专题17 分析判断函数图象（2大选填压轴题型4考法8难点，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：实际问题中的函数图象问题
【中考母题溯源·学方法】
考法01：不同状态下函数图象的变化趋势
【典例1-1】类型01：同向行驶
（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟）,
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故选：A．
考法02：函数图象特殊点与特殊状态的关系
【典例1-2】（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶与乙车相遇B．，两地相距
C．甲车的速度是D．乙车中途休息分钟
【答案】A
【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（）
两车行驶了小时，同时到达地，
如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息，
点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1小时，故D不正确，
设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，
∵
即
在时，乙车不动，则甲车的速度是，
∴乙车休息前速度为，故C不正确，
∴的距离为千米，故B不正确，
设小时两辆车相遇，依题意得，
解得：即小时时，两车相遇，故A正确
故选：A．
【变式1-2】类型02：同向行驶
（2025·宁夏银川·模拟预测）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下三个结论：①甲的速度是4米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；③甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查从函数图像获取信息，根据函数图象得出相关信息是解题关键．
根据图象及行程问题进行先求出甲、乙的速度即可求解．
【详解】解：由图可知：甲3秒跑了12米，
∴甲的速度是4米/秒；故①正确；
∴甲从起点到终点共用（秒），
由图知，乙用80秒跑400米，
∴乙速度为5米/秒，
∴乙追上甲用的时间为（秒），
此时距出发点（米），故②正确；
乙出发80秒时，甲跑的路程是（米），
此时甲、乙两人相距距离最大，最大距离是（米），故③正确；
故答案为：①②③．
【变式1-2】类型03：相向行驶
（2025·湖北·模拟预测）甲、乙两车分别从、两地出发，相向而行，都以一定的速度匀速行驶．甲车出发分钟后乙车再出发，两车在、之间的地相遇，途中乙车在服务区休息了分钟，随后乙车的速度比原来减少千米/小时(仍保持匀速行驶)，甲车到达地分钟后，乙车才到达地，甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示，则当乙车正要离开服务区时，甲车离地还有 千米．
【答案】
【详解】解：甲的速度为千米小时，
甲乙的速度和为：千米小时，
乙车的速度为：千米小时，
乙车出发后，两车相遇需要时间为小时，此时相遇地点距地千米，距地千米，
当甲车到达地时，乙车距地千米，
甲从相遇后到达的时间为小时，
设相遇后乙车以千米小时速度行驶的时间为小时，则乙车以千米小时速度行驶时间为小时，
由题意得：，
解得：，
此时甲车从相遇后到乙车休息结束又行驶小时，则从乙休息结束开始，甲到B地的时间为小时，
故当乙车正要离开服务区时，甲车距地距离为：千米．
故答案为：67.5．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故选：C．
2．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，，
乙出发时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为，
甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
3．（2025·湖北·模拟预测）一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米．
【答案】
【详解】解：设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，由题意得
，
解方程组得．
所以全程米．
故答案为：
4．（2025·山东·三模）小颖家，小亮家与学校在同一直线上且位于学校两侧，早上两人同时从家里出发去学校，走了分钟后，小颖以倍的速度跑向学校，小亮以倍的速度跑向学校，两人同时到达学校，两人各自离家的距离和他们所用时间的图象如图所示，请问下列结论正确的是 ．
①小颖家到学校距离比小亮家到学校的距离远；
②；
③加速后，，；
④两人从家出发分钟时，相距米．
【答案】②③
【详解】解：小颖家到学校距离与小亮家到学校的距离相等，
①不正确，不符合题意；
加速前小亮的速度为（米/分钟），则加速后小亮的速度为（米/分钟），
（米，
，
②正确，符合题意；
设加速前，小颖的速度为米/分钟，则加速后的速度为米/分钟，
则，
解得，
（米/分钟），
加速后小颖的速度是250米/分钟，
由①可知，加速后小亮的速度为200米/分钟，
③正确，符合题意；
两人从家出发12分钟时，相距（米，
④不正确，不符合题意．
故答案为：②③．
5．（2025·福建·模拟预测）最近，重庆八中号召所有老师锻炼身体，初三年级的王老师和周老师就约着从壹江城沿北滨路一直匀速跑到大剧院，已知他们的速度不同，王老师先跑一段路程后，周老师开始出发，当周老师超出王老师一定距离后他就停下来等候王老师，两人相遇后继续以原来的速度跑向大剧院，如图是两人在跑步过程中各自所走的路程（米）与王老师出发的时间（分钟）之间的函数图象，则王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了 米．
