专题19 二次函数的图象与性质（4压轴题型13难点2新考法，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

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题型一：二次函数图象与a、b、c的关系
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：①抛物线开口向上，，，
∴当时，，故①不符合题意；
②∵抛物线过点，
∴函数的最小值，
∴有两个不相等的实数根；
∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；
③∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合题意；
④∵抛物线过点，
∴，
∵时，，
即，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤∵，，
∴，
由根与系数的关系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合题意；
故选：C．
【变式1-1】难点01：结合代数式比较大小
（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【详解】解：①抛物线开口向上，
，
当时，，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
，
故结论①正确；
②抛物线与轴有两个交点，
则，
，
故结论②错误；
③由图象知，当时，，
，
故结论③正确；
④抛物线对称轴为直线，
，
当时，，
即：
，
∴
故结论④正确；
⑤当时，取得其最小值，此时，
而当时，，
，
整理，得：，
故结论⑤正确；
综上，正确的结论有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【变式1-2】难点02：数形结合方法
（2025·陕西西安·模拟预测）若抛物线（，是常数，）经过点，当时，对应的函数值．有下列结论：①抛物线的对称轴：直线；②若点、在这个抛物线上，则；③；④．正确结论的个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】解：抛物线经过点，
，
，
当时，对应的函数值，
，
，
，
，
，
故④正确；
，
抛物线的对称轴为直线，
令，解得，
，
抛物线的对称轴不是直线；
故①错误；
点、在这个抛物线上，
，
，
，
，
，
，即
故②错误；
令，则，
，
故③正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：C．
【变式1-3】难点03：确定代数式的范围
（2025·河北邯郸·三模）已知抛物线经过点，且．有下列四个结论：①；②；③若方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，则；④若，且抛物线过点，则．其中正确的结论是 (填序号)．
【答案】①②④
【详解】解：∵，
∴过，
∵抛物线经过点
∴抛物线开口向上，与轴有两个交点，且位于轴的两侧，
∴，故①正确；
由题意可知时，，
，
，
，
，
即，
故②正确；
如图，方程有两个不相等的实数根，且其中一个根小于，
∴
∴的对称轴直线，
∴，故③不正确；
∵抛物线过点，则
∵抛物线经过点
∴
又∵，
∴，
∵，则
∴
∴
∴
将代入得
∴
又∵
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，故④正确
结论①、②、④正确，③错误．正确结论的序号为①、②、④．
故答案为：①②④．
【变式1-4】难点04：判断一元二次方程根的大小
（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴的负半轴于点C，顶点为D，连接，．给出下列结论：①；②当时，；③当是等腰直角三角形时，；④若是一元二次方程的两个根，且，则．其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故①正确，符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故②不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与x轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故③正确，符合题意；
∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，共2个，
故选：B．
【变式1-5】难点05：结合代数式的最值
（2025·江苏苏州·二模）若，，且，的最小值为，最大值为，的值为 ．
【答案】
【详解】解： ，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
，，
，
故答案为：．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，
当时，，故①正确；
②抛物线开口向下，故，
对称轴为，
，
，故②错误；
③设抛物线的解析式为，则，
令得：．
抛物线与轴的交点在和之间，
．
解得，故③正确；
④二次函数的图象与轴交于点，
，
对称轴为，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有3个
故选：C．
2．（2025·陕西西安·一模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，给出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③当时，或；④；⑤若二次函数经过点，则其图象必经过点．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．④⑤C．①②⑤D．②③④
【答案】C
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴正半轴相交，
，
对称轴在轴右侧，
，异号，
，
，，故①正确，④错误；
对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
∴当时，随的增大而减小；故②正确，
∵对称轴为直线，且经过点，
∴抛物线经过，
∴当时，；故③错误；
∵二次函数经过点，对称轴为直线，
∴抛物线图象必经过点，故⑤正确．
故选：C．
3．（25-26九年级上·湖南湘西·期末）如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：由图象开口向上得，对称轴得，
