟
3．六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．下列四个命题：
①在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；
②在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行；
③在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c垂直；
④在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交．其中，真命题有（ ）．
A．4个B．3个C．2个D．1个
5．下列命题中，是真命题的有（ ）
①对顶角相等；②内错角相等；③如果直线，直线，那么；④同旁内角相等，两直线平行
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知：如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为点O，∠1＝∠B，
∠A+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
证明：如图，
∵∠1＝∠B（已知）
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）
______________
∴∠AFC+∠2＝90°（等式性质）
∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠AFC＝∠A（同角或等角的余角相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
请你仔细观察下列序号所代表的内容：
①∴∠AOE＝90°（垂直的定义）
②∴∠AFB＝90°（等量代换）
③∵AF⊥CE（已知）
④∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
⑤∴∠AOE＝∠AFB（两直线平行，同位角相等）
横线处应填写的过程，顺序正确的是（ ）
A．⑤③①②④B．③④①②⑤C．⑤④③①②D．⑤②④
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．两点之间直线最短B．相等的角是对顶角
C．若，则D．若，则且
8．下列说法不正确的是（ ）
A．命题有真命题，也有假命题
B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可
C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理
D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明
9．下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部；
（4）“相等的角是对顶角”是一个真命题；
（5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角；
（6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离．
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
10．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现有四件原料A、B、C、D，每件原料在每道工序所需的时间（单位：小时）如表：
若由一名工匠单独完成四件原料的描金工作，则完成这四件原料的描金工作需要 小时；若由甲、乙两位工匠完成四件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹，则完成这四件原料的描金工作最少需要 小时．
11．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）．
12．说明命题“是正数”是假命题的反例是 ．
13．下列命题是真命题的是 （填序号）
①互为补角的两个角都是锐角；
②相等的角是对顶角；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
14．要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）．
三、解答题
15．下列命题的条件是什么？结论是什么？
(1)两直线平行，同位角相等．
(2)若，，则．
(3)不等式的两边同乘一个负数，不等号方向改变．
16．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的条件和结论．
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)同角的余角相等．
17．命题“内错角相等，两直线平行．”
(1)写出该命题的条件和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明）．
18．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③．
(1)上述问题有哪几个真命题？
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
19．“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示．
(1)园园的画图依据是______；
(2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程；
（已知），
____________
（已知），
____________
等量代换．
(3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由．
20．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程．
证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，
设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．
，
∴_______________．
是一个偶数，
是一个偶数．
∴_______________．
设（k是正整数），
，
_____________，
是一个偶数．
∴_______________．
∴p和q均为偶数．
这与__________________的假设矛盾．
这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，
所以不是有理数．
21．举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题．
《7.3定义、命题、定理》参考答案
1．D
【分析】本题主要考查了命题与定理，有理数，实数与数轴，对顶角，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关定义．根据平行线的判定定理可判断选项A；根据“相等的角不一定是对顶角”可判断选项B；根据“实数与数轴是一一对应关系”可判断选项C；根据“平行线的判定定理”可判断选项D．
【详解】解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意；
C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】根据命题的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、向前走10米，不属于命题，故本选项不符合题意；
B、小华是男生，属于命题，故本选项符合题意；
C、你有橡皮吗，不属于命题，故本选项不符合题意；
D、快乐的小鸟，不属于命题，故本选项不符合题意；
【点睛】本题主要考查了命题的定义，熟练掌判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局．
【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，
所以与D赛过的是A、C、E、F四人；
与C赛过的是B、D、E、F四人；
又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，
所以与A赛过的是D、B、F；
而与B赛过的是A、C、F；
所以F共赛了4局．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查的是真假命题的判定，平面内直线的位置关系，根据平面内直线的位置关系结合举反例逐一分析判断即可．
【详解】解：如图，
∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交，故①是假命题；
在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c平行，那么a与c平行；故②是真命题；
如图，
∴在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b垂直，b与c垂直，那么a与c平行；故③是假命题；
在同一平面内，已知直线a，b，c，如果a与b平行，b与c相交，那么a与c相交；④是真命题；
∴真命题有②④；
故选：C
5．B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据平行线的性质、对顶角、平行线的判定判断即可．
【详解】解：①对顶角相等，是真命题；
②两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
③如果直线，直线，那么，真命题；
④同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题；
故选：B．
6．A
【分析】先证CE∥BF，得∠AOE=∠AFB，由AF⊥CE，得∠AOE=∠AFB=90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2=90°，结合∠A+∠2=90°可以得出∠AFC=∠A，从而得证．
【详解】证明：如图，
∵∠1＝∠B（已知）
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）
⑤∴∠AOE＝∠AFB（两直线平行，同位角相等）
③∵AF⊥CE（已知）
①∴∠AOE＝90°（垂直的定义）
②∴∠AFB＝90°（等量代换）
④∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝90°（等式性质）
∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠AFC＝∠A（同角或等角的余角相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，并灵活运用．
7．D
【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可．
【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意；
、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意；
、若，则，原选项是假命题，不符合题意；
、若，则且，原选项是真命题，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质，真假命题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
8．C
【分析】根据所学命题的相关知识判断选择即可．
【详解】命题有真命题，也有假命题，是正确的，故A不符合题意；
要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可，是正确的，故B不符合题意；
一个定理的逆命题是原定理的逆命题，逆命题不一定正确，即不一定是原定理的逆定理，原说法错误，故C符合题意；
要说明一个命题是真命题，需要进行证明，是正确的，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了命题的分类、命题的证明、命题与定理的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了真假命题，根据平行公理，垂直定义，三角形中线，对等角，邻补角定义，点到直线的距离逐一排除即可，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：（）平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
（）同一平面内，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
（）三角形的三条中线交点必在三角形的内部，原说法正确；
（）“相等的角是对顶角”是一个假命题，原说法错误；
（）邻补角需满足“一边公共，另一边互为反向延长线”，原说法错误；
（）点到直线的距离是垂线段的长度，原说法错误；
综上，错误的命题为（）、（）、（）、（），共个，
故选：．
10． 87 55
【分析】本题主要考查了推理判断，根据单独完成不能重复直接计算即可，再根据描绘花纹的时间都花费，且开始上漆时间最短即可．
【详解】由一名工匠单独完成四件原料的描金工作需要（小时）；甲工人给原料D上漆需要6小时，之后甲工人再给原料C上漆需要9小时，同时乙工人给原料D描绘花纹，接下来甲工人给原来A上漆需要15小时，同时乙工人给原料C描绘花纹，然后甲工人给原料B上漆，同时乙工人给原料A描绘花纹，最后乙工人给原料B描绘花纹需要14小时.共需要（小时）．
故答案为：87，55．
11．①②③④⑤⑦
【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键；
先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可.