【答案】
【详解】解：由题意可得，王老师的速度为：（米/分钟），
周老师的速度为：（米/分钟）；
设周老师跑了a分钟第一次和王老师相遇，
由题意得：，
解得，，
∴王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了：（米），
故答案为：．
6．（2026·辽宁阜新·一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是 ．
【答案】1
【详解】解：由图象可知：乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，乙车0.5小时行驶了千米，A地与B地之间的距离为100千米，小时后，两车相遇，
∴乙车的速度为（千米/小时）；
∴乙车到达A地所用时间为（小时），
∴乙车先到达地，
∴甲车从A地到B地所用时间为（小时），
∴甲车的速度为（千米/小时），
∴，解得；
故答案为：1．
7．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．

【答案】150
【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为，
设线段的解析式为，
，解得：，
线段的解析式为．
当时，，
点的坐标为，
直线的解析式为．
在直线上，当时，有，解得：，
点的坐标为．
在线段中，当时，，
千米．
故答案为：．
8．（2025·山东济南·一模）两地相距240千米，早上9点，甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．甲、乙两车离开各自出发地的路程、（千米）与甲车出发的时间t（小时）之间的关系如图所示，下列描述中不正确的有 ．
①甲车的平均速度是60千米/小时；
②乙车的平均速度是80千米/小时；
③甲车与乙车在早上10点相遇；
④两车在10：40或10：58时相距20千米．
【答案】②③④
【详解】解：①由图可知，甲车1小时行驶了60千米，
故甲车的平均速度为60千米/小时；①正确．
②由图可知， 乙车的速度为千米/小时；②错误．
③设甲车与乙车在甲车出发x小时后相遇，
甲车在x小时的路程为千米，
乙车在x小时的路程为千米，
∴，
解得．
1.8小时1小时48分钟，
故甲车与乙车在10点48分相遇．③错误．
④在10：40时，两车还未相遇，经过8分钟相遇，
此时两车相距千米，
在10：58时，两车已相遇，并背向而行10分钟，
此时两车相距千米，故④错误．
故答案为：②③④．
9．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ．
汽车在行驶途中停留了小时；
汽车在整个行驶过程的平均速度是；
汽车共行驶了；
汽车出发离出发地．
【答案】
【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确；
总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确；
汽车共行驶了，结论错误；
汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确．
故答案为：．
10．（2024·湖北·模拟预测）甲、乙两人正中间正好有个地铁站，他们相约在那里见面，然后一起去图书馆，甲先到后原地等待．两人之间的距离y（单位：）与步行时间x（单位：）之间的关系如图所示，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意及图中信息可知，两人在分钟时相距，且甲已到达地铁站等候乙，在第分钟时两人的距离为，则乙也到达了地铁站，
设甲的速度为，乙的速度为，依题意得：，
由②得：，
将代入①得：，
由③得：，
将代入④得：，
解得：，
故答案为：．
11．（2025·山东临沂·一模）一条笔直的公路上有，，三地，已知，两地相距，在之间，早上时甲车匀速从地出发，时到达地，在休整一小时后继续前往地；乙车早上时从地匀速出发前往地，中途汽车发生故障，维修后保持原速继续前往地，下图、图分别代表甲、乙两车距地的距离与时间的图象，图为两车之间的距离与时间的图象，下列说法中正确的是 （请填写序号）．
，；；乙车修车正好用去小时；甲车比乙车先到达目的地．
【答案】/
【详解】解：由图可知，地到地共，
甲车从地到地共用了，中途休息了，
甲车共行驶了，
甲车的速度为，
甲车早上时从地出发，乙车早上时从地匀速出发前往地，
由图可知，是甲车行驶时，两车之间的距离与时间的图象，
是甲、乙两车共同行驶时，两车之间的距离与时间的图象，
段两车之间的距离没有变化，说明这段时间两车都没有行驶，
即此段时间甲在休息，乙在修车，
甲从时到时休息了，乙修车用了，
乙从时出发，开始修车，
乙在修车前行驶了，
乙车的行驶速度是，
故错误；
设两车从出发到相遇用了，
则甲行驶的路程为，乙行驶的路程为，
根据题意可得：，
解得：，
故正确；
由可知乙车修车正好用去小时，
故正确；
由图可知：两车相遇后，两车之间的距离匀速增加，同时到达目的地，
故错误，
正确的是．
故答案为：．
题型二：几何动态问题中图象问题
【中考母题溯源·学方法】
考法03：各阶段函数解析式的求解
【例2-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．
【详解】解：当点E在上时，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；
当点E在上且l与相交时，作，如图，
，，
，
，，
，
此时图象为直线一部分；
当点E在上且l与相交时，如图，
，，，
，
，
，
此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；
故选A．
【变式2-1】难点04：三角形双动点
