专题03 反比例函数及其应用模型（模型清单，8大题型）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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k的几何意义
如图，在反比例函数y＝kx图象上任取一点P(x，y)，过这一点分别作x轴，y轴的垂线PM，PN，与坐标轴围成的矩形PMON的面积＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|

题型一:反比例函数的性质
【典例1】已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小；
∵ ，
∴ ；
∵ ，，且 ，
∴ ，，且 ；
又 ∵ ，，
∴ ．
故选：D．
【变式1-1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小．
根据，得到反比例函数过一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数过一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，
∵，，，，
∴在第三象限且，在第一象限，
∴．
故选：D．
【变式1-2】若在二次函数的图象上，在反比例函数的图象上，则下列比较大小正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线的增减性，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据抛物线的增减性，反比例函数的增减性解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为，
故抛物线的对称轴是，且抛物线的开口向上，
故抛物线上的点，距离对称轴越远函数值越大，
是抛物线上的两点，
且，
故；
在反比例函数的图象上，
得，
故选：A．
【典例2】对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象位于第二、四象限
B．若，，是图象上三个点，则
C．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值
D．函数值y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BD选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值．
【详解】解：A、∵，∴，
∴函数图象位于第二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D、∵该函数图象位于第二、四象限，
∴在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，故该选项错误，符合题意；
B、∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，
又∵，则，
又∵，则，
∴，故该选项正确，不符合题意；
C、设点P的坐标为，
∴，是定值，故该选项正确，不符合题意．
故选：D．
【变式2-1】已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．
【详解】解：对于反比例函数，知图象分别位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且第二象限内对应的函数值大于第四象限内对应的函数值．
∵ 点 和在反比例函数的图象上，
∴ ，，
∴．
∴ 当 时，，即．
当 时，，即 ．
∵A选项与B选项中，与的值的大小不确定，
∴选项 A 和 B 不一定正确；
∵ 当 时，，
∴点 和都在第四象限内的反比例函数的图象上，在此象限内，随的增大而增大．
∴，选项 C 正确，符合题意；
选项 D 中，当时，点 和不一定都在同一象限内的反比例函数的图象上，
∴选项 D 不一定正确，不符合题意．
故选：C．
【变式2-2】已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图像，根据反比例函数图像上点的坐标特征，根据的大小和符号判断．
【详解】解：，
反比例函数的图象分布在一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
∵点，在反比例函数的图象上，
，
，
在第三象限，
随的增大而减小，
，故A正确；
时，
在第三象限，在第一象限，
，，
，故B、C错误；
，
，
在第一象限，
随的增大而减小，
，故D错误；
故选：A．
【变式2-3】已知反比例函数（k为常数，）．
(1)若点在反比例函数的图象上，则k的值为________；
(2)若在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，求k的取值范围．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把点代入关系式即可求出k的值；
（2）由反比例函数的增减性可知，y随x的增大而增大，则，即可求出k的范围．
【详解】（1）解：把点代入得，，
解得．
故答案为：7．
（2）解：反比例函数在其图象的每一支上，y的值随x值的增大而增大，
∴，
解得．
【变式2-4】反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上．
A．①②③B．①③④C．①②③④D．①④
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，
∴，
解得，故①正确；
由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误；
设点A的坐标为，点B的坐标为，
则，故③错误；
∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴若在图象上，则也在图象上，故④正确．
综上，结论正确的是①④．
故选：D．
题型二：反比例函数的图象的综合判断
【典例1】一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的性质可得结论．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意；
反比例函数位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项D错误，不符合题意，
故选：A．
【变式1-1】一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象性质，熟练掌握一次函数中、的符号对图象的影响，以及反比例函数中的符号对图象所在象限的影响是解题的关键．
根据一次函数的图象，判断出、的符号，进而判断的符号，再与反比例函数的图象特征进行比对，逐一排除矛盾选项．
【详解】解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象在二、四象限，
∴，
∴矛盾，排除A．
选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象在二、四象限，
∴，
∴矛盾，排除B．
选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象在一、三象限，
∴，
∴矛盾，排除C．
选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象在二、四象限，
∴，
∴一致，成立．
故选：D．
【变式1-2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可．
【详解】解：∵中，，，
∴的函数图象过第一、二、四象限，
∵，
∴的函数图象过第二、四象限，
只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限，
故选：D．
【典例2】二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识点是解题的关键．
根据二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴交点在负半轴，可得，，，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴交点在负半轴，
，，，
一次函数的图象从左到右上升，与y轴交于正半轴，反比例函数的图象分布于一、三象限，
选项B符合题目要求．
故选：B．
【变式2-1】已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
【答案】C
【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，反比例函数、二次函数图象综合判断，已知双曲线分布的象限，求参数范围，二次函数图象与各项系数符号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据抛物线与反比例函数的图象，确定a，b，c的符号，再确定一次函数的一次项系数与常数项的符号，从而可确定一次函数的图象所经过的象限．
【详解】解：二次函数的开口向下，
所以，
因为二次函数的对称轴在轴的左边，
所以，
所以，
因为反比例函数的图象在第一、三象限，
所以，
所以，
所以一次函数的图象所经过的象限是第一、三、四象限，
故选：C．
【变式2-2】已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，熟练掌握二次函数，一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象可得，，的符号，则可判断出一次函数和反比例函数的大致图象．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，
∴，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限．
故选：C．
【变式2-3】函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A．或或B．或
C．或D．或或
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象和函数与不等式的关系即可得出答案．
【详解】解：从图象可知，当时，的取值范围是或．
故选：C．
【变式2-4】如图，点为二次函数图象上一点，反比例函数的图象一支在第一象限内，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中作出二次函数图象的对称轴；
(2)在图2中反比例函数的图象上找到点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，已知抛物线上对称的两点求对称轴，由反比例函数图象的对称性求点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