【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等.
①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据；
②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据；
③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据；
④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据；
⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据；
⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据；
⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据；
⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据；
⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据；
故答案为：①②③④⑤⑦ ．
12．当时，
【分析】本题考查了判定命题真假的方法，根据时，解答即可；掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键．
【详解】解：当时，，
此时a的平方不是是正数，
命题“是正数”是假命题；
故答案为：当时，．
13．④⑤
【分析】本题考查对顶角、邻补角，余角和补角，垂线，平行公理及推理，平行线的性质，同位角、内错角，同旁内角，关键是掌握对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质．
由对顶角的定义，补角的概念，平行线的性质，平行公理的推理，垂线的性质，即可判断．
【详解】解：①互为补角的两个角的和是，这两个角不可能都是锐角，故①不符合题意；
②相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意；
③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故③不符合题意；
④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故④符合题意；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤符合题意．
命题是真命题的是④⑤．
故答案为：④⑤．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．
【详解】解：由题意可知，当时，满足，但不满足，
故答案为：（答案不唯一）．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了命题的条件和结论；
（1）由命题的题设和结论的定义进行求解即可；
（2）由命题的题设和结论的定义进行求解即可；
（3）由命题的题设和结论的定义进行求解即可；
理解命题的条件和结论是解题的关键．
【详解】（1）解：条件：两直线平行；
结论：同位角相等；
（2）解：条件：，，
结论：；
（3）解：条件：不等式的两边同乘一个负数，
结论：不等号方向改变．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要查了把命题写成“如果……，那么……”的形式，熟练掌握一般的命题都可以改写成“如果…，那么…”的形式，即把命题的题设放在如果后面，把结论放在那么后面，再加以适当的调整即可． 命题是有题设和结论构成．命题都能写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论是解题的关键．
（1）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可；
（2）根据把命题写成“如果……，那么……”的形式的方法解答，即可．
【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行改写成“如果两条直线被第三条直线所截同位角相等，那么两直线平行”，
条件是两条直线被第三条直线所截同位角相等，结论是两直线平行；
（2）解：同角的余角相等改写成如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，
条件是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等
17．(1)条件是：内错角相等，结论是：两直线平行；
(2)见解析．
【分析】（1）一个命题一般包括条件和结论两部分，根据“如果”后面接的是条件，“那么”后而接的结论，即可得解．
（2）根据平行线的性质即可得解．
【详解】（1）该命题的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行；
写成“如果……那么……”的形式为：
如果内错角相等，那么两直线平行；
（2）已知：如图，直线c与直线a，b相交，且．

求证：．
证明：，（已知）
又（对顶角相等）
，（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了命题的基本概念与组成，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
18．(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①
(2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析
【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据三个条件写出真命题即可；
（2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论．
【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是：
命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①．
（2）选择命题1：①②⇒③．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
选取命题2：②③⇒①．
证明: ∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
19．(1)内错角相等，两直线平行
(2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等
(3)错误，见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据内错角相等，两直线平行即可解答；
（2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答；
（3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：由题意可知：，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
（2）证明：（已知），
两直线平行，同位角相等．
（已知），
两直线平行，内错角相等．
等量代换．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等．
（3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题，
已知，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，
两直线平行，内错角相等，
等量代换．
20．；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数
【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论．
【详解】解：完整证明过程如下：
证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，
设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．
，
∴．
是一个偶数，
是一个偶数．
∴q是一个偶数．
设（k是正整数），
，
，
是一个偶数．
∴p是一个偶数．
∴p和q均为偶数．
这与p，q是互质的正整数的假设矛盾．
这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，
所以不是有理数．
21．证明见解析
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【详解】证明：两个不相等的角互为补角，
这两个角一个角大于，一个角小于，
即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题.
【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
原料
时间工序
原料A
原料B
原料C
原料D
上漆
15
8
9
6
描绘花纹
7
14
13
15
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
D
B
D
C
B
A
D
C
C