专题06 二次函数与几何综合（4大题型6难点1新考法2易错，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：线段问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
【变式1-1】难点01：涉及斜线段利用锐角三角函数转化求解
（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；

如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．

【变式1-2】难点02：涉及线段比例关系利用相似转化求解
（2025·湖北·一模）已知抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，分别是第一象限内抛物线上两点，且，求的取值范围；
(3)如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，点G是第四象限内抛物线上一个动点，过点作的平行线，分别交x轴，y轴，于点D，E，F．
①求线段的最大值；
②在点运动的过程中，是否存在点恰好是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得，
所以抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）可知：，
∴当时，随的增大而增大，
令，则，解得或，
∴二次函数与轴的交点为，
∴在第一象限内，抛物线上的点的横坐标大于6，且随的增大而增大，
∵，分别是第一象限内抛物线上两点，且，
∴，
解得．
（3）解：①如图，过点作轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
将代入二次函数得：，即，
∴，
∴，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
∵点是第四象限内抛物线上一个动点，
∴当点为抛物线的顶点时，的值最大，最大值为，
∴的最大值为．
②设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
∴可设点的坐标为，
∵，
∴可设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
将代入函数得：，即，
如图，过点作轴于点，
∴轴，，，，
∴，
∵点恰好是线段的三等分点，
∴点位于轴正半轴上，且或，
∴，且，即，
又∵轴，
∴，
∴，
∴或，
解得（符合题意，且是所列分式方程的解）或（符合题意，且是所列分式方程的解），
∴或，
综上，在点运动的过程中，存在点恰好是线段的三等分点，此时点的坐标为或．
【变式1-3】难点03：利用二次函数性质求线段最值
（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）．
①若，求点坐标；
②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值．
【详解】（1）解：与轴交于、，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）∵，
∴，
设，则，
，，
①，
，
解得：（舍去）或，
；
②∵
∴直线解析式为，
∴，
，
设矩形周长为，
则，
∴当时，的最大值为．
【变式1-4】新考法01：新定义型阅读理解题
（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”．
(1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______．
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标．
(3)在（）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围．
(4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值．
【详解】（1）解：∵点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”，
∴把代入，得，
即，
解得，
∴平衡点的坐标为或，
故答案为：或；
（2）解：把代入，得，
整理得，，
∵二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，
∴，
∴①，
∵“平衡点”为，
∴，
整理得，②，
联立①②，得，
解得，
∴二次函数关系为，
∵，
∴顶点坐标为；
（3）解：由（）可得，，，
∴，
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，如图，
当时，，
解得，
当时，，
∴；
（4）解：把代入，得，
整理得，，
∵关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，
∴，
解得，
∴，
由，整理得，
解得，
∴，
把代入，得，
整理得，，
∴，
解得，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
综上所述，．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
【详解】（1）解：①∵，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②设直线的解析式为，将点A、B代入得：
，解得：，
∴，
∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
∴，，
∴，
由题意得：，
∴当时，取得最大值为9；
③∵，，
∴当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
（2）解：不发生变化，理由如下：
∵抛物线经过、两点．
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵点是线段上的动点，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致，
∴问题（1）中③的结论未发生变化．
2．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将代入抛物线中，得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为：．
（2），
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
（3）存在．
解：连接交对称轴于点，连接，
两点关于抛物线的对称轴对称，
直线与的交点即为点，此时的周长最小，
，抛物线交轴于点，
当时，，即，
设直线的解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
的解析式为：，
在对称轴上，
当时，，即．
3．（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点．
(1)若已知．
①求抛物线的顶点坐标；
②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标；
(2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标．
【详解】（1）解：①由题意，抛物线过，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
②如图所示，
由与y轴相交于点C，可知，
设经过B，C两点的直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，点P的坐标为；
（2）解：如图所示，
由和，得中点，
由题意与平行且相等，可知与平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
作点E关于x轴的对称点，
取得最小值时，即为点C，，三点共线时，
此时，
设经过，C两点的直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
此时点的坐标为．
4．（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值．
(3)若时，总满足，求t的取值范围．
【详解】（1）解：将点、、代入，
得，
解得：，
则二次函数解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
则直线的解析式为，