（1）先求出抛物线与y轴的交点坐标，再说明M与C关于对称轴对称，从而可连接、交于点E，则点E在对称轴上，作直线、交于点D，则点D在对称轴上，根据两点确定一条直线，得出对称轴，即作直线为对称轴；
（2）先求出点关于原点的对称点，再根据点在抛物线的对称轴上，作出．
【详解】（1）解：∵点为二次函数图象上一点，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为，
二次函数，
当时，，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，
∵点与点的纵坐标相同，
∴这两点关于对称轴对称，
∴对称轴为直线，
连接、交于点E，则点E在对称轴上，
作直线、交于点D，则点D在对称轴上，
作直线即为对称轴；
（2）解：点关于原点的对称点为，
点在抛物线的对称轴上，
而即为与对称轴的交点，
作直线与反比例函数的交点即为．
题型三：与反比例函数有关的跨学科问题
【典例1】综合与实践
图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表：
(1)依据实验得出，与的对应点，请你在图2中画出函数图像，并求出函数表达式；
(2)当砝码质量为时，求托盘B与点的距离；
(3)当托盘B向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量．
【答案】(1)函数图像见解析，
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）当时，，求解即可；
（3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示．
由图像可得y与x之间是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
解得，
∴y与x的函数关系式为：．
（2）解：由表格可知：当时，，
∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是．
（3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，
由题意得：，
解得．
∴在移动前托盘B中的砝码质量为．
【变式1-1】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔[jié gā]在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．

(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______N；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．如下表，设重物B的质量为，的长度为．则：
①y关于x的函数解析式是______；
②完成下表：
③在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为M，若点A的坐标为，在M上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】(1)200
(2)①；②4；；③见解析
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数的实际运用，反比例函数与几何图形，正确理解题意，求得函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意，直接根据求解即可；
（2）①由公式可得关于的函数解析式；
②将和代入①中解析式中求解即可；
③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象；
（3）根据三角形面积公式求得点的纵坐标，代入函数解析式即可解答．
【详解】（1）解：，，，，
，
重物所受拉力为，
故答案为：；
（2）解：①由（1）中，可得关于的函数为，
把表中数据代入，可得，
可得，
关于的函数解析式为，
故答案为：；
②当时，；
当时，，
故答案为：4；；
③函数图象如图所示：
（3）解：根据函数图象平移口诀可得向右平移四格为，
，
，
根据题意可得点在第一象限，所以，
，
，
当点在上时，可得，
解得（经检验是原方程的解，且符合题意），
当点在上时，可得，
解得（经检验是原方程的解，且符合题意），
综上，点的坐标为或．
【典例2】数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
(1)该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
①表格中的_____；
②请在图3中画出对应的函数图象；
(2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”）
(3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
【答案】(1)①1；②见解析
(2)增大
(3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量，见解析
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解；
②依据题意，根据表格数据描点即可得解；
（2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解；
（3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解．
【详解】（1）解：①由题意，将代入中，得，
．
故答案为：1．
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大．
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，则
∴．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
【变式2-1】【研究背景】
在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据：
（1）______，______；
【问题探究】
（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质；
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”）
【拓展应用】
（3）结合（2）中函数图象
①在同一坐标系中直接画出的图象；
②当时，的解集为______．
【答案】（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②．
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及根据函数关系式求值、绘制函数图象以及根据图象求解不等式的解集，用到的知识点有反比例函数的图象与性质、函数值的计算等．
（1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值．
（2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势．
（3）根据函数的表达式，通过确定两个点的坐标，然后连线画出函数的图象；根据所绘制的两个函数的图象，找出当时，函数的图象在函数的图象下方(包括相交)部分对应的的取值范围，即为不等式的解集．
【详解】（1）根据题意，电流公式为：，
将，，代入，可得，
解得：（经检验，符合题意）
将，，代入，可得，
故答案为：；．
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小．
故答案为：减小．
（3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图：
②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有，
当时，的解集为，
故答案为：．
【变式2-2】某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见表，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，越小，越大B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】C
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意；
C、由图2关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，符合题意；
D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
题型四：反比例函数比例系数的意义
【典例1】如图，的边交反比例函数图象于点，且，点、、在坐标轴上，已知的面积为12，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，设，则，得，设，则，由平行四边形的面积可求出，从而可求出的值．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴；
设，则，
∵的面积为12，
∴，即，
∴，
又在反比例函数图象上，
∴，
故选：B．
【变式1-1】如图所示，反比例函数（常数）图象经过点，分别过这三个点作轴、轴的平行线．若，图中的“十字形”阴影部分的面积为，则的值为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的坐标特征、代数式表示线段长度以及阴影面积的计算方法，同时也涉及利用方程思想解决几何与函数结合的问题首先根据的条件设出，进而得到反比例函数上三点的坐标，再分别求出三点的纵坐标，以此确定“十字形”阴影各部分的边长，通过计算各阴影部分的面积并求和得到面积方程，最后解方程求出的值为．
【详解】解：∵，
∴可以假设，
则
∴，
∵图中所构成的“十字形”阴影部分面积为，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式1-2】点A，B分别在函数的两支上（A在第一象限），连接交x轴于点C，点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为6，则的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及图形中的几何关系．根据题设，点A，B，D，E的坐标可以通过给定的条件来表示，进而利用面积公式和已知条件求解未知参数．具体地，首先，根据给定的条件表达点的坐标；其次，通过面积公式建立等式关系；最后，利用给定的面积值解出参数．
【详解】解：设，
∵轴，且点E在函数的图象上，
∴，
设，
∵，且点B在函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
设与轴交于点，
∵轴，
∴，
过点作轴于点M，则，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴．
