第23讲 圆的基本概念与性质（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

这是一份第23讲 圆的基本概念与性质（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测，共23页。
01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关3
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测7
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 11
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分15
考点一 圆周角定理
1.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等．
符号语言：
2．推论：
（1）直径所对的圆周角是直角．
符号语言：
（2）圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角．
符号语言：
1．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____．
2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______．
3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦．若，，则_________．
考点二 垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
方法点拨：
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．垂径定理推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
1．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ．
2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________．
3．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G．
(1)求证．
(2)若点E在的延长线上，且，求的度数．
(3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由．
命题点一 圆周角定理
►题型01利用直径所对的圆周角是直角解决问题
【典例】．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式】
1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形．
2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________．
►题型02利用90度的圆周角所对的弦是直径
【典例】．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________．
【变式】
1．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为____．
2．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径及的长．
►题型03利用圆周角定理计算
【典例】．（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________．
【变式】
1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______．
2．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
命题点二 垂径定理
►题型04根据垂径定理计算
【典例】．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__．
【变式】
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是___________．
突破一 根据圆周角定理作图
【典例】．（2024·江苏南京·中考真题）（1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且．
（2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【变式】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”．
(1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”．
(2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）．
2．（2025·江苏南京·三模）如图，已知线段和直线．利用无刻度的直尺和圆规分别在直线作符合要求的点（保留作图痕迹，给出必要的文字说明）．
(1)；
(2)的度数最大．
突破二 利用垂径定理解决与圆有关的实际问题
【典例】．（2025·江苏无锡·一模）综合与实践：设计灯笼串悬挂点的方案
素材1：图1是圆形建筑物底部大厅，图2是底部大厅圆弧形顶部的平面示意图．
素材2：为欢度新春佳节，拟在图2的圆弧上设计一些灯笼串悬挂点．为了美观，要求每两个灯笼串悬挂点之间的距离不小于2米但不大于3米并且相等，同时，圆弧上符合条件处都要挂上灯笼串，且挂满后成轴对称分布．
(1)任务1：求图2中圆弧所在圆的半径；
(2)任务2：通过计算，设计灯笼串悬挂点的最大数量及最小数量的方案．（参考数据：，，）
【变式】
1．（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为的人工湖上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“型”
（1）如图①，若点，，，在上，则的最大值为 ；
“型”
（2）如图②，若点，，在上，且．求的最大值；
“型”
（3）如图③，若点，，在上，且，垂足为，则的最大值为 ．
2．（2025·江苏苏州·二模）阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
完成下列任务：
(1)连接，求证：．
(2)若，求的长．
(3)连接并延长交于点H，若，则长多少？
1．（2025·江苏南京·三模）如图，点都在上，在的延长线上．若，则的度数为（ ）
A．94°B．C．162°D．172°
2．（2025·江苏淮安·二模）如图，是半圆O的直径，点D在上，弦，若的度数为，的度数为，则与的关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·江苏连云港·三模）如图，已知、、、、均在上，且为的直径，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是正五边形的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系是错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·江苏南通·一模）如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ）
A．6B．10C．12D．13
8．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·江苏南京·二模）如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分．
(1)求证：．