过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，
则，，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）解：∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
令，则，
解得：或，
若时，总满足，
则或，
∴或．
5．（2025·贵州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征；
(3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，
将点代入，
则，即，
解得：，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点，
∴抛物线图象的对称轴为，
设有别于的抛物线的表达式为，
∵抛物线的函数表达式为，
∴，
∴有别于的抛物线的表达式可以为或（答案不唯一），
它们的表达式的共同特征是与x轴交于两点；
（3）解：∵是平行于x轴的直线，直线与抛物线交于E，F两点，
∴轴，
联立，则，
∵，
∴，即，
设为方程的两个实数根，
∴，
∴，
∵线段的长度为5，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴（符合题意）．
6．（2026·湖北·模拟预测）新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是．
(1)求抛物线上存在的“美点”；
(2)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求k的值；
(3)若关于x的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离．
【详解】（1）解：根据题意得 ，即，
解得：或，
抛物线上存在的“美点”是或；
（2）解：根据题意得方程有两个根，即方程有两个根，
，
，，
两个“美点”的坐标分别为，
两个“美点”之间的距离为，
；
解得；
（3）解：根据题意得方程，即方程只有一个根，
，
解得，
，
，即
解得：，
，
，，
，，，
，，
是直角三角形，
，
为的中点，
，
，
如图，点在中位线上时，作
，，
，
根据旋转的性质得，
，
点到的距离为；
当点在中位线上时，
点到的距离为；
如图，当点在中位线上时，
点到的距离为，
综上所述，点到的距离为或或．
题型二：面积问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，

∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
【变式2-1】（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求A、B、F三点构成的三角形的面积；
(3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标．
【详解】（1）解：由题意，将、代入中，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2），
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
连接，
∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：；
（3）解：根据题意，设点D坐标为，则，
∵、，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，此时点D坐标为．
【变式2-2】难点04：利用二次函数性质求图形面积最值
20．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点
(1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式；
(2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值；
(3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围．
【详解】（1）解：∵该二次函数图象的顶点坐标为
∴设二次函数为，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）解：由题意，，且抛物线过点，
，
，
∴抛物线为，
∴对称轴是直线，与y轴交点C的坐标为，
∴另一交点B的横坐标，即坐标为，
的面积，
在内，当时，S取得最大值；
（3）解：由题意，，且抛物线过点，
，
∴抛物线为，
∵点，，
线段所在直线为，
联立方程，
，
∴当判别式时，，
解得，
此时二次函数与线段只有一个交点，
当时，，
当时，，
又∵当方程在内仅有一根，
，
或，
综上，b的取值范围为或或．
【变式2-3】难点05：转化面积之间的关系求解
（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：在中，当时，则，
解得或，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
设，则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，的面积分别为，，
∴，
，
∴
，
∵点P是抛物线在第四象限内的一点，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为；
（3）解：原抛物线的函数解析式为，则顶点坐标为，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，
则图象G对应的抛物线的顶点坐标为，
∵将图象G沿直线平移，得到新的图象M，
∴图象M对应的抛物线的顶点在平行于的直线上运动，即在直线上运动，
图象对应的抛物线的顶点坐标为，
∴图象对应的抛物线解析式为，
当图象过点（由（2）可得点A坐标）时，
，解得 或；
当图象过点时，
，解得或；
∴由函数图象可知，当时，符合题意；
同理可得直线的解析式为，
当抛物线与直线恰好只有一个交点时，
联立得，
即；
则，
解得，
∴，
∵，
∴此时抛物线与直线的交点恰好在线段上，符合题意；
综上所述，的范围是或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
解得：，，
当时，；当时，，
∴，．
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大为，
∵把代入点中，
∴点；
（2）由（1）得，当时，有最大值，
∴将代入点得：点，
∵，，
点的中点坐标为点，即点，
∴点和点重合，
∴当面积最大时，点为线段的中点；
（3）猜想：当直线过线段中点时（或），最大．
证明：设抛物线解析式为：，直线：，
直线与抛物线交于两点，设，
∴则方程的解为：，，
∵点在抛物线上，
∴设点，
∵轴，
∴，
∵点在直线上，
∴点，
∴，即为关于的二次函数，
∵当时，，，
由二次函数对称性知，当时，有最大值，
∵
∴当时，有最大值，
∴，即点为线段中点．
∴当直线过线段中点时（或），最大．
2．（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为．
(1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标；
(2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值；
(3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴；
∵抛物线交轴于点，
∴，即，
将和代入，得；
∴，；
（2）解：设平移后的抛物线为，
∵新抛物线与轴的交点为，
∴，
∵抛物线交轴于点，
∴，即，
∴，
∵，
∴点A到y轴的距离为3，
∴，
∵的面积为6，
∴，解得：，
∵新的抛物线的最高点为点B，
∴新抛物线的开口向下，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，即抛物线开口向上，
∴，
∵，，
∴，
设，
如图，当点P在点A上方时，过点A作交直线于点E，作轴于点F，作轴于点G，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∴此时点G与点B重合，
∴，
设直线的解析式为，代入，，得，
解得：，
∴，
联立，解得：（与点D重合，舍去），，
∴；
如图，当点P在点A下方时，过点A作交直线于点O，作轴于点M，作轴于点N，
同理可求：，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，代入，，得，
