专题08 二次函数（题型专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 用待定系数法求二次函数解析式
题型02 二次函数的图象性质与系数关系
题型03 二次函数图像变换（平移/翻折/旋转）
题型04 二次函数与一元二次方程/不等式结合
题型05 求自变量、函数值或参数的取值范围
题型06 二次函数中的最大值与最小值问题
题型07 实际应用（利润 / 面积 / 运动）
题型08 二次函数中的新定义问题
题型09 二次函数中代数推理问题
题型10 综合压轴（几何存在性/动点最值）
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 用待定系数法求二次函数解析式
典例引领
【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
题型02 二次函数的图象性质与系数关系
典例引领
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【典例02】（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏徐州·一模）如图为函数的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型03 二次函数图像变换（平移/翻折/旋转）
典例引领
【典例01】（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，B（点在点左侧），与轴交于点．
(1)当时，求点A，B的坐标；
(2)若，求直线的函数解析式；
(3)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为，点在上，当时，恒成立，直接写出的取值范围．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；
题型04 二次函数与一元二次方程/不等式结合
典例引领
【典例01】（2026·江苏连云港·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________．
方法透视
变式演练
【变式01】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________．
题型05 求自变量、函数值或参数的取值范围
典例引领
【典例01】（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____．
【典例02】（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于点两点，二次函数的图象经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若二次函数的图象的顶点在直线上，求；
(3)设时，当时，则的函数值的取值范围是_________；
题型06 二次函数中的最大值与最小值问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______．
【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为_______．
题型07 实际应用（利润 / 面积 / 运动）
典例引领
【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【典例02】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为．
(1)若骑行速度为，则_______，_______；
(2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，）
题型08 二次函数中的新定义问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
(1)二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（ ）
①是函数的融值区间；
②函数不存在融值区间；
③是函数的融值区间；
④若是函数的融值区间，则．
A．①②B．②③C．③④D．②④
题型09 二次函数中代数推理问题
典例引领
【典例01】（2026·江苏连云港·一模）抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过定点．
(1)当时，求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)设点、在该抛物线上，且（点在点右侧），，求证：；
(3)已知点和是抛物线上的两点，若对于，且，都有，求的取值范围．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为．
【理解】
(1)一次函数的“2型相关量”，则 ；
【探究】
(2)已知g是（）的“t型相关量”．
①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值；
②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系；
【迁移】
(3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值．
题型10 综合压轴（几何存在性/动点最值）
典例引领
【典例01】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，折痕为，连接、．
(1)求证：．
(2)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论．
(3)四边形的面积为S，．
①________（用含x的代数式表示）
②试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)则抛物线解析式中________，________；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D．
(1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________；
(2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________；
