专题18圆的有关性质（知识清单）（5大考点+12大题型+3大易错+5大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（5个核心考点）
考点01圆的有关定义
考点02垂径定理及其推论
考点03弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系
考点04圆周角定理及推论
考点05圆内接四边形
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型）
题型01圆的基本性质 题型02利用垂径定理求值
题型03垂径定理的应用 题型04垂径定理与平行弦问题
题型05弧、弦、圆心角之间的关系 题型06圆周角定理
题型07圆周角定理的推论 题型08圆内接四边形
题型09圆有关性质的计算与证明 题型10圆的新定义问题
题型11圆与三角形、四边形综合问题 题型12圆与函数综合问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点）
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01不能正确理解圆周角而出错
易错点02用勾股定理解决平行弦问题
易错点03利用圆的对称性求最值
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧）
技巧01：构造直角三角形，利用垂径定理解决问题
技巧02：弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用
技巧03：圆周角的有关计算与证明综合问题
技巧04：利用圆内接四边形的性质进行计算或证明
技巧05：圆中求角、线段常用的辅助线
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
1.了解圆、弧、弦、直径、等圆、等弧的的概念.理解圆的对称性.
2.探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧，并能用垂径定理解决简单的实际问题
3.了解圆心角的定义，理解弧、弦、圆心角之间的关系
4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论.
5.了解圆内接四边形，理解圆内接四边形的性质
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圆的定义：
运动观点：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
集合观点：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.
总结：确定圆的两个条件
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
3.直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍
注意：
①在一个圆上可以画无数条弦和直径.
②直径是弦，但弦不一定是直径，直径是最长的弦.
4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
5.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
弧用符号“⌒” 表示， 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧
注意：半圆是弧,但弧不一定是半圆.
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1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
2.推论：（1）平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧.
3.圆的对称性：
圆是轴对称图形：经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.
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1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角.
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点04圆周角定理及推论
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3、推论:
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：如果三角 形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
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（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
题型01圆的基本性质
【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆B．长度相等的两条弧是等弧
C．三角形的内心是三条边中垂线的交点D．直径是弦
【变式练习】
1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦B．长度相等的两条弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等D．平分弦的直径垂直于弦
2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．平面上三个点确定一个圆
B．等弧所对的圆心角相等
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
题型02利用垂径定理求值
【典例2】（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长．
【变式练习】
3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（ ）
A．B．C．6D．10
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2026·陕西·一模）如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ．
题型03垂径定理的应用
【典例3】（25-26九年级上·吉林·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），赵州桥是我国古代石拱桥的代表．图2是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，，为半径，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径．
【变式练习】
6．（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（ ）
A．1米B．米C．2米D．米
7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ．
8．（2025·广东广州·二模）在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为、深的小坑，则该铅球的直径为 ．
题型04垂径定理与平行弦问题
【典例4】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ）
A．或B．或C．D．
【变式练习】
9．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（ ）
A．7B．17C．7或17D．无法计算
10．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（ ）
A．B．C．或D．或
11．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦．
(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径；
题型05弧、弦、圆心角之间的关系
【典例5】（2026·陕西西安·一模）如图，AB，为的直径，点E为的中点，连接，若，则的度数为 ．
【变式练习】
12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为 ．
题型06圆周角定理
【典例6】（25-26九年级上·重庆南川·期末）如图，是四边形的外接圆，对角线，交于点，且平分，若的半径为，则 ， ．
【变式练习】
15．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）如图，点，，在上，，的度数是（ ）
A．B．C．D．
16．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，内接于是的直径，若，则的度数是（）