∴．
故答案为：8．
【变式1-3】如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，，，则 ，线段的长度＝ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义、相似三角形的判定与性质，过点作轴，过点作轴，根据，，可得，，可得，，从而求出；根据轴，可证，根据相似三角形的性质可得，设，可得，解方程求出的值，即可得到点、的横坐标分别为，，从而求出的长度．
【详解】解：如下图所示，过点作轴，过点作轴，
设点的坐标是，点的坐标是，
则，，，，
，，
，，
，，
把点的坐标和点的坐标分别代入和，
可得：，，
可得：，，
；
，
，
轴，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，，
，，，
设，
，
解得：或(不符合题意，舍去)，
，，
；
故答案为：；．
【典例2】如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案．
【详解】解：∵点在的图象上，
∴，
∴点，
∵轴，轴，C，D两点在的图象上，
∴四边形是矩形，
∴点，，
∴，，，，
，
∴，，
∴
，
故选：B．
【变式2-1】如图，点A在双曲线上，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，交双曲线于点C，连接．交双曲线于点D，作轴，垂足为点E，交于点F．若，则的面积为 ．
【答案】/0.4
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设的面积为S，利用反比例函数系数k的几何意义可知，，进一步求得，则，，结合，得到，解得，即可求解．
【详解】解：设的面积为S，
由题意得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的面积为．
故答案为：．
题型五：反比例函数与一次函数的综合
【典例1】直线与双曲线交于、两点，则的值为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答．
【详解】解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称，
，
又，在双曲线上，
，，
．
故选：B．
【变式1-1】已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求m，n的值；
(2)在图中画出函数图象的草图，并据此写出一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
【答案】(1)
(2)画图象见解析，或
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求解函数解析式，画函数图象，以及与不等式的关系．
（1）利用待定系数法即可求解m，n的值；
（2）先求出一次函数与反比例函数的解析式，然后画出草图，再根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：由得，
将，两点代入，则
解得：，
即m，n的值分别为2和；
（2）解：∵，
∴，，反比例函数解析式为，
将点，代入，
则，
解得，
∴一次函数解析式为，
则可画图象为：
由图象可得，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围：或．
【变式1-2】在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像的一个交点为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)y
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用、待定系数法求函数解析式、函数图像上点坐标的特征、函数的增减性等知识点，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）求出，再代入y得，即可求得反比例函数解析式；
（2）由当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，即对任意，不等式恒成立，即且恒成立；再根据函数和在时是减函数，然后根据函数的增减性即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：，解得：，
∴，
把代入得：，解得：，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：当时，，，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，
∴对任意，不等式恒成立，即且恒成立，
∵函数在时，是增函数，
∴，
要使恒成立，则n必须小于或等于函数在该范围的下界，即；
∵函数在时，是减函数，
∴当时，，
要使恒成立，则n必须大于或等于函数在该范围的上界，即，
综上，n的取值范围是．
【典例2】如图，和是等腰直角三角形，，、、三点共线，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，作交于点，动点从点出发，以每秒1个单位沿运动，连接、，设运动时间为秒，记为，为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图像；请分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图像，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】(1)，．
(2)画函数图像见解析，函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；函数的性质：y随x的增大而减小．
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数与几何综合、画反比例函数图像等知识点，掌握分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得，易得；然后分点P在上和点P在上两种情况分别根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式求解即可；
（2）根据描点、连线的步骤画出函数图像，再根据函数图像的写出，的性质即可；
（3）直接根据函数图像确定x的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图：当点P在上时，即时，，，
如图：过P作于H，过A作于F，则、是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴，
∴，即
∵边上的高与边上的高相等，
∴，即；
如图：当点P在上时，即时，，，
如图：过P作于H，过A作于F，则、是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∵边上的高与边上的高相等，
∴，即．
综上，，．
（2）解：按照描点、连线的步骤画出函数图像如下：
函数的性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；函数的性质：y随x的增大而减小．
（3）解：由（2）函数图像可得时，的取值范围．
【变式2-1】我们知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向下平移1个单位得到；也可以由正比例函数的图象向右平移一个长度单位得到；函数也可以由一个反比例函数通过平移得到，使用“描点法”作出函数的图象，列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算y对应的值．
描点：以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，连线：如图1，将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来．
(1)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①函数的图象是由函数向__________（填“左”或“右”）平移1个单位得到．
②函数的图象关于点__________中心对称（填写点的坐标）．
(2)一次函数的图象经过函数的中心对称点，并且与函数的图象交于点，点B．当时，x的取值范围是__________．
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，连结交于点E，函数的图象经过B，E两点．
①求出函数的表达式．
②过线段中点M的一条直线l与这个函数的图象交于P，Q两点（P在Q右侧），若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)①左，②
(2)或
(3)①；②或．
【分析】（1）依据题意，①函数的图象可以由函数的图象向左平移1个单位得到，②由关于原点对称，从而可以得到函数的图象关于对称，进而得解；
（2）先由平移规律找到函数的对称点为，再利用待定系数法求出，进而可得出的坐标，结合图象即可得解；
（3）将坐标原点平移到点的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点在点的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点在新坐标系下的坐标，就可求出点在原坐标系下的坐标．
【详解】（1）解：观察图象并分析表格，
①函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的；
②函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
∴函数的图象关于点成中心对称，
故答案为：左；；
（2）解：，
∴由（1）规律知，函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
∴对称中心也是由原点向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
∴函数的对称点为，
∴一次函数的图象经过，，
∴，解得，
∴，
将与列成方程组得，
，解得或，
∴，
∴如图所示，
当时，即对应的一次函数图象在函数的图象下方对应的自变量的取值范围，即为或，
故答案为：或；
（3）解：①∵矩形的顶点A，C的坐标分别为、．点D是的中点，
∴，
∴设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，解得，，
∴，，
∴，解得，
∴，
将、代入函数可得，
解得：，
②∵线段中点为M，
∴为函数的对称中心，
，
，
以B、E、P、Q为顶点组成的四边形为平行四边形，且为平行四边形对角线，
∵，
∴由平移规律知，的图象可以看作由的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到的，此时，若两坐标轴也一起移动，则新坐标系下得到的新函数解析式为，点的新坐标为，点为新坐标系的原点，
