七年级数学下册试题 第5章《 图形的轴对称》单元自测卷--北师大版（含答案）

这是一份七年级数学下册试题 第5章《 图形的轴对称》单元自测卷--北师大版（含答案），共19页。
第5章《 图形的轴对称》单元自测卷一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．下列图形中，有3条对称轴的是（　　）A．B．C．D．2．下列图形中是轴对称图形且对称轴条数最多的是（    ）A．等腰三角形B．正方形C．正五边形D．圆3．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时∠2= ∠3，且∠1+∠3=90∘，若∠2=57∘，则∠1=（   ）A．57∘B．43∘C．53°D．33∘4．如图，已知线段AB=6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A和点B为圆心，以一定长度m为半径作弧，两弧相交于点C和点D；②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线．下列各数中，m的值可能是（    ）A．2B．2.5C．3D．3.55．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ）A．AD⊥BCB．AC⊥PQC．∠A=∠CD．AC∥BD6．如图，在△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若AD=3cm，DE=1cm，则AC的长为（    ）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm7．如图，P是∠ACB外一点，D，E分别是∠ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，点P关于CB的对称点P2恰好落在ED的延长线上．若PE=3，PD=4，ED=5，则线段P1P2的长为（    ）A．4B．6C．7D．128．如图，图a是一长方形纸带，∠DEF=28°，先将纸带沿EF折叠，得到平面图形如图b，再将纸带位于BF下方部分沿BF折叠，得到平面图形如图c，则图c中的∠CFE的度数为（   ）A．84°B．96°C．108°D．120°9．如图，已知△ABC，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；②以点E为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线BM，与CA延长线父于点P，点D为CP延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（ ）A．∠PBC=2∠ABCB．AF=AMC．CM⊥BPD．S△APB:S△ACB=PB:CB10．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，BC=5，P为BC上一动点，将△ABP，△ACP分别沿AB，AC向外翻折，得到△ABD，△ACE，连接DE，当△ADE 面积的最小值为8时，则△ABC的面积为（    ）A．5B．6C．8D．10二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）11．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线MN，交BC于点D，连接AD．若BC=7，CD=3，则AD的长为_____．12．如图，从枕木AB的端点A往铁轨CD拉两条长度相等的固定绳AC与AD，当固定点C,D到枕木AB的端点B的距离相等，且C,B,D在同一直线上时，枕木AB就垂直于铁轨CD．其依据是______．13．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰到PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰到RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB,BC,CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR=34°，则∠ABP的度数为______．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，△ABC的面积为6，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，连接DE，DF，EF，则DE+EF+FD的最小值是______．三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段AB的端点都是格点．(1)作△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)求出△ABC的面积．16．（8分）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A=40°，AB=AC，求∠F的度数．17．（8分）如图，已知：∠A=∠E，AB=EB，点D在AC边上，且∠ABE=∠CBD．(1)求证：△EBD≌△ABC；(2)如果O为CD中点，∠BDE=65°，求∠OBD的度数．18．（8分）如图，已知：△ABC．(1)用尺规作图作出它的一条角平分线BD（要求清楚保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)在（1）的条件下，BC=5，AB=4，记△BAD，△BCD的面积分别为S△BAD和S△BCD，求S△BADS△BCD的值．19．