解得：，
∴，
联立，解得：（与点D重合，舍去），，
∴；
∴当时，点的坐标为或．
3．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、、，
则：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方，
∴设点，
∴，
∵、，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
，
，
，
∴点；
（3）解：∵，
∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，
将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，
∵点是抛物线对称轴上一点，
∴设点，
∵垂直于直线交直线于点，
∴点，
∴，．
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴．
∵垂直于直线，垂直于直线，
∴，
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，．
∴点，
∴点．
∵点，点，
∴，
，
，
，
∵，
∴当，有最小值为．
4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)如图①，过点B作，交抛物线于另一点D，求点D的坐标；
(3)如图②，P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线于点E，连接，设点P的横坐标为m，的面积为S．
（Ⅰ）求S关于m的函数解析式；
（Ⅱ）若当时，S有最大值为，请直接写出实数t的取值范围．
【详解】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
点，
设直线的解析式为，
则，
解得，
；
（2）解：设直线与轴交于点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设直线为，
将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
，
解得，（舍去），
时，，
；
（3）解：①点的横坐标为，轴交直线于点，
，
，，
当时，，
；
当时，，
，
综上所述，；
②当时，
对于，时，
；
对于，时，函数有最小值，
当时，随的增大而增大，
当时，
解得或（舍去），
综上所述，当时，有最大值，实数的取值范围是．
5．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
【详解】（1）解：①把点坐标代入，
有，解得．
抛物线的解析式为．
当时，有，解得，．
根据题意知点的坐标是
②设点坐标为（）
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，解得
直线的解析式为．
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则点坐标为．
．
即．
当时，面积最大，最大值是．
此时点坐标为．
（2）解：由抛物线解析式为，
可知其对称轴是直线，点坐标为，
故点在抛物线对称轴上．
线段绕点顺时针旋转后对应点是点，
，．
如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，
则
．
．
．
，
点坐标可表示为．
把点坐标代入，得，
解得（舍），．
抛物线的解析式为．
6．（2025·安徽淮南·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值；
(3)若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值．
【详解】解：（1）由题意得解得
抛物线的表达式为．
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点．
设，
解得：
即：直线的函数表达式为．
由题意，得点，，其中，
，，
，
当时，取最小值为．
（3）如图，当时；，
解得：，
即：点，
点，，，其中，
．
，，
，
．
，，
，
解得，（舍去），
的值为．
题型三：三角形存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①令，则，
解得或，
∴点A的坐标为；
②根据图象可知，当时，x的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在符合条件的P点，，．
【变式3-1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（舍去），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，

（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．

【变式3-2】易错点01：等腰三角形边不确定时需分类讨论
（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，
∴，
∴
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①对于抛物线表达式，
当，
∴，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线：，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②存在，
，而
当时，，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
∴，
综上：是等腰三角形时，或或；
（3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段上运动（不包括端点），
∴当时，最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值．
【变式3-3】难点06：已知斜边的直角三角形可构造相似三角形
（2025·四川资阳·三模）如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线过点、，
∴，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：；
（2）解：四边形为平行四边形．
∵此抛物线与y轴交于点C，
∴，
又∵，
∴，
又∵抛物线的对称轴为：，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（3）解：∵，
∴，
①当点O为直角顶点时，如图1所示：
则，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
②当点F为直角顶点时，如图2所示：
同理可得，
∴，
∴，
∴；
③当点P为直角顶点时，由勾股定理得，
又∵是斜边上的中线，
∴，
若点P在上方，如图3所示：
则，
∴；
若点P在下方时，如图4所示：
则，
∴；
综上所述，抛物线的对称轴上存在点点的坐标，或或或，使是直角三角形．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，即；
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线图象的对称轴为：，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
，
∵，
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
将代入，则，
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
2．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴，
∵直线经过点A，B
∴，解得：，
∴；
（2）∵点P的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，
∴；
∴；
（3）存在，设点，
∵，
∴，
∵，
∴；
①当点为直角顶点时：，解得：，
∴；
②当点为直角顶点时，，解得：，
∴；
③当点为直角顶点时：，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
3．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答：
(1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式；
