重难点02 二次函数（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测试+答案

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01 TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214369010" 深挖重难·固根基 PAGEREF _Tc214369010 \h 1
02 分 \l "_Tc214369011" 层锤炼·验成效13
重难点一 二次函数的图象与性质
1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）两根式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
3.二次函数的图象及性质
4.二次函数与一元二次方程的关系：
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
（3）b2–4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
b2–4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
b2–4ac＜0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
总之，抛物线与横轴交点的个数与对应一元二次方程解的个数是相同的。
题型01根据二次函数解析式求顶点坐标
【典例】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ．
2．（2025·江西宜春·模拟预测）二次函数的顶点坐标为 ．
题型02二次函数图象和性质的综合判断
【典例】2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式】
1．（2025·广西来宾·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图像如图，下列说法中错误的是（ ）
①②③④
A．①②③B．①②③④C．②③④D．以上说法都正确
2．（2025·上海·二模）抛物线的图像如图所示，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
重难点二 二次函数的应用
1.利润相关公式
（1）单件利润 = 单件售价 − 单件进价（成本）
（2）总利润 y = 单件利润 × 销售数量
2.二次函数的最值性质
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），顶点横坐标 x=−b2a。
（2）（最值判定：当a0时，开口向上，顶点为最小值（利润问题中a通常为负数，求最大利润）。
（3）自变量取值范围约束：售价≥进价、销量≥0，由此确定x的取值范围。
3.二次函数应用解题一般步骤：
（1）审题设元；
（2）列销量与单件利润的表达式；
（3）构建总利润的二次函数解析式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）求最值并检验作答，检验结果的实际合理性，规范书写答案。
题型01 最大利润问题
【典例】（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【变式】
1．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
题型02 拱桥问题
【典例】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
【变式】
1．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
2．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
题型03 图形最大面积问题
【典例】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【变式】
1．（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的与的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
题型04 投球问题
【典例】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【变式】
1．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
2．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
(1)求与的函数关系式；
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
(3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）．
题型05 喷泉问题
【典例】（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围．
【变式】
1．（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务：
【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究．
【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型．
【项目任务】
如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题：
任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象；
任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值；
任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围．
2．（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是
(1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米；
(2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式；
(3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同；
①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数；
②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______．
重难点三 二次函数与几何综合
1.数形结合思想，是解决此类问题的根本思想。将二次函数的代数表达式转化为平面直角坐标系中的图像，利用图像的顶点、对称轴、与坐标轴交点等特征，分析几何图形的位置；同时通过几何图形的性质（如等腰、直角、平行）建立代数方程。
2.分类讨论思想，几何图形的位置或形状存在多种可能性时，需分类讨论（如等腰三角形的顶点不确定、平行四边形的顶点组合不同），避免漏解。
3.转化思想，将复杂问题转化为基础问题，例如：将线段最值转化为二次函数最值；将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差；将存在性问题转化为方程是否有解的问题。
4.此类问题的通用解题步骤：此类问题的解题流程具有固定性，可按以下步骤逐步突破：
第一步：求二次函数解析式（代数基础）
已知条件：函数图像上的点坐标、顶点坐标、对称轴等。
常用方法：待定系数法，分3种形式：
一般式：y=ax2+bx+c（已知3个普通点坐标）。
顶点式：y=ax−ℎ2+k（已知顶点ℎk和1个普通点）。
交点式：y=ax−x1x−x2（已知与x轴的两个交点x10、x20和1个普通点）。
关键：代入点坐标时注意符号，计算后验证解析式正确性。
第二步：分析几何图形的性质与关键点坐标（几何分析）
确定几何图形的类型（三角形、四边形、圆等），提取核心性质（如等腰三角形两腰相等、平行四边形对边平行且相等）。
用坐标法表示几何图形的顶点坐标：若顶点在二次函数图像上，坐标可设为xax2+bx+c；若在坐标轴或定直线上，按直线解析式设坐标（如在直线y=x+1上，设为tt+1）。
第三步：建立函数与几何的联系（数形转化）
利用几何性质建立代数关系式：
线段长度：两点间距离公式 d=x2−x12+y2−y12；若线段平行于坐标轴，直接用坐标差计算（如水平线段长度|x2−x1|）。
角度关系：垂直时斜率乘积为−1（k1⋅k2=−1）；平行时斜率相等（k1=k2）。
面积关系：割补法（将不规则图形拆分为三角形、矩形等）、铅垂高法（三角形面积S=12×水平宽×铅垂高）。
全等/相似关系：对应边成比例、对应角相等，转化为坐标的比例方程。
第四步：求解与验证（结果处理）
解建立的方程（组），得到未知数的值（如点的坐标、参数的值）。
验证解的合理性：需满足自变量的取值范围（如点在函数图像上、几何图形存在），排除增根。
题型01 二次函数与线段、面积最值问题
【典例】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若，求的值．
(3)直线与直线交于点，求的最小值．
【变式】
1．（2025·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），设点的横坐标为．若，且线段与抛物线有交点，求的取值范围．
2．（2025·安徽阜阳·二模）如图，已知，，三点的坐标分别为，，，抛物线经过，两点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段最长时，求点的坐标．
题型02 二次函数与全等三角形
【典例】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标．
【变式】
1．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线．
(1)求此二次函数的解析式和点的坐标；