∴可构建如图所示的新坐标系，若点在点的左边，
∵直线与双曲线都是以点为对称中心，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
过点作轴于，过点作轴于，
根据反比例函数比例系数的几何意义可得：，
∴，
设点在新坐标系中的坐标为，
则有，
解得（舍去），，
当时，，
即点在新坐标系中的坐标为，
∴点在原坐标系中的坐标为，即；
若点在点的右边，
如图，
同理可得：点在新坐标系中的坐标为，
∴点在原坐标系中的坐标为即，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象及性质，一次函数图象及性质，矩形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，中心对称等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．
【变式2-2】综合与实践
在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为米的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），使得矩形花园的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？
(1)由简单情形入手，分析问题
假设篱笆长为4米，即时，设米，米，根据题意可得，解得_______________，______________，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”；
(2)建立函数模型，画出函数图象
设米，米，依题意得，得到与的函数关系式为．再由篱笆长为米，得，即．兴趣小组的思路是用函数与函数来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”．
接下来先画函数的图象：
列表：恰当地选取自变量的几个值，计算出对应的值，如表格所示，
描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
任务：
①上面表格中，___________，___________；
②请你将下图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来；
(3)观察函数图象，数形结合解决问题
①一次函数的图象可由直线平移得到．当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，此时交点坐标为，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长的范围，请你写出的取值范围，并说明理由；
②在直线平移的过程中，直接写出当为时“完美矩形”的长．
【答案】(1)2；2
(2)①0；；②见解析
(3)①，理由见解析；②4米
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键．
（1）解方程组即可得到答案；
（2）①把和分别代入函数解析式中求解即可；②根据题意作图即可；
（3）①联立两函数解析式得到关于x的一元二次方程，根据方程有实数根，利用判别式求解即可；②根据（3）①所得的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，即，
解得，
∴；
（2）解：①在中，当时，，
当时，，
∴；
②如图所示，即为所求；
（3）解：①，理由如下：
联立得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴或（舍去）；
②当时，则，
解得或，
当时，，
当时，，
∴当为时“完美矩形”的长为4米．
题型六:反比例函数与几何的综合
【典例1】如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，D 是边上的一个动点（不与C，B重合），反比例函数的图象经过点 D 且与边交于点E，连接．
(1)如图1，若，
①求反比例函数的表达式；
②连接．求证：
(2)如图2，将沿折叠，点B关于的对称点为点，连接，求出的最小值．
【答案】(1)①；②见解析
(2)
【分析】（1）①根据题意，求出，再根据待定系数法即可求解；②根据两边成比例及夹角相等，证明，得，即可求证；
（2）连接，，易证，再证，根据“垂线段最短”，得当时，取最小值，可证，得，计算即可．
【详解】（1）①解：矩形，点B的坐标为，
，则，
，
反比例函数的图象经过点 D，
，
反比例函数的表达式为；
②证明：设点，代入，得，
点，
，
，
，
，
又，，
，
；
（2）解：如图，连接，，交于点F，
由折叠可得，垂直平分，
，
，
设点，代入，得，则
当时，，则点，
，，
，，
，
又，，
，
，
，
，
，
在中，，，
则，
根据垂线段最短，得当时，取最小值，
，
，则，即，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查反比例函数图象和几何的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
【变式1-2】综合与实践：社区花园的“智慧设计”
【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究．
(1)建立模型
根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围：
关系式：①________；②________；的取值范围：________；
(2)图象分析
①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象．
②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由；
(3)深入探究
①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________；
②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）．
【答案】(1)，，
(2)①见解析；②不存在，理由见解析
(3)①或；②原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一）
【分析】（1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题；
（2）①根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可；
②根据所画的图象交点情况分析即可；
（3）①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题；
②利用①中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可．
【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：，
整理得，；
根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：，
整理得，；
，
则的取值范围为；
故答案为：，，；
（2）解：①根据题意列表如下：
结合表格数据画图如下：
②所画的图象无交点，
不存在满足条件的新矩形花园；
（3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，
由题意得：，整理得，；
，整理得，；
则，整理得，
则或，
或；
故答案为：或．
②由①题知，原矩形长为米，宽为米，
记其新矩形长为，宽为，
则
解得或，
当时，；
当时，；
长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，画函数图象，根据图象交点情况求方程的解，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于正确理解“减半”矩形的概念．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点，C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点E，交边于点D，连接并延长，交的图象于点F，连接，，，若，，则k的值等于（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质、正方形的性质、三角形与梯形面积的计算，解题的关键是利用线段比例设出边长，结合反比例函数的几何意义，通过割补法求三角形面积，建立关于的方程求解．
【详解】解：设正方形的边长为，
，
，，则．
将代入，得．
在上，横坐标为，代入，得，
．
与关于原点对称，
，
．
由割补法，
．
，
，解得，
．
故选：．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、的坐标分别为、，反比例函数的图象经过正方形的中心．
(1)求反比例函数表达式：
(2)画出函数的图象，若图象与的延长线交于点，与交于点，连接，，求的面积．
【答案】(1)
(2)图见解析，的面积为
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，画反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是关键．
（1）根据正方形的性质求出点的坐标和点的坐标，进而求出正方形的中心的坐标，代入反比例函数的表达式，计算出的值；
（2）使用描点法画出反比例函数的图象，根据反比例函数的表达式求出点的坐标，进而求出的面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴正方形的中心的坐标为，
将点代入，得，
，
解得，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：反比例函数的图象如图所示，
将代入，得，
，
解得，
∴点的坐标为，
∴，
．
【典例3】如图，四边形是平行四边形，对角线在轴上，位于第三象限的点和第四象限的点分别在反比例函数和的图象上，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，．下列结论：①；②；③阴影部分面积是；④若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称．其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合、矩形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，则，作轴于点，轴于点，证明，得出，证明四边形、均为矩形，得出，，即可判断①；由题意可得，，即可判断②③；由菱形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
如图，作轴于点，轴于点，
，
则，
∴，
∴，
∵过点，分别作轴的垂线，垂足分别为点，．
