专题18 反比例函数综合题（3压轴题型10难点2新考法1新趋势，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：反比例函数与一次函数综合
【中考母题溯源·学方法】
【例1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴联立得，，
解得或，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴将代入，
∴，
∴．
故选：D．
【变式1-1】难点01：求不等式解集
（2025·安徽芜湖·三模）已知一次函数与反比例函数的图象交于两点，当一次函数的值小于反比例函数的值时，的取值范围是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【详解】解：把代入得：，
即反比例函数的解析式是，
把代入得：，解得：，
即B的坐标是，
所以当一次函数的值大小于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是或，
故选：C．
【变式1-2】难点02：交点问题
（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】解：∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，
∴；
∴；故①正确；
联立，解得：或（舍去）；
∴点的坐标为，故②正确；
由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故选C．
【变式1-3】新考法01：结合直线平移求距离
（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，将直线沿轴竖直向上平移2个单位长度得到直线，直线与该双曲线交于点．与轴交于点，若，则的值为（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】C
【详解】解：直线的表达式为，由平移的性质知，直线的表达式为，
当时，，
，
由直线与直线的表达式知，两条直线和轴所夹锐角均为，如图，过两点作轴的垂线，垂足为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
解得或（舍去），
．
故选：C．
【变式1-4】新考法02：求代数式的值
1．（2025·安徽滁州·三模）反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴
；
故选：A．
【变式1-5】难点03：双反比例函数线段问题
（2024·安徽马鞍山·三模）如图，是坐标原点，直线与反比例函数的图象分别交于点，且．
（1） ；
（2）过点作的垂线交反比例函数的图象于点，若，则点的坐标为 ．
【答案】 4
【详解】（1）如图，过A作轴交于D，过B作轴交于B，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案：4；
(2)设直线交y轴于点F，过点A作轴交y轴于点G，
∵，
∴，
设点坐标为，
∵，
∴，
∴（负值已舍），
∴，
∴，
∴反比例解析式为：，
∵过点A作的垂线交反比例函数的图象于点C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴
解方程组得和（舍去），
∴C点坐标为，
故答案为：．
【变式1-6】新趋势01：满足条件的结果开放
（2025·青海西宁·一模）根据反比例函数和一次函数的图象，请写出它们的一个相同点 ；一个不同点 ．
【答案】 图象都经过点（答案不唯一 ） 两个函数的图象的形状不同（答案不唯一 ）
【详解】解：∵，，
∴当时，，，
∴两个函数的图象都经过点；
∵的图象为双曲线，的图象为一条直线，
∴两个函数的图象的形状不同．
故答案为：图象都经过点，两个函数的图象的形状不同．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象：
①如果，那么；
②如果，那么或；
③如果，那么；
④如果，那么．则（ ）
A．正确的命题只有①B．正确的命题有①②④
C．错误的命题有②③D．错误的命题是③④
【答案】B
【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1，
∴三个函数图象的交点坐标为，
∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为，
∴如果，那么，命题①正确；
如果，那么或，命题②正确；
如果，那么a无解，命题③错误；
如果，那么，命题④正确．
故选：B．
2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【详解】解：联立得，解得（舍去负值），
∴，则，
∴点的坐标为，
∵点E为中点，
∴点E的坐标为，
由题意得，，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
故选：C．
3．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将线段沿x轴向右平移5个单位长度得到线段，与反比例函数的图象交于点N，点M在线段上，连接，．若四边形是菱形，则k的值为 ．
【答案】8
【详解】解：由平移性质得，
当时，，则；
∵四边形是菱形，
∴，
由题意，设，则，
解得(负值已舍去)，
∴，则，
∵点N在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：8．
4．（2025·安徽·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，轴于点．平移直线，使其经过点，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ．
【答案】
【详解】解：当时，，
∴，，
∵过点，
∴，
∴，
∴，
∵直线平移后经过点B，
∴设平移后的解析式为，
则有，
解得：，
∴平移后的解析式为：，
故答案为：．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为 ．
【答案】
【详解】解：当时，，解得，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，
设点A坐标为，
∴
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴点A坐标为，
∴，
解得，
故答案为：
6．（2025·新疆·二模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．若，，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：在中，∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵、两点在函数上，
将、代入得

解得，，
∴
设，过点作轴，垂足为，则，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
联立，
得，
∴，，
故答案为：．