（8分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证：(1)CD=BE．(2)AB=AC+CD20．（8分）【感知】如图①，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任一点，作PD⊥OA， PE⊥OB．垂足分别为D和E．易知PD=PE；由此可得角平分线的性质定理： ，【探究】如图②， 在△ABC中，AD是它的角平分线． 若AB：AC=7：5．求△ABD与△ACD的面积比；(写出完整的推理过程)【应用】如图③、△ABC的周长是13．BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．OD⊥BC于点D． 若OD=3， 则△ABC的面积为 ．21．（10分）在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OE为折痕，如图1；【操作2】在图1条件下，点F是线段BC上一点，角顶点B沿线段OF折叠，点B落在点B′处，且点B′在长方形内．【任务】(1)在图1中，若∠AOE=35°，求∠A′OB的度数；(2)在操作2中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF的度数；(3)在操作2中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，并说明理由．参考答案一．单项选择题1．A解：选项A有3条对称轴，选项B不是轴对称图形；选项C有6条对称轴；选项D有5条对称轴．故有3条对称轴的是A选项的图形．2．D解：∵等腰三角形有1条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，圆有无数条对称轴．又∵无数条>5条>4条>1条，∴对称轴条数最多的是圆，故选：D．3．D解：∵∠2=57°，∠2=∠3，∴∠3=57°，∵∠1+∠3=90°，∴∠1=90°−∠2=90°−57°=33°．4．D解：根据题意得m>12AB，即m>3，故选项D符合题意．5．A解：∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D，∴AC⊥PQ，∠A=∠C，BD⊥PQ，∴AC∥BD，根据现有条件无法得到AD⊥BC，∴四个选项中只有A选项符合题意．6．A解：∵∠C=90°,BD平分，DE⊥AB，∴CD=DE=1cm，∴AC=AD+CD=3+1=4cm，故选：A．7．B解：∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，点P关于CB的对称点P2恰好落在ED的延长线上，∴EP=EP1,DP=DP2，∵PE=3,PD=4,ED=5，∴DP2=4,EP1=3，∴P1D=ED−P1E=5−3=2，∴P1P2=P1D+P2D=2+4=6，故选：B．8．B解：在图a中，∵ AD∥BC， ∴∠EFB=∠DEF=28°， ∴ ∠EFC=180°−∠EFB=152°， 由第一次折叠（沿EF）可知，图b中∠EFC=152°， ∴图b中BF下方的∠BFC=∠EFC−∠EFB=152°−28°=124°， 由第二次折叠（沿BF）可知，图c中BF上方的∠BFC=124°， ∴图c中∠CFE=∠BFC−∠EFB=124°−28°=96°．9．C解：连接AM,AF,ME,FE，过点A作AQ⊥BP于点Q，AN⊥BC于点N，由作图得，BM=BF,ME=FE，又BE=BE，∴△BEM≌△BEFSSS，∴∠PBA=∠ABC，∴∠PBC=2∠ABC，故选项A正确，不符合题意；∵BM=BF,∠ABM=∠ABF,BA=BA，∴△ABM≌△ABFSAS，∴AM=AF，故选项B正确，不符合题意；无法判断CM⊥BP，故选项C符合题意；∵∠PBA=∠ABC，AQ⊥BP，AN⊥BC，∴AQ=AN，又S△ABP=12BP⋅AQ,S△ACB=12BC⋅AN，∴S△ABPS△ACB=12BP⋅AQ12BC⋅AN=BPCB，故选项D正确，不符合题意；故选：C．10．D解：∵ △ABP，△ACP分别沿AB，AC向外翻折至△ABD，△ACE，∴ △ABP≌△ABD，△ACP≌△ACE，∴AP=AD=AE，∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE，∵∠BAC=45°，∴∠DAE=∠DAP+∠PAE=2∠BAP+∠PAC=2∠BAC=90°，∴ △ADE面积=12AD×AE=12AP2，当AP取最小值时，△ADE的面积最小，在△ADE中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小，此时，△ADE面积的最小值为：12AP2=8，解得：AP=4，∴ S△ABC=12AP×BC=12×4×5=10，故选：D．填空题11．4解：∵BC=7，CD=3，∴BD=BC−CD=7−3=4，由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=4．故答案为：4．12．等腰三角形的三线合一解：∵AC=AD,BC=BD，∴AB⊥CD，∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”．故答案为：等腰三角形的“三线合一”．13．56°解：∵BN⊥PQ,CM⊥RS，∴BN∥CM，∵BN平分∠ABC，CM平分∠BCQ，∴∠BCM=∠QCM，∠ABN=∠CBN，由题意可知：BN∥CM∥QR，∵∠CQR=34°，∴∠BCM=∠QCM=∠CQR=34°，∴∠ABN=∠CBN=∠BCM=34°，∵BN⊥PQ，∴∠ABP=90°−∠ABN=56°．14．