2026年中考数学一轮复习电子教案 第四单元 微专题 对角互补模型

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课题
微专题 对角互补模型
学习目标
1.了解对角互补模型的基本概念；
2.会运用对角互补模型解决综合问题.
教学重点
能熟练应用对角互补模型.
教学难点
对角互补模型的综合应用.
教学准备
课件ppt
实施教学过程设计
二次备课
一阶 认识模型
例1 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，连接AC，BD，过点D作BD的垂线，交BA的延长线于点F，求证：△AFD≌△CBD.
【思维引导】
第一步：由已知的角相等条件能推出哪一组互补的对角？
第二步：利用互补的角，通过导角能得到哪组角相等？
第三步：利用模型建立全等三角形.
例1题图
例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，若BC＝4，CD＝2，求AC的长.
例2题图
方法一：以AB为边作等角
方法二：过点A作垂线
例1 证明：在四边形ABCD中，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠BCD＋∠BAD＝180°，
∵∠FAD＋∠BAD＝180°，
∴∠FAD＝∠BCD，
∵∠CDB＋∠ADB＝90°，∠ADF＋∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADF，
在△AFD和△CBD中，∠ADF=∠CDBAD=CD∠FAD=∠BCD，
∴△AFD≌△CBD(ASA)．
例2 方法一：解：如解图①，过点A作∠BAE＝∠DAC，AE交CB的延长线于点E，则∠EAC＝∠BAE＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝∠BAD＝60°，
∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
在△ACD和△AEB中，∠ADC=∠ABEAD=AB∠DAC=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB(ASA)，∴AC=AE，
∵BC＝4，CD＝2，
∴BE＝CD＝2，∴CE＝BC＋BE＝4＋2＝6，
∵∠EAC＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AC＝CE＝6.
例2题解图①
方法二：解：如解图②，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ADC＋∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD∠ABE=∠ADFAB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE＝AF，BE＝DF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴CA平分∠ECF，
∴∠ACE＝∠ACF＝60°，
∴∠CAE＝∠CAF＝30°，
在△ACE和△ACF中，AE=AF∠CAE=∠CAFAC=AC，
∴△ACE≌△ACF(SAS)，
∴CE＝CF，
设BE＝DF＝x，则CE＝4－x，CF＝2＋x，
即4－x＝2＋x，
解得x＝1，
∴CE＝4－1＝3，
∴AC＝2CE＝2×3＝6.
例2题解图②
二阶 应用模型
1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，F是AB的中点，AC＝2，将一块直角三角板的直角顶点放在点F处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC，BC相交，交点分别为D，E，则CD＋CE的值为 .
第1题图
2. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，P是对角线上的一点，点M在边AB上，点N在边BC上，连接PM，PN，MN，PM⊥PN且PM＝PN.若AM＝6，CN＝2，则MN的长为 .
第2题图
3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝5，G为对角线BD的中点，E，F为边AB，BC上两动点，连接EG，FG，EF，若∠EGF＝90°，则GEGF的值为 .
第3题图
4. 如图，在菱形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，M，N分别是BC，CD边上的点，连接OM，ON.已知∠BAD＝120°，∠MON＝60°，若CM＝1，CN＝3，则OC的长为 .
第4题图
5. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，连接BD.若BC＝2，AB＝5，求BD的长.
第5题图
1. 2
2. 210
3. 35
4.4
5. 解：如解图，将BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DP，连接AP，
由旋转的性质可得，BD＝DP，∠BDP＝90°，
∵∠BDC＋∠BDA＝90°，∠BDA＋∠ADP＝90°，
∴∠BDC＝∠ADP.
在△CDB和△ADP中，CD=AD∠CDB=∠ADPDB=DP，
∴△CDB≌△ADP(SAS)，
∴∠PAD＝∠BCD，AP＝CB，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠BCD＋∠BAD＝180°，
∴∠PAD＋∠BAD＝180°，
∴P，A，B三点共线，
∵∠BDP＝90°，DB＝DP，且BC＝2，AB＝5，
∴△BDP为等腰直角三角形，∴BP＝2DB，
∴AP＋AB＝CB＋AB＝2＋5＝7＝2DB，
∴DB＝722.
第5题解图
课后小结
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作业布置
必做：精练本第48页1——4题；
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板书设计
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