7．（2025·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上，点是图像上的一个动点，当面积最大时，点绕点顺时针旋转，其对应点的坐标为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：延长交y轴于点A，过点N作轴于点D，过点作轴于点B，交于点C，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
设过点P平行的直线解析式为，当面积最大时，与函数相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
8．（2025·江苏盐城·三模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为
【答案】
【详解】解：设则，
设直线的解析式为：，代入，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴，
设直线的解析式为：，代入，
则，
解得：，
∴直线的解析式为： ，
∴，
∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
9．（2025·广东惠州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，点B在直线上，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过作直线的平行线：直线，
当直线与的唯一交点为，且直线时，最小，
联立，
∴，
整理得：，此时方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：（舍去），
∴直线，
如图，记直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当，则，当，则，则，
∴，，
∴，
∴，
记直线与轴交于点，
过作于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值；
故答案为：
10．（2025·安徽淮南·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点C，点C的纵坐标为4，直线与x轴交于点，与y轴交于点M，B为直线上一点，横坐标为，过点B作轴于点D，交反比例函数的图象于点H，G为反比例函数图象上一动点，过点G作于点E，作交y轴于点F．
（1） ；
（2）若点G在点C，H之间（不与点C，H重合）运动，当面积取得最大值时，的长为 ．
【答案】
【详解】解：（1）将点代入，得，
解得，
，
当时，得，
点，
将点代入，得，
解得．
故答案为：．
（2）轴，，
轴，
由题可知点H，E的横坐标为，反比例函数，
设点，且，
，
，
设直线的函数表达式为，将点代入得：，
当时，，
点，
延长交y轴于点N，易知轴，
，
，
，
当时，取得最大值，此时．
故答案为：．
题型二：反比例函数与几何图形综合
【中考母题溯源·学方法】
【例2】（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线，
∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
故选：．
【变式2-1】难点04：与矩形结合
（23-24九年级上·吉林长春·月考）如图，点，，以为边在第二象限作矩形，反比例函数的图象经过点C．若矩形的面积为10，则k的值为 ．

【答案】
【详解】解：∵点，，
∴，，
过作轴于，则．

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，则
即，
设，则，，
∵四边形的面积为10，
∴，则，
则，，，
∴点的坐标为，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】难点05：与直角三角形结合
（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，是直角三角形，度，，点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，则（ ）
A．9B．C．27D．
【答案】C
【详解】解：作轴，轴，则，
∵度，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A在反比例函数的图像上，若点B在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∴，
∵点在第一象限内，
∴；
故选C．
【变式2-3】难点06：与正方形结合
（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示：
，
设，
点A的坐标为，点B的坐标为，
四边形是正方形，且边长为3，
，点E为的中点，
，
在中，，
，
在和中，，
，
，
，
点D的坐标为，
又点B的坐标为，点E为的中点，
点E的坐标为，
反比例函数的图象经过点E，
，
在中，由勾股定理得：，
，
的面积为，
，
，
，
．
故选：D．
【变式2-4】难点07：与梯形结合
如图，梯形的顶点、在反比例函数的图像上，，上底在直线上，下底交轴于点，则四边形的面积为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【详解】将反比例函数解析式为，与y＝x组成方程组得：，
解得x＝ ，x＝−（负值舍去）．
代入y＝x得，y＝，得A点坐标为（，），
∴OA＝，∠AOE=45°，
∵，
∴∠OEB=∠AOE=45°，即是等腰直角三角形，
∵E（2，0），
∴OE=OB=2，B（0，-2），
∴BE＝2，
∴BE边上的高为，
∴梯形AOBC高为，
由点C的纵坐标y=1，代入，可得x=3，即：C（3，1），
∴BC=，
梯形AOBC面积=×（3＋）×＝3＋，
△OBE的面积为：×2×2＝2，
则四边形AOEC的面积=3＋−2＝1＋．
故选：D．
【变式2-5】难点08：与等腰三角形结合
（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，作轴于点，
∵，轴，
∴，，
∴，
∵反比例函数过点B，
∴，
∴，
解得，
∵反比例函数经过第二、四象限，
∴，
∴．
故答案为：．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·广西玉林·三模）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线、交于原点，于点，交于点，反比例函数的图象经过线段的中点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解∶四边形为菱形，
， ．
．
点C在x轴上，
点C的纵坐标为0．
点N为的中点，
点N的纵坐标为1，
设点，
点N在反比例函数反比例函数的图象上，
，解得．
．
．
．
在中，．
．
．
在菱形中，，．
，．
，
．
在中，．
故选：A．
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】D
