2023年中考数学微专题复习课件3 对角互补模型

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　　对角互补模型主要包括两种模型：①含90°的对角互补模型；②含120°的对角互补模型.解决此类题型常用到的辅助线作法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.
▶类型1：“90°”模型
【例1】如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E.
（1）求证：PA＝PE；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD＝10，DC＝8，求AP∶PE.
图1－1 　　　　　图2－1
图1－1 　　　　
图2－1 　　　　
▶类型2：“120°”模型
【例2】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为点F，AB＝4，求BE的长；
图1　　　　　　　　　　　图2
1.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是 　π－2　⁠. 
2.已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，Q为线段DB上的一点，∠MQN＝90°，点M，N分别在直线BC，DC上.
（1）证明：如图，过Q点作QP⊥BD交DC于点P，则∠PQB＝90°.
∴∠NQP＝∠MQB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠BDC＝∠DBC＝45°，DO＝BO，
∴∠DPQ＝45°，DQ＝PQ.
∴∠DPQ＝∠DBC，
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴QP是△DOC的中位线，
证明：如图，过点A向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为点E，F.
由圆内接四边形的性质，得∠BDC＝180°－∠BAC＝60°.
∴∠ADB＝∠ADC＝30°.
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL）.
∴BD＋CD＝BE＋DE＋DF－CF＝2DE.
在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，
解：EF＝BE＋CF.理由如下：延长FC到点T，使得CT＝BE，连接AT，如图.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°.
∴∠DBC＝∠DCB＝60°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
∴∠ABE＝∠ACT＝90°.
∵AB＝AC，BE＝CT，
∴△ABE≌△ACT（SAS）.