∴，，
∴四边形、均为矩形，
∴，，
∴，故①正确；
由题意可得：，，
∴，
∴，故②正确；
阴影部分面积是，故③错误；
若四边形是菱形，则，，
∴若四边形是菱形，则图中曲线关于轴对称，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D．
【变式3-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．点D为反比例函数图象上一点且在点A的右侧，点，四边形是平行四边形，连接．若，则点D的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是作出正确的辅助线．
过点作轴于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，证明，则可求得的坐标，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得，即可知点．
【详解】解：把代入，
可得，
解得，
，
把代入，
可得，
∴反比例函数的解析式为，
把代入，则，
，
过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
则，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
点，
，，
点，
设直线的解析式为，
把，代入可得
则，
解得，
，
设点，
四边形是平行四边形，
，
则，
为反比例函数图象上的一点，
，
解得或，
的横坐标大于1，
，
，
故点．
故选：D
【变式3-2】如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为
(2)存在，点P的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键．
（1）把代入求解，得到反比例函数的解析式，再把代入求解，得到，最后把和代入即可；
（2）设，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
，
反比例函数的解析式为；
把代入，得，
，
把和代入，得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或．
理由如下：
对于，
令，则，
，
，
设，
对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：
①以为对角线时，，
解得，
；
②以为对角线时，，
解得，
；
③以为对角线时，，
解得，
，
点P在轴右侧坐标平面内，
不合题意，舍去；
综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或．
【典例4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求的值；
(2)根据图象直接写出不等式时的取值范围；
(3)若动点在轴上，求的最小值．
【答案】(1)8，8
(2)或
(3)
【分析】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径．
（1）将点代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出n值即可；
（2）根据题意得到x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分；
（3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，利用勾股定理求出的长，即可解题．
【详解】（1）解：在反比例函数的图象上，
即反比例函数表达式为
又点在反比例函数上
；
（2）解：由图象可知，当或时，，
故不等式时的取值范围为或；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则的最小值等于的长，
过点作于点
点，
，
在中，．
的最小值为．
【变式4-1】某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论．
小龙：如图1，直线与双曲线交于A，B两点，根据中心对称性可以得到．
【轻松探究】
（1）直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，证明时，首先将直线与双曲线联立可得，然后数学小组有以下两种思路：
思路一：直接求出A、C、B、D的坐标，进而证明．
思路二：先求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可．
请参考以上两种思路，完成证明．
【深入探究】
（2）直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，试问：还成立吗？请说明理由．
【模型应用】
（3）如图3，直线与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D．连接．若的面积为5，，的长为_______．
【答案】[轻松探究]：见解析；[深入探究]：成立，理由见解析；[模型应用]：
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理：
[轻松探究]：思路一：根据题目的思路进行解答即可；
思路二：联立两函数解析式得到，则，再求出，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，即可证明；
[深入探究]：仿照轻松探究证明即可；
[模型应用]：先求出，，则，可证明是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，进一步求出点A的坐标即可．
【详解】解：[轻松探究]：
思路一：将直线与双曲线联立可得，即，
解得，
当时，，
当时，，
∴，
对于直线，
当时，，
当时，，解得，
∴
∴，
∴．
思路二：将直线与双曲线联立可得，即，
∵直线与双曲线相交于A，B两点，
∴，
对于直线，
当时，，
当时，，解得，
∴
∴，
∴，
∴线段的中点与线段的中点重合，
∴
[深入探究]：仍然成立，理由如下：
联立
则，
，
在中，令，则，
又∵
，
∴线段的中点与线段的中点重合
；
[模型应用]：在中，令，则；令，则，
∴，，
∴，
是等腰直角三角形，
∴
过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，
由前面可知，
，
∴，
，
，
，
，
，
∴
∴
∴，
∴（正值舍去）
∴
∴
故答案为：
【变式4-2】如图，一条直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，轴，垂足为．
(1)该反比例函数的解析式是__________，__________，__________；
(2)若点在线段上运动（不与，重合），连接，作，交线段于点，将沿翻折得到．请依照题意补全图形，并解决下列问题：
①求证；
②当点落在反比例函数的图象上时，求的面积；
③当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；；
(2)①见解析
②
③点的坐标为或
【分析】(1)用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，利用直线的解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据交点坐标判断的度数；
(2)①根据三角形外角的性质可证，又因为，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证结论成立；
②根据等腰直角三角形的性质可知，将沿翻折得到，当点落在反比例函数的图象上时，点与点重合，根据等腰直角三角形的性质即可求出的面积；
③当为等腰三角形时，有三种情况：、、，求出点的坐标，
【详解】（1）解：如下图所示，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
反比例函数的解析式是，
把点的坐标代入，
可得：；
点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点、的坐标代入，
可得：，
解得：
直线的解析式是，
当时，，
点的坐标是，
，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标是，
，
，
，
；
故答案为：；；
（2）①证明：如下图所示，
是的外角，
，
，
，
又，，
，
，
又，，
，
，
；
②解：如下图所示，过点作，过点作，
，
，
、、、是等腰直角三角形，
则，点与点重合，
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
，
；
③解：当时，
，
点与点重合，
不符合题意，舍去；
如下图所示，当时，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
点的纵坐标是，
点的坐标是；
如下图所示，当时，
，
，
，
，
，
，
点的坐标是；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的存在问题．
【典例5】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求和的值；
(2)设点是直线上一动点，且，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题．关键是利用菱形的对称性确定点的坐标，再结合函数解析式求解参数，最后通过面积公式确定点的坐标．
（1）利用菱形关于对角线对称的性质结合点在第一象限的位置确定其坐标；再将点代入双曲线和直线的解析式，求解和的值．
（2）先计算菱形的面积，根据题意得到的面积；设点的坐标为，利用三角形面积公式建立方程，求解得到的值，进而确定点的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形为菱形，
∴与关于即轴对称，
∵点，
∴点的坐标为．
∵点在双曲线上，
∴；
∵点在直线上，
∴，
解得；
（2）解：如图，连接，设直线与轴的交点为，则．
∵四边形为菱形，，，
∴根据菱形对称性，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
点是直线上一动点，设点的坐标为，则
①当时，，解得
∴；
②当时：，解得
∴．
综上，点的坐标为或．
【变式5-1】如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是将轴所在的直线绕着原点按逆时针方向旋转度角后得到的图形．若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点，，已知点，．
(1)无论取何值，四边形的形状一定是_____．
(2)当点的坐标为，四边形是矩形时，试求和的值．
(3)试探究：四边形能不能是菱形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)平行四边形
(2)，