(2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值；
(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
设抛物线解析式为，将代入得：
解得
抛物线解析式为
即；
（2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，
，
则直线的解析式为
设，则
当时，最大，最大值为；
（3）解：存在，理由如下：
，，
，
，
，
抛物线的对称轴为，
设，
则，，
①当时，，解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
②时，，解得：或（不合题意，舍去）；
∴
③当时，，解得：；
∴；
综上：或或．
4．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值；
(3)如图2，点N是线段上一个动点，过点N作轴，垂足为N，交于点Q，试探究点N在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在．请说明理由．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴，
（2）解：对于，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
∴直线的解析式为；
过点作轴，交于，设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，
∴；
作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接交点，则的最小值为，
∴,
∴的最小值为；
（3）解：∵，,
∴
设，则，
∴；，
若是等腰三角形时，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
解得：，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
整理得，，
解得：，不合题意，舍去．
综上所述，或．
5．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)___________，___________．
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值．
(3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，解得．
故答案为：，
（2）解：∵，，
∴抛物线为，
令，则，
∴，
∴．
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
过点P作轴于点Q，交于点E，
设（），则，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
∴当时，有最大值，为．
（3）解：∵点N在抛物线上，
∴设．
连接，
①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰，
过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G，
∵，，
∴，，
∵轴，，
∴，
∴，
∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点M在直线上，
∴
解得，
∴．
②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰，
过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H，
∵，，
∴，，
同①同理可得，
∴，，
∴，
∵点M在直线上，
∴，
解得，
∴或．
综上所述，点N的坐标为或或．
6．（2025·福建福州·三模）已知：抛物线．
(1)求证：抛物线与轴总有两个交点；
(2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值．
(3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）证明：令，则
，
抛物线与轴总有两个交点；
（2）抛物线与轴的交点为，
，
，
，
，
，
均为整数，且，
，都是整数，且，
，
解得，
（3）抛物线与轴的交点为，
，
，
即
假设当时，抛物线上存在点，使得是直角三角形
由题意知，只有，过点作，交轴于点，过点作，交于点，
．
．
，
，
，
，
，矛盾，故假设不成立．
抛物线上不存在点使得是直角三角形．
7．（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接．
(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，即．
当，，
∴，
一次函数过点和，
代入，得，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：依题意，可设，则，
过点作于点，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，轴，
∴的纵坐标为2，
∴，
即有，
解得：（舍去）或，
∴．
（3）解：∵面积为，面积为，
∴，
如图，过作轴交于，而直线轴，
∴轴，则，
∴，
∴，
∵，直线为，
∴，，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点是直线上方二次函数图象上的一个动点，
∴，
而，则有最大值，
当时，的最大值为：．
8．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点．
(1)求函数的“对称平移距离”；
(2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值；
(3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：函数的“对称平移函数”的表达式为，
经过原点，
将代入中，
即，
解得；
（2）解：，
函数的“对称平移函数”的表达式为，
，
，
解得；
，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，取最小值，
当时，取最大值，，
，
解得，（舍），
；
（3）解：函数的“对称平移函数”的表达式为，
函数的“对称平移函数”的表达式为，
对于函数，
当时，
点的坐标为，
①如图1，
当时，
设点的坐标为，
，
，
解得，
点的坐标为，
将点的坐标代入中，
，
解得，（舍），
点的坐标为；
②如图2，
当时，过点作轴的垂线，垂足为，
，
，
，
，
即，
设点的坐标为，
，，
，
，
解得，
点的坐标为，
将点的坐标代入中，
即，
解得，（舍），
点的坐标为，
当时， 设点的坐标为，
此时A与D的纵坐标相同，
即，
解得
即A在y轴上，不成立；
综上所述，点的坐标为或．
9．（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式和，两点的坐标；
(2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点；
①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标；
②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，
，解得，
抛物线的解析式为：．
当时，，解得，，
点的坐标为，点的坐标为．
∴抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：①当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
当时，的最大值是4，
点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），
，
此时点的坐标为．
用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为；
②，
，
当时，为等腰直角三角形，
点在对称轴右侧时，如图：
，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
，，
当时为等腰直角三角形，
的长为，
，解得：或（舍去），
；
点在对称轴左侧时，如图：
，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
，，
当时为等腰直角三角形，
的长为，
，解得：或（舍去），
；
存在，点的横坐标的值为或.