与轴交点在负半轴得，故，①正确；
当时，，由对称性，关于的对称点为，
此时，故，②错误；
将代入中，结合，得，③错误；
点距对称轴最远，在顶点，距对称轴较近，故，④正确；
由，知等价于恒成立，⑤正确，
故①④⑤正确，共3个，
故选：C．
4．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
∵顶点纵坐标大于，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
根据图象可知：当时，，
∴，故正确；
由得：，
即函数与的交点，
如图，
∴，，故正确，
综上可知：正确，共个，
故选：．
5．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【详解】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，
，两点关于直线对称，
，
，
结论①正确；
直线是二次函数对称轴，
，即，
，
由函数图象可知，该二次函数开口向上，，
，
结论②错误；
该二次函数与轴有两个交点，
，
由图可知，当时，，
即，，
，
，
即，
结论③正确；
，即，
，
，
，即，
，
，
∴不一定正确，
结论④错误；
综上，正确结论为①③，共个．
故选：．
6．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：
①；
②；
③若且，则；
④直线与抛物线的一个交点，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【详解】解：抛物线与轴交于，，
设抛物线的解析式为：
，
，，
，
，故结论①正确；
令，则，
抛物线与轴交点的坐标为，
抛物线与轴交点的纵坐标在与之间，
，
，
，
，故结论②正确；
，
，
，
，
又，
，
，故结论③错误；
令相等，则，
，
解得：（不符合题意，故舍去），，
，故结论④正确；
综上，正确的结论有：，共个，
故选：．
7．（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在和之间，
∴图象与x轴另一交点在，之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
即，
故②正确，符合题意；
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
即方程有两个相等实数根，
∴，
∴
故③正确，符合题意；
∵的最大函数值为，
∴有两个不相等的实数根，
故④错误，不符合题意．
故选：B
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：

①；②；
③当时，随的增大而减小；
④关于的一元二次方程的另一个根是；
⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由图可得：，对称轴，
，
，①错误；
由图得，图象经过点，将代入可得，
，②正确；
该函数图象与轴的另一个交点为，且，
对称轴，
该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，
当时，随着的增大而减小，
③正确；
，，
关于的一元二次方程的根为，
，
，，
④正确；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共个．
故选：．
9．（25-26九年级上·重庆·月考）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而减小；③；④；⑤对于任意实数，总有．以上结论正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】A
【详解】解：二次函数顶点为，且过，
由对称性，函数过，
设，
，
过，
，
，
，
，结论③正确；
顶点纵坐标，，
，
方程即，
函数最大值为，且，
∴方程有两个不相等的实数根，结论①正确；
，对称轴为
当时，y随x的增大而减小，结论②正确；
，
，
，结论④正确
，
，，
，结论⑤正确；
综上，①②③④⑤均正确
故选：A．
10．（2025·四川广元·一模）抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立；⑤．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标，
∴对称轴，即，
代入A点坐标：，
结合，得，
∵与y轴交点在和之间，
∴，
解得；
结论①：，
∵，
∴，即，故①正确；
结论②：抛物线开口向下，对称轴，
点距对称轴，点距对称轴，
∵，
∴，故②正确；
结论③：方程，
∵顶点为最大值，，
∴直线与抛物线无交点，方程无实根，故③错误；
结论④：，
代入，，
整理得，
∵且，
∴不等式恒成立，故④正确；
结论⑤：由解析得，故⑤正确．
综上，正确结论有4个．
故选：D．
11．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ．
【答案】②③④
【详解】解：由图象和题意可知：，当时，，
∴，
∴，；故①错误，
当时，函数取得最小值为：，
∴对于任意实数m，，
∴的值不小于2，故②正确；
作点关于对称轴的对称点，连接，
则：，
∴当点在上时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为；故③正确；
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点在抛物线上，满足且，
∴，
∴点离对称轴远，
∴；故④正确；
故答案为：②③④．
12．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）抛物线（，，是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；②；③若，则关于的一元二次方程有实数解；④若点，在抛物线上，，若对于任意的都有使得，则的取值范围为，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【详解】解：∵，且与x轴交点，
则抛物线图象如图，
很明显，故①正确，符合题意；
当时，，故②正确，符合题意；
设抛物线顶点为D，过D作轴于点H，
∴，
∴，
令，
则，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴顶点纵坐标大于，即二次函数与直线无交点，
∴关于x的一元二次方程无实数解，
故③错误，不符合题意；
将代入抛物线可得：，
∵点，在抛物线上，
∴，，
∵若对于任意的m都有n使得，
∴，整理得：，
∵，