（2024·河南·模拟预测）如图所示，在中，，，定长线段的端点，分别是边，上的动点，是的中点，连接．设，，与之间的函数关系的部分图象如图2所示，已知，则图象最低点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：根据题中图可知，当点与点重合时，最大，
即最大，为．
如图所示，
，，
，
，
．
设，，
是的中点，
，
，
解得，
，．
当点与点重合时，如图所示，
此时最小，即最小，为，
是中点，
，
即．
故选：．
【变式2-2】难点05：线段间函数图象判断
（2025·河南郑州·一模）如图，矩形中，，，动点从点出发，按的方向在和上移动，记，点到直线的距离为，则关于的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】①点P在上时，，点D到的距离为的长度，是定值4；
②点P在上时，，

∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
只有B选项图形符合，
故选：B．
【变式2-3】难点06：重叠部分面积图象
（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】C
【详解】解：由题意可得，当菱形与菱形重合时，重叠部分的面积y最大，此时点P与点C重合时，点E与点A重合，，重合部分的面积y是菱形的面积，
由图象可得，此时，，
∴，，
∵，即，
∴，故A选项错误．
连接，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴在中，，
∴，故选项B错误；
当时，，
∵在菱形与菱形中，，且，
∴菱形与菱形全等，
∴，
∴，
∴，
∴点O与点E重合，如图所示，
设与相交于点M，与相交于点N，连接，交于点H，
∵在菱形和菱形中，，，
又，
∴，，
∴，，
∵在菱形中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴
∵在中，，
∴在中，，
∴，
∴，
即，故选项C正确．
由图象可得，当时，，故选项D错误．
故选：C．
考法04：函数图象拐点与几何图形的对应关系
【例2-2】（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ．
【答案】 8 12
【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合，
∵动点P，Q均以的速度从点同时出发，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）由图象可知，当时，，此时，
过点作于点，如图：则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴；
故答案为：12．
【变式2-4】难点07：与圆结合
（2025·黑龙江·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图：
∵为的直径，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
即当时，，可以排除C，D选项；
当点P在上运动时，如图：
∵，
∴，
即当时，
，可以排除B选项；
故选：A．
【变式2-5】难点08：与平行四边形结合
（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为 ．
【答案】6
【详解】解：如图，连接，过点D作于点G，
当点P在线段上运动时，
在中，，则，
∴函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；
当点P在线段上运动时，的长度是先减小，到与点G重合时，达到最小，再增大，与点A重合时达到最大，而，
∴S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大，
∴结合图象知，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【中考模拟闯关·练提分】
1.（2026·甘肃·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿匀速运动到点．图②是点运动过程中，的面积随点的运动路程变化的关系图象，则该矩形的边的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：据图可知，，当点运动到上时，面积为，
四边形为矩形，
，
，
，
解得．
故选：．
2．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．
①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积，
∴；
②当时，
依题意，，，
移动距离，
则
∴
∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积，
即，
此时是开口方向向上的二次函数，
③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，
故选A．
3．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，
点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
由点P和点Q的运动可知，，
当点Q在上时，即时，，
过点P作交于，
，
，
，
当点Q在上时，即时，
四边形是菱形，
，
，
由上可知，当点Q到达点C时，，
即当时，，
故选：C
4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（ ）
A．2B．2.5C．D．4
【答案】A
【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图，
∵等腰直角三角形，，点D为边的中点，
∴，
∴，
当点P运动到的中点时，
∵点D为边的中点，
∴；
故选：A.