(3)四边形不能是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形、菱形的性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像是一个中心对称图形．
（1）由于反比例函数的图像是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则，又，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形的形状；
（2）把点代入的图像上，即可求出p，根据矩形对角线相等，可求出m的值；
（3）假设四边形为菱形，根据菱形的对角线垂直且互相平分，可知，且与互相平分，又在x轴上，所以应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，即可得答案．
【详解】（1）解：点B与点D关于点O成中心对称，则，又，
四边形的形状一定是平行四边形；
（2）点在的图像上，
，
，
，
又点B、D是正比例函数与反比例函数图像的交点，
点B、 D关于原点O成中心对称，
，
四边形为矩形，且，
，
；
（3）点A、C的坐标分别为，
四边形的对角线在x轴上，
又点B、D分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点，
对角线与不可能垂直，
四边形不能是菱形．
题型七:自定义背景下的反比例函数问题
【典例1】为了反映函数在某一范围内函数值变化的幅度，提出如下定义：在一段连续的函数图象上，当时，函数的最小值为，最大值为，若，则称为该函数在区间上的起伏度．则下列判断正确的是（ ）
①二次函数在区间上的起伏度为3；
②一次函数（k，b为常数，k≠0）在任意区间上的起伏度是一个定值；
③二次函数在区间上的起伏度为，二次函数在区间上的起伏度为，则；
④函数在区间（为常数且）上的起伏度随着的增大而减小．
A．①④B．②③C．①③④D．②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数的综合．
根据起伏度的定义，结合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，逐一验证四个判断的正误．
【详解】解：①∵二次函数，图象开口向上，对称轴为，在区间中，
∴当时，取最小值；当时，取最大值，
∴，故①错误；
②∵一次函数，在区间中，
当时，函数随增大而增大，，，
∴（定值），
当时，函数随增大而减小，，，
∴（定值）；
综上，一次函数在任意区间上的起伏度为定值，故②正确；
③∵是平移得到的，平移不改变函数值的差，
∴区间的长度为，与长度相等，
设在上的最值差为，则在上的最值差也为，
∴，，即，故③正确；
④∵在时单调递增，在区间上
∴，，
∴，
区间长度为，
∴，
∵，当增大时，起伏度随之减小，
∴起伏度随着的增大而减小，故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：D．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，对于点，若满足，则称点为“和谐点”，有下列结论：
①点为“和谐点”；
②若点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，则为“和谐点”；
③若点两点不重合）为“和谐点”，且，则；
④若点两点不重合）为“和谐点”，且，则．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查新定义，一次函数与反比例函数的交点问题，整式乘法的应用，分式运算的应用，根据“和谐点”定义，可推导出，逐一判断各结论即可．
【详解】解：∵点，满足，
∴，
① ∵
∴点为“和谐点”，故正确；
② 联立，则，即，
解得，
则，
∴一次函数的图象与反比例函数的图象的交点为或，
∵，，
∴为“和谐点”，正确；
③ ∵点两点不重合）为“和谐点”，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，正确；
④∵点两点不重合）为“和谐点”，且，
设，且，
则，
∴，
∴，错误；
综上，①②③正确．
故选：A．
【变式1-2】定义：在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时的最大值为，函数的“最优纵横值”为10．下列结论：
①点的“纵横值”为8；
②函数的“最优纵横值”为1；
③若二次函数，在时，该二次函数的“最优纵横值”为3，则m的值为3或；
④二次函数的“最优纵横值”为，该二次函数的图象与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是或．
其中正确结论的序号为 ．
【答案】①③
【分析】结论①直接计算点的纵横值验证；结论②计算函数在给定区间上的最大值，与结论对比；结论③根据二次函数的表达式求其在区间上的最大值，并解方程求；结论④根据最优纵横值表达式确定，再根据二次函数与轴交点在给定区间内求范围，与结论对比．
【详解】①点的纵横值为，正确；
②函数的纵横值，在上，随增大而减小，最大值为时，结论错误；
③二次函数的纵横值，在上的“最优纵横值”为3，
∵该二次函数的顶点坐标为，开口向下，
∴该二次函数的最大值为，
∴在或处取得最大值，
∴或，
解得：或；正确；
④二次函数的纵横值，其最优纵横值为，解得，
将代入二次函数可得，
与轴交点为满足，
当时，，当时，，
存在需满足，
解得或，
但结论为或，其中时不成立，错误；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了新定义函数题，二次函数的性质，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【变式1-3】新定义：在坐标平面内，若点满足：，则我们把点P称作“纵二倍点”，例如点与都是“纵二倍点”．
(1)一次函数的图象上的“纵二倍点”的坐标为________；
(2)若双曲线上存在“纵二倍点”，且经过另一点，求m的值；
(3)若关于x的二次函数（常数）的图象上恰好有唯一的“纵二倍点”P，当时，求n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)的值为或；
(3)n的取值范围是．
【分析】本题考查求一次函数图象上的点的坐标，求反比例函数的解析式，由一元二次方程的根的情况求参数．
（1）设一次函数的图象上的“纵二倍点”的坐标为，则，可得，即可求解；
（2）根据“纵二倍点”的定义，可得反比例函数的解析式，将代入，即可得的值；
（3）根据题意可得有两个相等的实数根，可得，结合，即可得的取值范围．
【详解】（1）解：设一次函数的图象上的“纵二倍点”的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴一次函数的图象上的“纵二倍点”的坐标为．
故答案为：．
（2）解：∵点为反比例函数图象上的“纵二倍点”，
∴，
∴，
把代入得，
∴，
根据双曲线经过，
∴．
解得，，
∴的值为或．
（3）解：∵纵二倍点在直线上，
联立，
则，
整理得，
∵抛物线（，均为常数）上有且只有一个“纵二倍点”，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴n的取值范围是．
【变式1-4】阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：
定义运算“※”为：，求的值．
小明是这样解决问题的：由新定义可知，，又，所以．
请你参考小明的解题思路，回答下列问题：
(1)计算：______；
(2)若，则______；
(3)函数的图象大致是______；
(4)若函数与的图象有3个交点，则k的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)
(3)D
(4)
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，实数的新定义运算等知识．
（1）根据新定义进行解答即可；
（2）根据新定义分两种情况进行解答即可；
（3）分和两种情况进行分析即可得到答案；
（4）求出当函数图象的第二象限部分与的图象有1个交点时，k的值，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，；
故答案为：
（2）解：当时， ，
解得：，
当时，，
解得：，
；
故答案为：
（3）解：当时，，
此时是双曲线的第一象限部分；
当时，，
此时是双曲线的第二象限部分；
故函数的图象大致是D．
（4）解：联立得：，
整理得：，
当函数图象的第二象限部分与的图象有1个交点时，
此时，
解得：（负值舍去），
∴函数与的图象有3个交点时，k的取值范围是．
故答案为：
【变式1-5】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
（1）点______“美好点”（ 填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______．
【深入探究】
（2）若“美好点”在双曲线（且k为常数）上，则______．
【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
②结合图象研究性质，下列结论正确的选项是______（多选）；
A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点；
B．y随着x的增大而减小；
C．y随着x的增大而增大；
D．图象经过点．
③对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）不是，4；（2）18；（3）①；②；③是定值，值为
【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到b的值；
（2）根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；
（3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；
②先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；
③将代入进行计算即可得到答案．
本题属于反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义是解题的关键．
【详解】解：，
点不是“美好点”，
点是第一象限内的一个“美好点”，
，
解得：，
故答案为：不是，4；
“美好点”在双曲线且k为常数上，
依题意得：，
解得：，
，
在双曲线且k为常数上，
，
故答案为：18；
①已知点是第一象限内的“美好点”，
依题意得：，
化简得：，
第一象限内的点的横坐标为正，
，
，
关于x的函数表达式为；
②函数如图：
由图象可得：
A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意；
B．由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意；