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵，是双曲线上的两点，轴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵是的中点，的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（ ）
A．25B．26C．D．
【答案】D
【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为，
则点B的坐标为，点D的坐标为，
又∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴点F的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，
解得，
∴
，
故选：D．
4.（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】C
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，等腰中，．若点，点在轴上，点在的图象上，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过作轴于，则
∵等腰中，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，即点纵坐标为，
∵点在的图象上，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，
∴点的坐标为，
故选：C．
6．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（ ）
A．15B．12C．9D．6
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，
∴，
同理，即．
∴，
∵，
∴，即．
∵，
∴．
∴，即．
由图象可知，，
∴，
∴．
故选：D．
7．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，
∴
∴，即与的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当与的面积相等时，如图，连接，
∴
∴在直线上，则重合，
∴与的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,
如图
当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
8.（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：①∵A，，
∴，
∵矩形的顶点B在函数的图象上，
∴，故①正确；
②和、分别交于M和N两点，
∵点B、点D在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③随着线段向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以的最小值逐渐趋向于的长度，故③错误；
④向右平移的过程中与变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：C．
9．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，
点、在双曲线上，
∴，
轴，轴，轴，
∴，
∵，且共底，
∴在上的高相等，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵双曲线经过第二象限，
∴，
故选：C．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，交于点，过点作轴于点F，如图所示：
四边形为菱形，
和互相垂直平分，
点在双曲线上，点在双曲线上，
，，
，，
四边形的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：过点作轴，垂足为点，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵顶点D在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
12．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则 ．
【答案】12
【详解】解：在中，点C为的中点，，
，
点B的坐标为，
，
，
，
点C的坐标为，即，
反比例函数的图象经过点C，
，
故答案为：12．
13．（2026·陕西·一模）如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图象恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则 ．
【答案】
【详解】解：过点作，垂足为，则，
在中，，，
，
又，
，
设，则，
点，，
又反比例函数的图象恰好经过点，．
，
解得，，，
故答案为：．
题型三：反比例函数与一次函数、几何图形结合
【中考母题溯源·学方法】
【例3】（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ．
【答案】20
【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积是；
故答案为：20．
【变式3-1】难点09：与正方形结合
（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线交轴负半轴于点，且，则直线的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作轴，轴，易证，进而得到，等角的余角相等，得到，进而得到，设，则：，设，则：，根据点在反比例函数上求出的值，进而求出点坐标，点坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：作轴，轴，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，则：，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∵点，点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
当时，，
∴，
∴，即：，
设直线的解析式为直线，
则：，解得：，
∴；
故选C．
【变式3-2】难点10：与矩形折叠结合
（2024·广东·中考真题）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【详解】（1）设，则，
∵轴，
∴D点的纵坐标为，
∴将代入中得：得，
∴，
∴，
∴，
∴将代入中得出，
∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点在直线上，
∴，
∴，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数的图象经过点A，C，
∴，，
∴，
∴，
∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，
∴，，
∴，
如图，过点D作轴，过点B作轴，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，，
∴，
由图知，，
∴，
∴；
（3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形，，
∴，，，
∵轴，
∴直线为一，三象限的夹角平分线，
∴，
当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，长为半径作，，
∴，
∴，
∴，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，
∵,
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴,
∴当与的边有交点时，k的取值范围为．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·山东日照·一模）如图，正方形的顶点在轴上，点A和点C在反比例函数图象上，若直线的函数表达式为，则的值为 ．
【答案】6
【详解】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为．
（1）的值为 ；
（2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为 ．
【答案】 3
【详解】（1）点在直线上，
；
故答案为：3；
（2）由（1）得，
∵矩形，
∴，，，，
∵轴，
∴，轴，
∵，
∴点的横坐标为1，点纵坐标为3，
函数的图象经过点，，
，，
，
，
把矩形沿折叠，点的对应点为，
，，
，
如图，延长交轴于点，延长交轴于点，
轴，
轴，轴，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，由图知，，
，
解得．
故答案为：
3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出时，的取值范围；
(3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
∴点A的坐标为，
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由（1）可得，，
根据图象可知，时，的取值范围为或；
（3）解：如图，连接，交于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴点是线段、的中点，
∵，，
∴，
∴点P的坐标为．
4．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上．
(1)求，，的值．
(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值．
(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值．
【详解】（1）解：∵在直线上，
∴，即．
将代入得，
∴．
∴直线即为．
令，则，
∴．
的坐标为．
∴．
综上所述，．
（2）解：设点C的坐标为．
若和为对角线，
根据平行四边形对角线互相平分可得：，
解得
∴，
把代入得：．
若和为对角线，同理可得，．
若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意．
故点C的坐标为或，．
（3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．
∴．
∴．
设，，则，．
∴，，，，
∵，，
∴，
∴．
∴．
解得，
．
∵点E与点D关于y轴对称，
∴．
∵，
∴直线表达式为．
将代入得，
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
∴，．
直线的表达式为．
∵有且只有一点，使得，
∴直线与只有一个交点，
联立方程组
消去，整理得．
．
解得．
5．（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若．
①求线段的长；②求的面积．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
∴反比例函数的表达式为．
把点代入，得
，解得．
∴点．
把点，分别代入，得
，解得．
∴一次函数的表达式为；
（2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∴．
∴．
∴．
∵，点，
∴，，．
∴，解得．
∵点在反比例函数的图象上，
∴当时，．
∴点．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∴的长为；
②∵点，，
∴，．
由①知，
∴，即，解得．
∴．
∴
．
∴的面积为．
6．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求、的值；
(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接．
①求的面积；
②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，
∴点的坐标为，
把代入得，，
解得，
∴，．
（2）解：设直线函数解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线函数解析式为，
由得，，，
∴点的坐标为，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴点的坐标为，
如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点，
∴．
②设点，，
∵，，点、、、构成平行四边形，
当和为对角线时，有，如下图：
点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到，
故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到，
∴点的纵坐标为6，即，
∴，
∴点的坐标为；
当和为对角线时，有，如下图：
点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到，
∴点的纵坐标为2，即，
∴，
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
7．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下：
设点，
∵点C关于直线的对称点为点E，
∴，平分，
如图，连接交于H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴于D，
∴轴，
∴，
∵，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，，
代入得，
，
解得；
②∵点在轴上，
∴，，
∴，
∴，
∴，当且仅当、、三点共线时取等号；
延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点；