5．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图：
在中，利用勾股定理，得，
在中利用勾股定理，得，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中利用勾股定理，得，
则，
解得，
∴点N的纵坐标是．
故选：B．
6．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：过点E作于点H，如下图：
∵，，，
∴，
∵是边上的高．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时， ，
当时，．
故选：A．
7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，
由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点，
∴，
当时，动点从点沿直线运动到上的点，
此时的面积不变，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B
8．（2025·广东广州·二模）如图，边长为1的正方形中，、为线段、上的动点，且，小明用信息技术软件开展研究，当拖动点时，发现线段与线段、、和之间存在相互变化关系，设长度为，、、和的长度分别为、、、，在平面直角坐标系中画出点、、和的轨迹，则平面直角坐标系中这四个轨迹分别对应的图象是（ ）．
A．④③①②B．③④①②C．③④②①D．④③②①
【答案】C
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
设长度为，则，
∵、、和的长度分别为、、、，
∴，
∴当时，取最大值，当时，取最小值，
∴图象③为点的轨迹；
∵，
当时，取最小值1，当时，取最大值，
延长，取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，，当时，，
∴图象④为点的轨迹；
∵，
∴当时，取最小值1，当时，取最大值，
∵，，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，点的轨迹在点的轨迹上面，
∴图象②为点的轨迹；图象①为点的轨迹；
综上分析可知：在平面直角坐标系中，点、、和的轨迹分别对应的图象是③④②①．
故选：C．
9．（2025·江苏宿迁·三模）如图1所示，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设点同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当时，；⑤当时，与相似；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】DD
【详解】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是每秒1个单位长度，
∴，
∴由矩形的性质可得，故①正确；
∵从M到N用了2秒，
∴，
∴，
在中，，
∴，故②正确；
过点P作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，故③错误；
当时，此时点Q在点C，点P在上，且，
∴，
∴，故④正确；
当秒时，点P在上，此时，，
，
∵，，
∴，
又∵，
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤．
故选：D．
10．（24-25九年级上·江苏南通·月考）如图1，在菱形中，对角线交于点O，，，点P沿从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，
四边形为菱形，，
点在上，，，
垂直平分，
，，
当、、三点共线时，的最小值为
在中，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，
，
的最小值为，即．
故选：C．
11．（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ）
B．
C． D．
E．
【答案】A
【详解】解：两点运动速度相等，
两点的运动路程相等，
当时，点在上，点在上，如图，
，，
，故图象是正比例函数，
当时，点在上，点在上，如图，

此时，
为中点，
，
，
点到的距离为，
，
图象是开口向下的抛物线，
当时，点在上，点在上，如图，

此时，
，
，
，，
，图象与前一段函数一样，
据此判断A正确，
故选：A．
12．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（ ）
B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1，
由平移得：，
，
，
图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；
②当时，与重叠部分为四边形，如图2，
由平移得：，，，
，
，
，
在中，，
；
图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；
③当时，与重叠部分为，如图3，
则，且，
是等边三角形，作于，
，
，
，
图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意；
故选：B．
13．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．y的最小值为64
【答案】B
【详解】解：由图2可知，当时，，即，
∴，
∵D是边的中点，
∴；
∵，
即，，，
此时，，
如图，过点作交于点，则有为等腰三角形，
∴，；
由图2知，点为最高点，
∵当点和点重合时，最大，
∴，，
∴，
∴，
整理得，