(3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为．
①求m的值；
②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围．
题●型●训●练
1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·江苏盐城·一模）如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接）
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大．
6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
7．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
9．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
10．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
12．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点．
(1)求直线对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值．
13．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象（记为）经过点，．直线与两个图象，分别交于点，，与轴交于点．
(1)求，的值．
(2)当点在线段上时，求的最大值．
(3)设点，到直线的距离分别为，．当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个；当时，对应的值有______个．考向解读
该题型为中考基础必考题型，选择、填空、解答题均有涉及，分值稳定。命题常结合三点式、顶点式、交点式三类基础形式考查，常融入坐标系中点的坐标、对称点、简单几何线段条件，侧重考查式子列写与方程求解能力。多以简单解答小问出现，难度偏低，是二次函数大题开篇高频考点，注重基础计算熟练度考查，极少结合复杂综合条件，核心检测学生基础公式运用与基础运算功底。
方法技能
熟练掌握三种解析式形式灵活选用：已知三点设一般式，已知顶点 / 对称轴设顶点式，已知与 x 轴交点设交点式。规范代入点的坐标，建立方程组，精准求解系数。解题先审题锁定已知条件，匹配对应解析式简化计算；计算时注意符号、常数项运算，做完后代回坐标验算。牢记配方、因式分解辅助化简，强化二元、三元一次方程组解法，养成步骤规范书写习惯，减少基础计算失分。
考向解读
此题型为中考高频易错题，多见于选择题压轴、填空题，考查综合性强。围绕a、b、c及判别式符号，结合开口方向、对称轴、特殊点函数值命题。常设置多结论正误判断形式，结合增减性、最值、特殊自变量对应函数值综合设问。命题贴合图象直观特征，侧重数形结合思想，陷阱多、迷惑性强，侧重考查识图分析、逻辑判断能力，是区分基础与中档水平的关键题型。
方法技能
牢记核心规律：a定开口，对称轴判a、b关系，c看与 y 轴交点，Δ判断与 x 轴交点个数。利用x=±1、x=±2等特殊值判断代数式符号，结合图象增减性、顶点位置辅助分析。采用逐项推理、反例排除法破解多结论题型，紧扣图象限定条件，避免主观臆断。强化数形结合思维，将代数系数关系转化为图象几何特征，分类梳理常见结论模型，快速秒杀常规考题。
考向解读
图像变换是中考中档常考题型，选择、填空及解答题均会考查。以平移为核心考点，翻折、旋转为拓展考点，命题常结合顶点变化、解析式改写、变换后交点、取值范围设问。紧贴几何变换规则，结合坐标系综合考查，常与二次函数最值、图象位置结合。命题难度梯度分明，基础题考查直接变换，中档题结合多次复合变换，侧重考查空间想象与公式迁移运用能力。
方法技能
紧抓顶点变换法核心：所有变换优先求出新顶点坐标，二次项系数按需调整。平移遵循 “左加右减、上加下减”；翻折区分 x 轴、y 轴翻折的系数符号变化；旋转牢记特殊角度顶点变化规律。变换前后抛物线形状不变，∣a∣保持不变。复杂复合变换分步拆解，先定点再写解析式，避免直接整体变形出错，结合画图辅助理解变换轨迹，提升解题准确率。
考向解读
该题型为中考核心衔接考点，贯穿基础到中档题型。重点考查抛物线与 x 轴交点、方程根的关系，利用图象解二次不等式、比较函数值大小。常以方程根的个数、不等式解集、区间函数比较为设问方向，结合数形结合思想命题。既可单独小题考查，也会融入二次函数大题中间小问，衔接方程、函数两大模块，综合性强，重点考查知识融合与图象转化应用能力。
方法技能
明确抛物线与一元二次方程的对应关系：交点横坐标即为方程根，Δ决定交点数量。解二次不等式依托图象，以交点为分界，结合开口方向确定取值范围。方程根与系数关系、求根公式可辅助求解交点坐标。解题坚持数形结合，把方程问题转化为图象交点问题，不等式问题转化为图象上下位置关系，简化抽象运算，规范解集书写格式，规避区间书写易错点。
考向解读
本题型为中考常规必考题型，难易适中。常结合二次函数图象增减性、对称轴、限定区间，求解自变量范围、函数值范围及含参系数范围。命题常搭配有限定定义域、含参数抛物线、区间限制条件，设问灵活。既考查基础图象性质，又融入分类讨论思想，多在填空、解答小问出现，侧重考查区间分析、边界取值、不等式求解的综合运用能力。
方法技能
以对称轴为分界，划分函数增减区间，结合题目给定定义域确定最值与边界。求参数范围时，根据图象位置、交点条件、增减性列出不等式组求解。遇到含参数、动对称轴问题，分类讨论区间与对称轴的位置关系。利用端点值、顶点值锁定取值边界，严格区分开区间与闭区间。熟练结合图象辅助分析，避免纯代数计算漏解、错解，规范参数范围推导步骤。
考向解读
最值问题是中考二次函数核心重点，高频出现在解答题中档位置。分为全体实数范围内顶点最值、限定区间内最值两大考法，常结合给定自变量范围、实际情境区间设问。命题注重分类讨论，区间含对称轴、在对称轴左右两侧为常考分类点。题型综合性较强，衔接图象增减性，是后续几何最值、实际应用的基础，分值占比高，为中考重点得分题型。
方法技能
无范围限制时，直接利用顶点纵坐标求最值；给定区间最值，核心判断对称轴与区间位置关系。分三类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区间内部，分别结合增减性取端点或顶点最值。牢记开口方向决定最值类型，a>0有最小值、a