题型四：四边形存在性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【详解】（1）解：中，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
令，则，
∴，或，
∴．
∵
∴顶点；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，交直线于点P，如图，
则，B关于直线对称，此时的周长最小，
过点作轴于点E，
∵轴，轴，
∴ ，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
（3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K，
设，
∵四边形为矩形，，
∴四边形，为矩形，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴，
∵，
∴H为的中点，
∴．
同理，点G为的中点，
∴．
②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形的面积取得最大值为．
∴，
∴点G为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴
∴，
∴．
综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
【变式4-1】易错点02：平行四边形顶点不确定时需分类讨论
（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入中得，
，解得，
；
（2）解：，，
当的值最小时，则的周长最小．
作点关于对称轴的对称点，即为点，
由（1）可知抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且，
．
如图，连接，与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
把，代入中得，
，解得，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
把代入得，
；
（3）解：设，，
①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或．
【变式4-2】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点A的坐标是，
∴，
∵以原点为中心，把点A顺时针旋转，
∴，
此时点在轴正半轴上，
∴；
∵，
∴对称轴为直线；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当，有最大值为，
∴，
∴；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
设，，
由（1）知：；
当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况：
①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，，
∴轴，
∴轴，
∴，；
②当以为对角线时，则：，解得，
∴，，
∵，
∴，解得；
∴；
③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在；
综上：或．
【变式4-3】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【详解】（1）解；把代入到中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解；如图2-1所示，当点P在下方时，
∵，
∴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴点P的坐标为；
如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H，
∵，
∴，
∴
设，
∴，
解得，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线，
∵，
∴由对称性可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为，
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴．
∴此时点E的坐标为；
综上所述，点E的坐标为或或．
2．（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
3．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且．
(1)求该抛物线的表达式和点的坐标；
(2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且．
①求点的坐标；
②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离．
【详解】（1）解：∵一条抛物线与轴交于点、点，
∴设抛物线的解析式为，
∵，，
∴，
∵抛物线与轴正半轴交于点，
∴，
把代入，得，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线与轴交于点，则：，
∴，
∵点在第一象限，
∴，
设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
∴，
联立，解得或，
∴；
②设抛物线向右平移个单位，得到新的抛物线，
∵，
∴平移后的抛物线的解析式为，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
由①知：，
∴，
设，
∵四边形为平行四边形，
∴为对角线，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
解得或；
即平移的距离为或个单位长度．
4．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；
(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将 分别代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：如图1，设点，则，
．
联立一次函数与二次函数的表达式，得，
解得或，
．
∵，且，
∴当时，取得最大值，
把代入，得，
∴；
（3）解：，
∴抛物线的顶点为．
由（1）知，
如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时，
设，分三种情况：

①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
∴；
②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
；
③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
．
综上，点 的坐标为．
5．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由．
【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：设点，点，，
与关于对称轴对称，
连接与对称轴交于点，
∴，
此时的周长取得最小值，
设解析式为，
，
解得，
，
当时，，
，
点；
（3）解：存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：①当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
②当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
③当为平行四边形对角线时，
则，
解得：，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
6．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分．
(1)①线段的长为_______．
②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示）
(2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由．