4.8解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN， CD， DN， DM， EN， FM，  ∵∠MCA=∠DCA，∠BCD=∠BCN，∠BCD+∠ACD=90°，CM=CD，CN=CD，∴∠DCN+∠DCM=180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EF+EN，∵FM+EF+EN≥MN，∴当F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，∵CD⊥AB，∴AB⋅CD=BC⋅AC，∵AB=5，△ABC的面积为6，∴12×5CD=6，∴CD=2.4，∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故答案为：4.8．三．解答题15．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：△ABC的面积为：2×4−12×1×2−12×1×3−12×1×4=8−1−1.5−2=3.5；16．（1）证明：∵AD=CF，∴AD+CD=CF+CD，∴AC=DF，又∵AB=DE，∠BAC=∠EDF，∴△ABC≌△DEFSAS；（2）解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=180°−∠A2=70°，∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠ACB=70°．17．（1）证明：∵∠ABE=∠CBD，∴∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠EBD=∠ABC，在△EBD和△ABC中，∠E=∠AEB=AB∠EBD=∠ABC，∴△EBD≌△ABCASA；（2）解：由（1）可知△EBD≌△ABC，∴BD=BC，∠BDE=∠BCD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠BDE=65°，∴∠BDC=∠BCD=65°，∴∠CBD=180°−∠BDC+∠BCD=50°，又∵O点为CD中点，∴∠OBD=12∠CBD=25°．18．（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：设点D到AB的距离为h，∵BD平分∠ABC，∴点D到AB的距离等于点D到BC的距离，∴点D到BC的距离为h，∴S△BADS△BCD=12AB⋅ℎ12BC⋅ℎ=ABBC=45．19．（1）证明：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DE=BE．∵AD是△ABC的角平分线，∴CD=DE，∴CD=BE．（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD=DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，∵AD=ADCD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AE=AC，∵由（1）知CD=BE，∴AB=AE+BE=AC+CD．20．解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等，故答案为：角平分线上的点到两边距离相等．（探究）∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB和AC的距离相等（角平分线性质）．设点D到AB和AC的距离为ℎ，则S△ABC=12×AB×ℎ，S△ACD=12×AC×ℎ，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC，∵AB：AC=7：5，∴△ABD与△ACD的面积比7：5；（应用）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴点O是△ABC的内心，内心到三边的距离相等，∵OD⊥BC，OD=3，∴点O到AB、AC的距离也为3，△ABC的面积可分割为△AOB、△BOC、△AOC的面积之和（如图），即S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴=12×AB×3+12×BC×3+12×AC×3=AB+BC+AC×12×3=32AB+BC+AC，∵△ABC的周长是13，即32AB+BC+AC=392，∴S△ABC=392．故答案为：392．21．（1）解：由折叠性质可知：∠AOE=∠A′OE，∵∠AOE=35°，∴∠AOA′=∠AOE+∠A′OE=2∠AOE=70°，∴∠A′OB=180°−∠AOA′=180°−70°=110°；（2）解：由折叠性质可知：∠A′OE=12∠AOA′，∠B′OF=12∠BOB′，∵∠AOA′+∠BOB′=180°，∴∠A′OE+∠B′OF=12∠AOA′+∠BOB′ =12×180° =90°，即∠EOF=90°；（3）解：∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：∠AOE+∠BOF−12∠A′OB′=90°或∠AOE+∠BOF+12∠A′OB′=90°理由：由折叠性质可知：∠A′OE=12∠AOA′，∠B′OF=12∠BOB′，①当点B′在点A′的左侧时，如图3，∠AOA′+∠BOB′−∠A′OB′=180°，∴12∠AOA′+12∠BOB′−12∠A′OB′=90°，∴∠AOE+∠BOF−12∠A′OB′=90°；②当点B′在点A′的右侧时，如图4，∠AOA′+∠BOB′+∠A′OB′=180°，∴12∠AOA′+12∠BOB′+12∠A′OB′=90°，∴∠AOE+∠BOF+12∠A′OB′=90°，综上所述，∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：∠AOE+∠BOF−12∠A′OB′=90°或∠AOE+∠BOF+12∠A′OB′=90°．