(2)若是的切线．
①求证：．
②若，，是的中点，则的半径为_____．
10．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于．
(1)求证：；
(2)连接交于点．若，，求的半径．
1．（2025·江苏徐州·三模）如图，四边形内接与，E是延长线上一点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）．
A．7B．8C．D．10
3．（2025·江苏扬州·二模）如图，点、、、、在上，且，的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·江苏扬州·二模）如图，在的网格中，圆经过格点A、B、C．若E、F是圆上任意两点，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江苏苏州·二模）如图，过外一点引的两条切线、，切点分别是、，交于点，点是优弧上不与点、点重合的一个动点，连接、，若，则的度数为______．
7．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为______．
8．（2025·江苏南京·二模）如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为_______．
9．（2025·江苏泰州·三模）如图，在以为圆心的两个同心圆中，点是小圆上一点．
(1)过点作大圆的弦，使得；运用尺规作图，保留作图痕迹，不写画法
(2)在（1）的条件下，若两个同心圆中大圆的弦长为，则两个同心圆围成的圆环面积为______用含的代数式表示；
(3)在（1）的条件下，若两个同心圆圈成的圆环宽为，大圆的弦长为，求大圆中弦与弧所围成的图形面积．
10．（2025·江苏南京·二模）【提出问题】
过平面内一点P画直线l平分已知的面积．
【发现问题】
根据点P与的位置不同，可以分成点P在边上、在内部、在外部三种情况．
（1）当点P在边上
①若点P与顶点A重合，如图①，画出直线l，并简述画法；
②若点P在的边上，如图②，小明取的中点D，连接，……
请根据小明的思路画出直线l，并简述画法．
【分析问题】
（2）当点P在的内部，如图③，如何画出直线l呢？
小红的画法：
第一步 取的中点D；
第二步 画；
第三步 过点P画，交于点I；
第四步 过P、I、H三点的圆交于点J；
第五步 过点P作直线，交于点K．
则就是所求的直线l．
请说明小红画图的正确性．
【解决问题】
（3）当点P在的外部如图④，画出直线l，并简述画法．
1．（2025·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（ ）
A．10B．5C．8D．6
2．（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（ ）
A．4B．5C．D．10
3．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·四川广元·一模）如图，是的直径，是上一点，是另一侧半圆的中点，若，，则的长为（）
A．B．C．D．
5．（2025·四川广元·模拟预测）如图，在中，，经过点A，B，C，为的直径，且，过点O作于点E，则的长是（ ）
A．B．C．1D．
6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（ ）
A．1B．C．2D．4
7．（2025·广东江门·二模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·山东泰安·一模）如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（ ）
A．B．4C．D．
9．（2025·山东·模拟预测）教材中有这样一段文字：“在比例式中，如果，那么．我们把b叫做a和c的比例中项．”在学习过程中，有些几何图形中的线段满足的关系，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的各点．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图①中，在上求作一点D满足；
(2)在图②中，在上求作一点D满足．
10．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
11．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
12．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
命题点一 圆周角定理
题型01 利用直径所对的圆周角是直角解决问题
题型02 利用90度的圆周角所对的弦是直径
题型03 利用圆周角定理计算
命题点二 垂径定理
题型04 根据垂径定理计算
突破一 利用圆周角定理作图
突破二 利用垂径定理解决与圆有关的实际问题
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
圆周角定理
南京T16
盐城T12
淮安T16、22、27
无锡T25
徐州T24、28
宿迁T18
南通T23
常州T17
苏州T25
扬州T14
连云港T13
淮安T13、27
南京T4、20、26
徐州T27
镇江T9
宿迁T25
无锡T26
常州T14、27
苏州T12、25
扬州T18、26、28
盐城T12
连云港T14
南京T27
淮安T14、16
常州T16
南通T15
宿迁T25
泰州T26
无锡T25
徐州T15
苏州T8、25
扬州T25、27
连云港T24
探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论.
垂径定理
南京T12
南通T17
/
南京T26
命题预测
2023 - 2025 年圆的考查情况分析：
圆周角定理：江苏 13 市中考每年必考，覆盖所有试卷，是圆模块核心考点。
垂径定理：考查频率略低，常与勾股定理结合计算。
分值占比：两考点合计约6-12 分，以选择、填空、解答题形式出现，难度覆盖基础到压轴。
2026年中考数学关于圆的命题预测：
圆周角定理：
必考，分值稳定，综合化加深，常与切线、相似、三角函数、勾股定理结合。
热点：直径所对圆周角为直角（构造直角三角形）、同弧圆周角相等（角度转换）、圆内接四边形性质。
垂径定理：考查概率偏低，侧重计算，与勾股定理结合是主流。
复习建议：
（一）基础夯实
圆周角定理
牢记定理及推论，明确一条弧对一个圆心角、无数个相等圆周角；一条弦对两类互补圆周角。
角度转换：同弧(等弧)圆周角相等、直径→直角、圆内接四边形→对角互补。
垂径定理
掌握知二得三模型，理解 “垂直于弦的直径平分弦及弧” 的本质。
牢记计算公式：半径 ²= 弦心距 ²+(弦长 / 2)²，构造直角三角形是核心。
（二）题型突破
圆周角定理
基础计算：圆心角↔圆周角换算、同弧圆周角相等、直径所对圆周角 = 90°。
综合应用：与切线（连半径证垂直）、相似（倒角证相似）、解直角三角形结合。
垂径定理
弦长计算：已知半径、弦心距求弦长；已知弦长、弦心距求半径。
辅助线技巧：见弦作弦心距、见直径连弦得直角、见中点连圆心。
（三）能力提升
模型归纳
圆周角模型：直径模型（直角）、同弧模型（等角）、圆内接四边形模型（互补）。
垂径模型：弦心距模型（勾股定理）、知二得三模型（性质推导）。
真题训练
刷江苏近 3 年 13 市真题，总结考查角度、解题思路、易错点。
重点训练综合题，提升定理在复杂图形中的应用能力。
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实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，，读数时，视线垂直于量筒壁（），与相切于点D，点O为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点E处俯视点D（点E在上），记录量筒上点E处的高度为．小华同学记录量筒上点A处的高度为．