C．y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意；
D．当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意
故选：AB；
③代数式为定值；理由如下：
，
，
对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为
题型八：反比例函数的实际应用问题
【典例1】探索机器狗的速度问题．
素材1：机器狗是一种仿生腿足式机器人，通过模仿犬类或其他四足动物的运动方式，实现灵活移动与复杂任务执行，已从实验室走向家庭、工业等多领域应用．图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括自身质量及所载物体的质量）的部分数据如图2．
图2
素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点600米，机器狗需从试验点出发，送30千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计）
任务一：（1）根据学习经验，判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式．
任务二：（2）请在图中画出与的函数图象．
任务三：（3）求机器狗所用的最短时间．
【答案】（1）反比例函数，；（2）见解析；（3）机器狗完成任务所用的最短时间为250秒
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
（1）根据题意待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据给定坐标系画出函数图象，即可求解；
（3）分别计算出往返的速度，进而根据路程除以速度，即可求解．
【详解】解：任务一：（1）由图象知是的反比例函数，
，，代入，得
该函数表达式为；
任务二：（2）函数图象如图：
任务三：（3）当时，，而当时，，
秒．
答：机器狗完成任务所用的最短时间为250秒．
【变式1-1】心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分）的变化规律如下图所示，当和时，图象都是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求所在的反比例函数表达式；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于32？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意是关键．
（1）设所在反比例函数的解析式为，再代入即可得到答案；
（2）先求解，再把代入一次函数与反比例函数计算，再进一步可得结论．
【详解】（1）解：设所在反比例函数的解析式为：，
∵过点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：老师安排合理，理由如下：
由题意，当时，，
∴,
设,
∵直线过点和，
∴，
解得，
∴，
令，
∴，
∴，
令，
∴，
∵，
∴老师安排合理．
【变式1-2】阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式；
(2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”．
【答案】(1)
(2)见解析；
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键．
（1）根据题意，利用待定系数法求解即可；
（2）根据解析式，先得到，进而得到，再计算比值即可证得，结合“视觉比”的概念求解即可．
【详解】（1）由题可知，时，，
，解得，
答：“E”长a与视力V之间的函数解析式为；
（2）证明：时，即，
时，即，
则，，
，
，
又与的相似比为，
与的“视觉比”为．
【变式1-3】大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，．
(1)求y关于x的反比例函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y；
(3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？
【答案】(1)
(2)火焰的像高为
(3)至少是
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答；
（2）把代入中，进行计算即可解答；
（3）当时，，再利用反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设，把，代入中，
解得．
y关于x的函数表达式为．
（2）解：把代入中，解得．
火焰的像高为．
（3）解：当时，．
由的图象可得，当时，y随x的增大而减小，
若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是．
1．已知反比例函数的图象与一次函数的图象有两个不同的交点分别为，，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及利用函数图象解不等式，先利用一次函数图象上的点求出a的值，再代入反
比例函数求出k，最后分和两种情况解分式不等式确定解集．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，解得，
∴交点为和，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
则不等式为，
分两种情况讨论：
①当时，不等式两边同乘x（不等号方向不变）
得，即
∵，
∴，
②当时，不等式两边同乘x（不等号方向改变）
得，即，
∵，
∴，
综上，不等式的解集为或，
故选：D．
2．如图，点在反比例函数的图象上，连接．
（1）如图1，若点的横坐标分别为1，3，且，则 ．
（2）如图2，若点的坐标为，将绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在这个反比例函数的图象上，则点的坐标为 ．
【答案】 6
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质并添加合适的辅助线是关键．
（1）分别过点作轴于点轴于点，根据题意，可得点根据即可得到答案；
（2）点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为．设点，则得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）如图1，分别过点作轴于点轴于点，
则．
．
根据题意，可得点
（2）如图2，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为．
根据旋转的性质得到
∵点，
设点，则
，
点
∵点在反比例函数的图象上，
，
解得（舍去），
点．
3．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，连接．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，的最大值为
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设的坐标为，，则，再由，可得当时，．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点，
，
反比例函数为，
把代入得，，
解得，
，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为；
（2）解：存在，
依题意，设的坐标为，，
则的面积，
，
当时，．
4．小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了不超过一个运行周期的部分温度（单位：）及对应时间（单位：）的数据如表所示：
然后以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题：
(1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来；
(2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求第一个周期内关于的函数解析式；
(3)当冰箱温度刚好达到时，继续运行分钟，求此时冰箱内的温度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)继续运行120分钟冰箱内的温度是
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用：
（1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象；
（2）根据函数图象猜想函数满足的函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：当时，设关于的函数解析式为
由题意知：解得：
∴当时，关于的函数解析式为
当时，设关于的函数解析式为 由题意知：，解得：
此时，关于的函数解析式为
当时， 解得：
∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟
∴
（3）解：当冰箱温度刚好达到时，已运行了，继续运行，总共为
冰箱运行个周期零，当时，
继续运行分钟冰箱内的温度是
5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图像相交于，两点，已知点的纵坐标为，点的纵坐标为．
(1)求一次函数的解析式：
(2)根据函数图像，直接写出关于的不等式的解集：
(3)已知直线与轴交于点，若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
【答案】(1)．
(2)或．
(3)．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、利用函数图像解不等式、三角形面积计算等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．
（1）先根据反比例函数解析式和、两点的纵坐标，求出、两点的坐标；再将、两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和，得到一次函数解析式．
（2）将不等式变形为；结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像上方（含交点）时的取值范围．
（3）先求出直线AB与轴交点的坐标，再求出点（关于轴的对称点）的坐标；利用（或）计算三角形面积．
【详解】（1）解：∵反比例函数，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴．
∵点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴．