解得或（负值舍去），故选项C错误；
∴，，
∴，，故选项B正确；
∴，故选项A错误；
由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，
此时，
∴，
∴的最小值为，故选项D错误．
故选：B ．
14．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．点C的纵坐标为240D．点在该函数图象上
【答案】D
【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，故选项A错误；
∴，，
当时，点运动到点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B错误；
∴当，即点在点时，
∴；
∴点的纵坐标为；故选项C错误；
当时，点运动到点，则：，
∴，
∴，
∴点在该函数图象上，故选项D正确；
故选D．
15．（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时，D．的周长为
【答案】D
【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变．
记中点为，
由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图：
则，
由题意得，
∵，
∴，
∴
∴，
∴此时为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A、B正确，不符合题意；
∴当时，重叠部分记为，
由题意得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故C正确，不符合题意；
由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图：
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由题意得：为的中点，
∴，
∴，
∴的周长为，
故D错误，符合题意，
故选：D．
16．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：如图，
由题意知，，，
则，
∴，
①当时，
∵以的速度沿方向匀速运动，
∴，
∵，，，
∴，
即，
；
②当时，
；
③当时，如图，
则，同理，，
；
故选：B．
17．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴
∴
∴
当时，重合部分为，
如图所示，
依题意，为等边三角形，
运动时间为，则，
∴
当时，如图所示，
依题意，，则
∴
∴
∵
∴当时，
当时，同理可得，
当时，同理可得，
综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；
故选：D．
18．（2024·山东聊城·一模）如图①，在菱形中，，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为 ．
【答案】/
【详解】解：图象上最低点表示的意义为最小，
∵菱形，
∴关于对称，
∴连接交于，此时最小，最小值为长度，

∵即点P与点C重合时，，
∴，
∵点是的中点，
∴．
连接．
∵菱形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，，，
∴，即．
∵，
∴，即，
∴图象上最低点H的坐标为，
故答案为：．
19．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：；
设点运动到时，，则：，，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
∴；
故答案为：．
题型一：实际问题中的函数图象问题
考法01：不同状态下函数图象的变化趋势
难点01：同向行驶
考法02：函数图象特殊点与特殊状态的关系
难点02：同向行驶
难点03：相向行驶
题型二：几何动态问题中图象问题
考法03：各阶段函数解析式的求解
难点04：三角形双动点
难点05：线段间函数图象判断
难点06：重叠部分面积图象
考法04：函数图象拐点与几何图形的对应关系
难点07：与圆结合
难点08：与平行四边形结合
实际问题中各阶段运动状态及函数图象的判断步骤:
步骤一:理清横坐标代表的含义;
步骤二:分析各阶段横纵坐标之间的关系;
步骤三:根据增减性或变化的快慢判断各阶段函数图象的走向;
步骤四:根据不同运动阶段的图象，进而得到完整的函数图象
双行程问题中(追击相遇问题)，分析函数图象的关键点:
关键点1线段倾斜程度:倾斜程度不同，原因是存在速度差。线段倾斜程度越大，速度差越大，反之，则速度差越小;
关键点2转折点:转折点通常代表行驶状态发生了变化;
关键点3与x轴交点的含义:两车相遇，即:后者行驶的距离=前者行驶距离+起始距离差.
判断几何动态问题中函数图象的一般步骤:
步骤一:根据动点运动轨迹找出拐点，确定出各阶段自变量的取值范围;
步骤二:根据自变量的取值范围，求出每段函数的解析式;
步骤三:根据每段函数的解析式确定函数图象的形状.
判断圆中动点问题的函数图象时，运用圆的有关性质求线段长:
1.看到直径运用直角三角形及勾股定理;
2.运用圆周角等于圆心角的一半，求特殊角，用锐角三角函数求解;
3.有等角，借助相似三角形，列等量关系求解;
4.圆关于直径对称，可根据对称性快速求解多种情况
判断重叠图形面积问题的一般步骤:
1.判断动点的运动状态;
2.确定重叠部分的图形形状;确定不同形状下的运动范围，即自变量x的取值范围;
3.确定重叠部分的图形形状是否变化，因为形状不同，图形面积计算不同;
4.表示面积;
5.根据函数解析式及自变量的取值判断函数图象
分析双动点几何图形的函数图象问题的一般步骤:
1.判断出每段函数图象代表的含义;
2.分析图象中每个转折点对应动点的位置;
3.求出图形的边