A．B．C．D．
17．（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为 ，的长度为 ．
题型07圆周角定理的推论
【典例7】（2026·浙江·一模）如图，四边形内接于，，连结，若与的面积相等，则的长为 ．
【变式练习】
18．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
19．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ）
A．B．C．D．
20．（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为 ．
21．（2025·四川绵阳·一模）如图．内接于，连，点D在上，连，交于，，过D作于F，交于G，若，，，则的长是 ．
题型08圆内接四边形
【典例8】（2026·安徽·模拟预测）如图，四边形内接于，过、分别作的切线，交于点，若，则的度数为 ．
【变式练习】
22．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
23．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2025·江苏连云港·二模）如图，点A，B，C都在上，若，，则的度数为 °
题型09圆有关性质的计算与证明
【典例9】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，以为直径的分别与，交于D，E两点，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，求的面积．
【变式练习】
25．（2026·安徽·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D为上一点，连接并延长到点E，弦交于点H，连接交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
26．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，是的直径，，为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
27．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）点B，C在以点O为圆心，为半径的上，连接，．

(1)如图①，求证：平分；
(2)如图②，D为弦下方上一点，连接，E是上一点，，过点E作交于点F，连接，求证；
(3)如图③，在（2）的条件下，若为的直径，的面积为8，，求的半径．
题型10圆的新定义问题
【典例10】（2025·宁夏银川·模拟预测）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点”．如图1，中，点E是边上一点，连接，若，则称点E是中边上的“平方点”．
(1)如图2，已知在四边形中，平分于点，求证：点E是中边上的“平方点”；
(2)如图3，是的内接三角形，点E是中边上的“平方点”，延长交于点D，若，求证：；
(3)如图4．在中，，过点A作于点D，点E是边上的“平方点”，求线段的长．
【变式练习】
29．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
(1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ．
(2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形．
(3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
30．（2026·陕西西安·一模）【定义新知】
婆罗摩芨多是公元世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．
【理解运用】
（）如图，四边形为的内接四边形，连接、、、、、，与交于点，已知．试说明：四边形是“婆氏四边形”；
（）如图，在中，，以为弦的交于，交于，连接、、．其中，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长；
【问题拓展】
（）如图，某公园欲规划一个圆形景观区，并在其内部设计一个四边形区域，作为花海，其中点、、、均在上，、为花海内两条笔直的观光通道．根据设计要求，四边形是“婆氏四边形”，且与的长度之和为米．为了节约成本，要求圆形景观区的面积尽可能的小，请问圆形景观区的面积是否存在最小值？若存在，请求出圆形景观区面积的最小值；若不存在，请说明理由．
题型11圆与三角形、四边形综合问题
【典例11】
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点D，交于点E，过点B作的垂线，垂足为F，交于点G，交于点H，连接，点M为上一点且，连接，延长交于点P，连接，若，求的长．
【变式练习】
31．（24-25九年级下·浙江·月考）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，经过圆心O，．
①求的值；
②若，求的半径．
32．（2025·浙江杭州·二模）如图，是的直径，C，D均为圆上的点（C在上方，D在下方），过点D作垂线，分别与，交于点E，F，且．
(1)求证：；
(2)若，且，
①求的值；
②求的长．
33．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T．
(1)如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证．
(2)在（1）的条件下，若，，求的半径．
(3)如图①，连结，若，，求的值．
题型12圆与函数综合问题
【典例12】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是内接三角形，连接．
12．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图1，直线l： 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点 以点A为圆心，AC长为半径作 交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交 于点F.
(1)求直线l的函数表达式和的值；
(2)如图2，连结CE，当 时，
①求证：∽ ；
②求点E的坐标；
【变式练习】
34．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接．
(1)当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________；
(2)点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围；
(3)若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值．
35．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点，与轴、轴分别交于两点，点坐标为，为弧的中点．点，关于点成中心对称．
(1)求点的坐标；
(2)点从点开始在折线段上运动：点从点开始在射线上运动，两点的运动速度均为个长度单位每秒，设运动时间为．的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)在（）的条件下，若，求直线与相交所得的弦长．
36．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点．
(1)若点，点，求的值；
(2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
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【错因】对于在求圆周角时，没有正确的讨论
【避错关键】在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题，一条非直径的弦所对的圆周角有两种情况：①顶点在优弧上的圆周角；②顶点在劣弧上的圆周角.由此在图形不确定的情况下，常忽略其中的一种情况而导致出现丢解的情况.
【典例】
1．已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ．
2．直线与相切于点B，C是与线段的交点，D是上的动点（点D与B，C不重合），若，则的度数为 ．
3．在中，，，．以为斜边作等腰直角三角形，连接，则的长为 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02用勾股定理解决平行弦问题
【错因】对于图形不明确，没有进行分类讨论
【避错关键】对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论，避免只考虑一种情况，漏掉另一种情况，从而导致漏解.