【详解】（1）解：①令，则，
或，
，，
，
故答案为：；
②二次函数，
，对称轴，
，
平分，
点关于轴的对称点，在直线上，
设直线的解析式为，
把，代入，得
，解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：，，
点是抛物线和直线的交点，
．
（2）解：设，
，．
以、、、为顶点的四边形是矩形，
①以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍去，或，
，
②以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，
（舍去或
，
③以，为对角线时，
，的中点重合，
，
，
，
，
，此方程无解，
即：存在，或．
7．（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点．
(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，
把，代入中，
得解得
该抛物线的函数表达式为．
当时， ，解得或，
∴点A的坐标为；
（2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图，
四边形为菱形，，
，且，
，即点的纵坐标为．
由，得，（不合题意，舍去），
故存在这样的点，此时点的坐标为．
（3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图，
设点的坐标为．
，，，
，，，，
，
∵，，
当时，S有最大值，最大值为32，此时，
此时点的坐标为，
即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32．
8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
9．（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，y的取值范围是______；
(3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围；
(4)已知平面内一点M的坐标为，点的坐标为，连结、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【详解】（1）解：把，代入抛物线方程得，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，
观察函数图象可知，在范围内，
此时的函数值最大，此时的函数值最小，
把代入抛物线表达式得，
把代入抛物线表达式得，
故答案为：；
（3）解：∵
又∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y有最大值为2，
由题意可知，
，
∴分两种情况，
当点P在点左侧时，
此时点在与之间时，符合，
∴当时，则
解得：（不合题意，舍去），
∴；
当点P在点右侧时，
此时点在与之间时，符合，
当时，则
解得：，，
当时，
解得：，，
∴，
综上所述，的范围为或；
（4）解：∵
又∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大 而增大，当时，y随x增大而减小，
若要使矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，矩形应在抛物线对称轴的左半部分，如图
，，，
∴
解得：．
10．（2025·广东韶关·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)是抛物线上一动点不与点、重合，
①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值；
②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标．
【详解】（1）解：直线与坐标轴交于、两点，
当时，，时，，
，，
把，两点的坐标代入解析式得，，
解得，，
抛物线的解析式为 ；
（2）①如图，作交于点，
，
，
为定值，
当取最大值时，有最大值，
设，其中，则，
，
且对称轴是直线，
当时，有最大值，
此时，；
②点，
，
（i）如图2，点在轴上时，过点作轴于，
在正方形中，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
点的纵坐标为，
，
解得，，
∴，，
（ii）如图，点在轴上时，作轴于，作轴于，
同理可证得，
，
点的横纵坐标互为相反数，
∴，
解得：(舍去)，，
∴，
如图，点在轴上时，作轴于，作轴于，
同理可证得
，
点的横纵坐标相等，
，
解得，舍去，
，
综合以上可得点坐标为，，．
11．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标；
(3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线，
，
，
点的坐标为，
，
，
二次函数的解析式为；
（2）解：如图，连接，
设，则，
，
在中，令，则，令，则，
解得：或，
，，
，，
，
，
，
，
当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时；
（3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，则，，
，
当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边；
①当、为对角线时，、的中点重合，且，
，
解得：（此时、与重合，舍去）或，
；
②当、为对角线时，、的中点重合，且，
，
解得：（舍去）或 或，
或；
综上所述，点的坐标为或或．
12．（2025·甘肃平凉·三模）如图，抛物线交x轴于和两点，与y轴交点，D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，连接，E是的中点，过点E作直线轴，垂足为G，交抛物线于点F，过点F作于点N，与x轴交于点M．求线段的长；
(3)连接，点H为线段上一动点，点J在x轴上，在右侧作平行四边形．
①如图②，当平行四边形为菱形，且点I在抛物线上时，求点I的坐标；
②如图③，当点H为的中点时，连接，，求的最小值．
【详解】（1）解：抛物线交x轴于和两点，与y轴交点，D是抛物线的顶点．
根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，
∵E是的中点，，
∴点，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：①设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵点I在抛物线上，
不妨设，
∵平行四边形为菱形，
∴，
∴，代入解析式得，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴点；
②解：根据题意，得，点，H是的中点，
∴，
作出点关于x轴的对称点，
∵点A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点H，
∴将向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，此时
连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为的长度，
∴，
故的最小值为．
题型一：线段问题
难点01：涉及斜线段利用锐角三角函数转化求解
难点02：涉及线段比例关系利用相似转化求解
难点03：利用二次函数性质求线段最值
新考法01：新定义型阅读理解题
题型二：面积问题
难点04：利用二次函数性质求图形面积最值
难点05：转化面积之间的关系求解
题型三：三角形存在性问题
易错点01：等腰三角形边不确定时需分类讨论
难点06：已知斜边的直角三角形可构造相似三角形
题型四：四边形存在性问题
易错点02：平行四边形顶点不确定时需分类讨论
第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等。
第二步：根据点坐标表示出线段长。
第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“分割法”和“补形法”求解。
1.等腰三角形存在性问题
2.直角三角形存在性问题
1.平行四边形的存在性问题
2.特殊平行四边形存在性问题
2.特殊平行四边形存在性问题