由①知，，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故当最大时，点P的坐标为．
8．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为．
(1)求，的值．
(2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为，
∴，，
解得：，，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，
∴，
∴，
∴、、三点共线时有最小值，为，
∴的周长最小，为，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为．
（3）解：由（1）得，
∴反比例函数解析式为，
∵直线交反比例函数的图像于点（异于），
∴设，直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
当时，，整理得（舍去），
当时，，整理得（舍去），
当时，，
解得：，
∴，
∴点的坐标为．
9．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标；
(3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
【详解】（1）解：把代入得，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：令，，
∴，
∴，，，
，，
∴，
取点，则，连接，，
∴，，
过作交的图象于点，此时，
∵直线的函数表达式为，
∴设直线的函数表达式为，
代入得，
∴直线的函数表达式为，
联立，解得（负值舍去），
∴；
（3）解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则，
过作轴于，
由（2）得，，
∴，
∴，即，
∴，
当在点下方时，过作交直线于，过作轴于，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，，
∴；
当在点上方时，过作交直线于，过作轴于，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，，
∴；
综上所述，或．
10．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且．
(1)求k的值；
(2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积；
(3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标．
【详解】（1）解：如图，设线段交轴于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则
,
解得，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵对应点D落在轴上，
∴向下平移4个单位，
∵的对应点为点，
∴点的纵坐标为
∵点C落在反比例函数的图象上，
∴
∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C，
∴，
∴，
∴四边形的面积为；
（3）解：设，，
直线的解析式为，
当点在第三象限时，
当点是的中点时，，
∴，
解得或（舍去）
∴，
当时，，，
∴
∴
∴，
解得（舍去）或
∴，
当点在第一象限时，
当时，，，
∴
∴
∴，
解得或（舍去）
∴，
当点是的中点时，，
∴，
解得（舍去）或，
∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍．
综上可知，或或
11．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，．
(1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标；
(2)如图2，当，连接，时，求m的值；
(3)当时，若，求b的值．
【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为，
，
点是的中点，且，
，
解得，
，
把点代入反比例函数解析式得，，
解得，，
反比例函数解析式为，
把点代入一次函数解析式得，，
解得，，
一次函数解析式为，
联立反比例函数、一次函数解析式得，，
解得，，，
；
（2）解：当时，同理，，
点是的中点，且，
点的横坐标为，纵坐标为，即，
点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，
，，
解得，，，
一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，，
，
如图所示，过点作轴于点，
，，
，，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，即，
，
，
整理得，，
，
解得，或，
或，
解得，或；
（3）解：当时，一次函数解析式为，
把点代入得，，
，则，
，则点，，
，
把点代入得，，
，
反比例函数解析式为，
，
解得，，，
，
当时，，即设一次函数与轴交点，
，
同理，，
，
，则，
设直线的解析式为，
，
解得，，
直线的解析式为，
当时，，即，
由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
，
当时，，
，，如图所示，
当时，，
，，如图所示，
若，的值为或．
12．（2025·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，D为中点．某反比例函数过点D，且与直线交于点E．
(1)点E的坐标为__________________．
(2)好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，交该反比例函数图象于点R．若，点P横坐标为关于x的图像如图2，其中图像最低点横坐标分别为．
①求与x之间的函数关系式．
②写出该函数的两条性质．
(3)已知
①若关于x的方程有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：由得是关于的二次函数，根据的范围可以求出的取值范围．请你完成解题过程．
②若关于x的方程有解，请直接写出m的取值范围．
【详解】（1），
设反比例函数解析式为，直线OC的解析式为，
将点代入得，
解得：，
反比例函数解析式为，
将点C代入得，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
点E在第一象限，
；
（2）①反比例函数解析式为，直线的解析式为，点P横坐标为x，
当时，
当时，；
②由图可知：
该函数图象关于y轴对称；
当时，随x的增大先减小后增大；
（3）①二次函数开口向上，对称轴为，
在的情况下，当时，有最小值，
当时，，
②当时，关于x的方程有解，
当时，二次函数与x轴有交点，
二次函数开口向上，对称轴为，
当时，，解得：，
或当时，，解得：，
且当时，，解得或，
综上，m的取值范围为．