【典例】
4．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ．
5．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么
AD = ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点03利用圆的对称性求最值
【错因】不能将线段的最值转化为相应的模型
【避错关键】形如“圆上两动点 A,B，求 PA+PB 最值”（P 为定点） 若 P 在圆外，且A,B 在圆上满足某个约束（如 AB 为直径、或 AB 过圆心等），常利用圆的对称性将折线化为直线。
【典例】
6．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为的中点，，则的最小值是（ ）
A．B．4C．6D．
7．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
8．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：构造直角三角形，利用垂径定理解决问题
【典例】
1．装有水的半圆柱体水槽放置在水平台面上，图1，图2是其横截面，是半圆的直径，为水面截线，为台面截线，且，直径．
【问题解决】
（1）在图1中，已知，作于点，求的长．
【操作探究】将图1中的半圆水槽沿向右滚动倾斜，使水流出一部分后，当时停止滚动，此时点与点重合，如图2，设半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
（2）则操作后水面高度下降了多少；
（3）连接并延长交于点，求线段长度．
2．如图1，是的直径，弦于点E，G是上一点，，的延长线交于点F，作于点H．
(1)求证：；
(2)如图2，若，平分，则的值为 ；
(3)猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：弦、弧、圆心角三者的关系定理及推论的应用
【典例】
3．如图，的半径为，和是的两条弦，且．
(1)若，的长度为，求的度数；
(2)如图，若是的直径，是上一点，连接和，于点，若，，求的长．
4．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：圆周角的有关计算与证明综合问题
【典例】
5．如图，点D是外接圆上的一点，于G，连接．过点B作直线交于E，交于F．若点F是的中点．
(1)求证：；
(2)当时，求的半径；
(3)若，连接．请你探究与之间的数量关系，并证明．
6．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接．
(1)求证：平分；
(2)如图2，若点是的中点，求弦所对的圆周角的度数；
(3)如图1，如果将的面积分别记为，如果，请证明点为线段的黄金分割点．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：利用圆内接四边形的性质进行计算或证明
【典例】
7．如图，已知的半径为4，等边内接于，点P是圆周上一动点，从点A开始沿圆周逆时针方向运动一周再回到点A．
(1)如图1，当点P在上运动时（不包含A，B两点），求证：平分；
(2)在点P的运动过程中，当时，求的度数；
(3)如图2，当点P在上运动时（不包含B，C两点），交弦于点E；
①求证：，是关于x的方程的两根；
②当的值最大时，求四边形的面积．
8．如图，等边三角形内接于，连接并延长交于点D．点E在上，连接并延长分别交与的延长线于点F，G，且．H为的中点，连接分别交，，于点M，P，N．
(1)求证：；
(2)求证：为的中位线；
(3)求的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧05：圆中求角、线段常用的辅助线
【典例】
9．如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、．

(1)证明：；
(2)若，求的度数；
(3)设E是的中点，若，求的长．
10．如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，，
①当时，求的长；
②若恰为的直径，则的长为 ．
11．如图，四边形内接于是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由．
12．如图，在中，，以为直径的分别交，于点E，F，是的切线，交于点M．
(1)求证：；
(2)过点B作，交于点D，连接，若，求的长．
13．如图，是的直径，点是上一点，连接，，．
(1)如图①，已知，当时，求和的度数．
(2)如图②，为切线，交于点G，已知，求的长．
14．如图1，四边形内接于，是的直径，且．
(1)求证：．
(2)如图2，过点D作，交的延长线于点E．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
一、单选题
1．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（ ）次．
A．1B．2C．4D．8
2．（25-26九年级上·全国·课后作业）有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023·浙江杭州·二模）如图，是的直径，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东·二模）如图，是的弦，的半径为，为上一点，，则的长为（ ）
A．2B．3C．3D．6
5．（24-25九年级·安徽·月考）如图，是的直径，C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
7．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．点D为弦中点D．点E为劣弧的中点
8．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，以原点为圆心的圆交轴于，两点，交轴正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
9．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·四川绵阳·一模）如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是 ．
12．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ．
13．（2025·陕西·中考真题）如图，点在上，若，则的度数为 ．
14．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ．
15．（2026·福建福州·一模）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接交于点，连接交于点，若，则的值是 ．

16．（2024·湖南·模拟预测）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为 ．
三、解答题
17．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹．
如图，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径．
18．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图1中，过点作直线的平行线；
(2)在图2中，过点作直线的垂线．
19．（2025·宁夏中卫·二模）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：；
20．（2025·河南周口·模拟预测）如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，小明想知道四边形一组对角的平分线有怎样的位置关系，于是就作出的平分线交于点．
(1)请你用尺规作图作出的角平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)探究：与的位置关系，并说明理由．
21．（2023·陕西西安·一模）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的直径．
22．（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D．
(1)求的半径．
(2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值．
23．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果；
(1)求证：．
(2)连接，求证：．
24．（2025·云南·模拟预测）如图1，点，，都在上，且平分，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，是的直径，与相交于点．
①若，，求的半径；
②若于点，求证：．
《方法技巧》
涉及圆中的弦、圆心到弦的距离、半径、孤、中点等问题，通常连半径或作垂直于弦的直径，构造直角三角形，应用垂径定理解决问题，或者在半径、圆心到弦的垂线段和弦的一半所组成的直角三角形中，利用
勾股定理构造方程求出未知线段的长解决问题
《方法技巧》
弧在弦、弧、圆心角三者中的桥梁作用，孤在圆的证明和计算中往往起到一个桥梁的作用.在圆中，当遇到等孤时，常常先转化为等角或等弦，再进一步求解或证明，
《方法技巧》
见“直径”，找直角三角形：直径所对的圆周角是直角，是圆中重要的性质定理.在圆中遇到“直径”，常构造直角三角形，利用直角三角形的性质及勾股定理解决问题
《方法技巧》
1.判断是否为圆内接四边形——已知条件或者先证明四点共圆。
2.若需求线段长或乘积，考虑：相交弦定理（对角线与弦的交点分线段乘积相等） 托勒密定理（对角线乘积 = 对边乘积之和）
3.与相似三角形结合：利用同弧圆周角相等找相似三角形。
《方法技巧》
遇到弦时，常添加弦心距
遇到直径时，常添加直径所对的圆周角