(2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围．
2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
题型03 二次函数与直角三角形
【典例】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式】
1．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究，如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______；
(3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标．
(4)点在直线上，在抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
2．（2025·安徽·模拟预测）抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点B，且经过，两点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
题型04 二次函数与等腰三角形
【典例】（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．已知点，．
(1)求该抛物线的表达式及直线的表达式．
(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，求的最大值．
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标．
【变式】
1．（2025·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（a、b、c为常数，且，）的图像顶点C的坐标是．
(1)若，求二次函数表达式；
(2)点，是该函数图像上的两个不同的点，若，请判断，的大小关系，并说明理由；
(3)等腰直角的直角顶点B在该二次函数的图像上，点D在该二次函数图像的对称轴上，若，直接写出a的值．
2．（2025·广东云浮·一模）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，
(1)求的值及抛物线的解析式．
(2)点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值．
(3)在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ．
题型05 二次函数与相似三角形
【典例】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点，顶点，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)作，斜边的两个端点D与E都在抛物线上，且分别位于第二象限和第一象限，过点E作垂直于x轴于点F．若与相似，求点E的坐标．
(3)将抛物线平移，得到新抛物线W，已知W的对称轴为直线，点，，均在新抛物线W上．若时，都有，请直接写出t的取值范围．
2．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
题型06 二次函数与特殊四边形
【典例】（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，，是直线下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)过点作轴，交直线于点，交直线于点．当为线段的中点时，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若是直线上一动点，试判断在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)当点到的距离最大时，点在直线上，则的最小值为_______．
【变式】
1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
2．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
题型07 二次函数与圆形
【典例】（2025·四川自贡·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)动直线图象交该抛物线于，两点，以为直径作圆与抛物线始终交于一定点，求出点的坐标．
【变式】
1．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标；
(3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值．
2．（2025·广东·二模）已知直线过点，且与抛物线交于A，B两点，与x负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点．
(1)当A是中点时，求直线l的解析式；
(2)若点M的横坐标为m，，中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式；
(3)以为直径的圆C交直线于D，是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由．
1．（2025·安徽亳州·一模）已知点和点都在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．以上结果都有可能
2．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2025·甘肃武威·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的顶点坐标为
C．抛物线的对称轴为直线D．当时，y随x的增大而增大
5．（2025·江苏泰州·三模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．没有最大值，有最小值B．没有最大值，也没有最小值
C．有最大值，没有最小值D．有最大值，也有最小值
6．（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ．
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数．下面五个结论：
①图象过点；
②图象的最低点坐标为；
③图象无最高点且分为两段；
④若，在图象上且，则；
⑤若，在图象上，且，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
8．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元．
〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本．
问题解决：
(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？
(2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？
(3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
9．（2025·广东深圳·模拟预测）张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设．
(1)求矩形田地的面积的最大值．
(2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围．
10．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；
(3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值．
1．（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论：
①抛物线的对称轴是直线 ； ②抛物线与x轴的交点坐标是和；
③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根；
④若和都是抛物线上的点且，则．
上述结论中正确的结论 （填写序号）
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）对于函数，有以下结论：
①函数图像为轴对称图形，对称轴是轴；
②当时，函数有最小值；
③若函数图像与轴有3个交点，；
④若关于方程有4个实数根，则；
⑤若图像上有两点，当时，，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
3．（2025·四川南充·一模）某科技公司研发了一款新型智能手表在市场上很受欢迎，该公司某专卖店根据市场调查发现：这款智能手表每天销售数量y（块）与每块销售单价x（元）的关系满足一次函数，每块智能手表各项成本合计为元．设专卖店销售这款智能手表每天获利w元．
(1)若该专卖店某天销售这款智能手表获利元，求销售单价x的值；
(2)当销售单价x定为多少元时，该专卖店销售这款智能手表每天获利最大？最大利润为多少元？
(3)临近新品发布会，若该专卖店决定每块降价a（）元，此时销售量仍为个，当每天的销售量不低于块时，为了确保降价后的利润随着销售单价的增大而增大，求a的取值范围．
4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
6．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴直线为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在直线上方的抛物线上，平分，求点M坐标；
(3)如图2，点D与点C关于直线对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线与x轴交于点G，直线交抛物线于P，Q两点，连接交y轴正半轴于点E，连接交y轴负半轴于点F，探究的值是否变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a