∵一次函数过、，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为．
（2）解：∵，
∴，
∵，．
∴由图像可知，解集为或．
（3）解：如图，
∵直线：与轴交于，
∴当时，，
∴．
∵是关于轴的对称点，
∴，
∴．
．
6．阅读以下材料：
材料一：若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”．
材料二：若关于的一元二次方程的两根分别为，则有
问题解决：
(1)下列四组数中能构成“和谐三数组”的有___________（填序号）；
①1，2，3；②；③；④．
(2)若是关于的方程（a，b，c均不为0）的两根，是关于的方程（b，c均不为0）的解．求证：可以构成“和谐三数组”；
(3)若三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数的值．
【答案】(1)②③④
(2)见解析
(3)或或．
【分析】本题是新定义试题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系、反比例函数图象上点的坐标特征和对新知“和谐三数组”的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系与反比例函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据“和谐三数组”的定义进行判断即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，然后再求出，只要满足=即可；
（3）先求出三点的纵坐标，然后由“和谐三数组”可得之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详解】（1）解：∵1，2，3的倒数分别为，
∴1，2，3不是“和谐三数组”；
∵的倒数分别为，
∴是“和谐三数组”；
③∵的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，，
∴是“和谐三数组”；
④∵的倒数为，的倒数为，的倒数为，．
∴是“和谐三数组”．
故答案为：②③④；
（2）证明：∵，是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根，
∴，，
∴，
∵是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解，
∴，∴，
∴=，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）解：∵三个点均在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴或或，
即或或，
解得：或或．
7．汽车前视野盲区是由于驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车头结构遮挡，而不能直接观察到的那部分区域．
研究时可简化模型：如图所示为汽车的左视图和俯视图．在左视图中，驾驶员眼睛距地面的高度为，障碍物高度为，车头前沿到驾驶员眼睛所在位置的水平距离，驾驶员的视线与地面交点到车头前沿的水平距离为盲区长度．事实上视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域，我们可以借助汽车俯视图来呈现．
问题1：
（1）请结合左视图，在俯视图中画出驾驶员的视线从点出发，因遮挡而产生的视野盲区；
（2）已知，，请用含、的代数式来表示俯视图中盲区的面积；
问题2：下表为某型小轿车实验数据：
（实验条件：平坦路面、驾驶员坐直目视前方）
（1）用、、和的数量关系验算下表四个实验，数据差异最大的实验是___________（填序号）．
（2）若、保持不变，减小，则___________（填“减小”、“不变”或“增大”），请用数学的方法说明理由．
【答案】问题1：（1）见解析；（2）；问题2：（1）②；（2）增大，理由见解析
【分析】本题考查了三视图、相似三角形的性质与判定、反比例函数的性质，理解题意，正确画出视野盲区是解题的关键．
问题1：（1）结合左视图，画出视野盲区即可；
（2）先证明得到，进而得到，，再证明，再利用相似三角形的性质得到，再利用即可求解；
问题2：（1）结合问题1可知，根据、、的数据分别验算实验①②③中的长，找出数据差异最大即可得出答案；
（2）根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】解：问题1：
（1）如图所示，视野盲区即为所求：
（2）由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
结合左视图和俯视图可得，是的高，是的高，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即盲区的面积为；
问题2：
（1）由问题1可知，，
①当，，，则；
②当，，，则；
③当，，，则；
结合实验数据可知，数据差异最大的实验是②；
故答案为：②；
（2）若、保持不变，减小，则增大，理由如下：
令，则，其中，
∴是关于的反比例函数，
∵，
∴当时，随着的增大而减小，
∴当减小时，也减小，即减小，则增大，
∴若、保持不变，减小，则增大．
故答案为：增大．
8．根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：，；任务2：
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，待定系数法，反比例函数的图象和性质等知识．
任务1：运用待定系数法即可求得答案；
任务2：由，得，即可求得直线的解析式为与反比例函数解析式联立，即可求得点P的坐标．
【详解】解：任务1：将点代入，得：，
解得：；
将点代入，得，
解得：；
任务2：∵，
∴．
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为．
联立得：，解得：或（舍去），
当时，，
∴点P的坐标为．
9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)若点是轴上一动点，连接，，当的值最小时，求出点坐标；
(4)点Q是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)或或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称的性质，等腰三角形的定义，勾股定理；
（1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数；
（2）将代入求出的坐标，结合函数图象与的横坐标，即可求解；
（3）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，待定系数法求得直线的解析式，令，即可求解．
（4）设，分别求得的长，分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
根据图象可得，当时，或；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，
∵
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
∴
（4）解：设，
∵
∴
当时，，则
当时，，解得：，则
当时，，解得：或（舍去），则
综上所述，或或
10．某数学兴趣小组对函数图象抱有浓厚兴趣，继而深入探究图形变换对反比例函数图象所产生的影响，他们尝试采用以下方式开展研究．
方式一：先作函数图象关于直线的对称图形，再向右平移1个单位长度；
方式二：先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．
【问题提出】
小林认为：
按照方式一的变换，的图象关于的对称图形是其本身，再向右平移1个单位长度，较容易画出的图象；
按照方式二的变换，向右平移1个单位长度后的图象不是关于的轴对称图形，进一步作图变得困难．那么，经历方式二变换后，函数的关系式和图象是怎样的呢?
【问题探究】
（1）小林建议从特殊情况入手，发现规律．
①如图1所示，兴趣小组已画出线段（、在格点上）关于的对称线段，请你在图1的网格中，分别画出线段按照方式一变换得到的线段和按照方式二变换得到的线段；
②观察线段和的位置关系，小林大胆猜测：“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向______平移______个单位；随后，小组成员通过多次实践和严密推理，验证了猜想的正确性．
【问题解决】
（2）请根据猜想，按照方式二的要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为______（不需要写自变量的取值范围）．
【问题延伸】
（3）按照方式一变换得到的图象记为，如图2所示，按照方式二变换得到的图象为．已知点是第一象限内一点，将点按照方式一、方式二进行变换，分别得到和，当直线与图象、有且只有两个交点时，请求出关于的函数表达式（不需要写自变量的取值范围）．
【答案】（1）①见解析；②上，1；（2）；（3）
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数图象的平移变换与轴对称变换；
（1）①根据题意画出线段，；
②根据两种变换可得平移方式和平移距离；
（2）根据方式二的变换，向上平移1个单位，则；
（3）设所在直线表达式为：；代入，得，依题意当且仅当与、各有一个交点，且两交点关于对称时成立；联立得出所在直线与仅有1个交点，令，结合图象经过第一象限；得出，则，代入得出，即可求解．
【详解】解：（1）①如图所示，
②“先将函数图象向右平移1个单位，再作关于直线的对称图形．”等同于“先作关于直线的对称图形”，再向上平移1个单位；
故答案为：上，1．
（2）按照方式二的要求对进行变化，所得到的新函数的关系式为
故答案为：．
（3）由题意得，
设所在直线表达式为：；
则
解得
∴所在直线表达式为：；
又由题意得：与关于对称；
关于对称且所在直线与、共有2个交点
当且仅当与、各有一个交点，且两交点关于对称时成立；
联立
整理得：；
∵所在直线与仅有1个交点
有两个相等的根，
即
解得：
∵图象经过第一象限；
所在直线表达式为：；
代入得：
整理得：
与之间的函数表达式：
定义
y＝kx(k为常数，k≠0)或反比例函数图象上的点的横、纵坐标的乘积为常数，即xy＝k
k
k＞0
k＜0
图象(草图)
所在象限
第一、三象限(x，y同号)
第二、四象限(x，y异号)
图象特征
图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即x≠0，y≠0
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减
在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性
关于直线y＝x，y＝－x成轴对称；关于原点成中心对称
模型大招
反比例函数y=kx（k≠0）的性质由k的符号决定。k>0时，图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小；k