13．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，．
(1)求点的坐标及的值；
(2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式；
(3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标．
【详解】（1）解：（1）∵直线分别与轴，轴交于，两点，
当时，；
当时，．
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，直线的解析式为，
如图1，过点作轴于点，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数y的图象上，
∴，
∴．
答：，．
（2）解：设，，且，
过点作轴于点，过点作轴于点，如图2，
则，， ，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴， ，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图3，设直线交轴于点，连接，过点作轴于点，
由（2）知：直线的解析式为，
则，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
由图象可知，当点从点运动到点时，逐渐减小，
，
．
，点关于轴的对称点为，
当点在的延长线上时，点在的延长线上，此时点与点关于点中心对称，
∴点的坐标为．
14．（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点A、B代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
∵直线与反比例函数交于C点，
∴A、C关于原点对称，
∴，
∴O是的中点，
∵的面积为8，
∴的面积，
设，
∴的面积，
当时，解得，
∴；
当时，解得，
∴；
综上所述：M点的坐标为或；
（3）解：存在点Q，理由如下：
设，，
当为对角线时，，
解得，
∴；
当为对角线时，，无解；
当为对角线时，，
解得，
∴；
点在反比例函数的图象的右支上，
∴．
15.（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标；
②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标．
【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则
，解得，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
则，；
（2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
∵点D的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
则，
那么，点；
②一次函数的图象与y轴交于点C，
令，则，
∴，
∵，
∴，
过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
∵点，
∴，
∵，
∴点M与点K重合，，
∴点，
设直线的解析式为，则
，解得，
∴，
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵D为反比例函数图象上的一点，
∴，解得，或，
∵D的横坐标大于1，
∴，
∴，
故点．
16．（24-25九年级下·广东中山·期中）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线（）上第一象限内的两个动点（），以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A．
【构建联系】
(1)求证：函数的图象必经过点C．
(2)如图2，把矩形沿折叠，点A的对应点为E．当点E落在x轴上，且点B的坐标为时，求k的值．
(3)【深入探究】如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围．
【详解】（1）解：设，则，
∵轴，
∴D点的横坐标为，
∴将代入中得：，
∴
∴，
∴，
将代入中得，
∴，
∴函数的图象必经过点C；
（2）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴A点的横坐标为2，C点的纵坐标为1，
∵函数的图象经过点A，C，
∴，，
∴，
∴，，
∵把矩形沿折叠，点A的对应点为E，
∴，，
∴，
如图，过点D作轴，过点B作轴，
∵，
∴H，F，E三点共线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，，
∴，
由图知，，
∴，
∴；
（3）解：∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，，，
∵轴，
∴直线为一，三象限的夹角平分线，
∴，
当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，
∵轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，长为半径作， ，
∴，
∴，
∴，，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当过点A时，根据A，C关于直线对称可知，必过点C，
如图所示，连接，，过点D作轴交y轴于点H，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当与的边有交点时，k的取值范围为．
题型一：反比例函数与一次函数综合
难点01：求不等式解集
难点02：交点问题
新考法01：结合直线平移求距离
新考法02：求代数式的值
难点03：双反比例函数线段问题
新趋势01：满足条件的结果开放
题型二：反比例函数与几何图形综合
难点04：与矩形结合
难点05：与直角三角形结合
难点06：与正方形结合
难点07：与梯形结合
难点08：与等腰三角形结合
题型三：反比例函数与一次函数、几何图形结合
难点09：与正方形结合
难点10：与矩形折叠结合
解决反比例函数与一次函数交点问题:
1.若解析式直接求解不出来，可构造直角三角形，用锐角三角函数转化线段关系求解;若已知一次函数和反比例函数解析式求交点，联立方程组求解即可.
2.题中存在直线平移/平行时，要注意平行的直线，k值相等.
正比例函数与双反比例函数问题中，已知线段数量关系，求k的比值的解题步骤:
1.设其中一个交点的横坐标，根据k=xy表示出纵坐标;
2.构造相似三角形，根据相似比列等量关系求解.
1.反比例函数与几何图形结合求k值的一般步骤:
步骤一:根据反比例函数解析式设出几何图形上的点坐标(a，);
步骤二:利用几何图形的a性质转化点的坐标;
步骤三:根据k=xy联立方程求出参数a的值，得k的值.
2.遇到直角三角形、矩形、正方形各边不在坐标轴上，且不平行坐标轴时,通常要作坐标轴的垂线，构造“一线三垂直"模型解题.
注:若为等腰直角三角形，正方形时，则三角形全等.
看到坐标系中正方形，要想到过图象上点作垂线，构造“一线三垂直”全等模型，具体如下:条件:正方形ABCD
结论:△AEB≌△BFC