∴，即，解得：或，
当时，点当点M和点N重合时，
∵，
∴；
当时，则，
∵，
∴，即，
∴，故④正确，符合题意．
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
题型二：二次函数图象变换问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段的长；
(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；
(3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点，
∴，整理得，解得
∴
则；
（2）当时，抛物线：，
则
设，则，
设直线解析式为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则直线解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点E，则，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，解得，
∴点，
过点D作于点H，则，
则；
（3）设直线解析式为，
则，解得，
那么直线解析式为，
过点D作，如图，
则，
∵，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴
由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为，
∵点，都落在抛物线上
∴
解得，
则抛物线解析式为
∵
整理得，解得，
∴抛物线与交于定点．
【变式2-1】难点06：关于x轴对称
（2025·安徽·模拟预测）若抛物线与抛物线在同一个平面直角坐标系中且关于轴对称，则符合条件的、的值为（ ）
A．B．，
C． ，D．，
【答案】C
【详解】解：根据两抛物线关于轴对称，则它们的二次项系数、一次项系数、常数项均互为相反数，
∴
解得：，
故选：C．
【变式2-2】难点07：绕原点旋转
（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，一段抛物线，记为，它与轴交于点；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；；如此进行下去，直至得．若点在第段抛物线上，则，的值分别为（ ）

A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【详解】解：一段抛物线，
图象与轴交点坐标为：，
将绕点旋转得，交轴于点，
将绕点旋转得，交轴于点，
如此进行下去，直至得，交轴于点，
的解析式与轴的交点坐标为，且图象在轴上方，
的解析式为，
，
在第13段抛物线上，
当时，，
，
故选：A ．
【变式2-3】难点08：关于y轴对称
（2023·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与抛物线关于轴对称，则符合条件的、的值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】解：关于轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，
∴，
解得：，，
故选：D．
【变式2-4】难点09：沿直线y=kx+b平移
（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，二次函数是常数，且的图象经过，三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标（ ）
A．有最大值为1B．有最大值为
C．有最小值为1D．有最小值为
【答案】B
【详解】解：∵在直线上，
∴点A或点B是抛物线的顶点，
∵点B、C的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过B、C两点，
∴该抛物线经过点A、C，
把，代入得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为，
∵其顶点始终在直线上，
∴抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
∵，
∴平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有最大值为，
故选：B．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为，则的值为（ ）
A．2B．2或0C．D．2或
【答案】B
【详解】解：∵这两条抛物线关于y轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直，
∴每条抛物线顶点与原点的连线与y轴夹角为，
即该连线上的任意点的横、纵坐标的绝对值相等，
又∵其中一条抛物线为，
∴该抛物线的对称轴为，即顶点横坐标为1，
∴顶点纵坐标的绝对值为1，
即，
解得或．
故选：B．
2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过三个点中的两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】解：在直线上，
或B是抛物线的顶点，
的横坐标相同，
抛物线不会同时经过B、C点，
抛物线过点A和C两点，
把代入：
得，解得，
二次函数为
顶点始终在直线上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为，
平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为．
故答案为：．
3．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ．
【答案】或或
【详解】解：由题意知，的解析式为，的解析式为；
①当B与原点重合时，，此时矩形不存在；
②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图：
当时，，即；
故当时，矩形与图象G有三个公共点；
③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示；
④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点；
⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点；
设直线的解析式为，把点A坐标代入得，
即；
∵点Q向上平移两个单位长度得到点B，
，
∴点D的纵坐标为，
即，把点D坐标代入，得：，
解得：（舍去），
；
即点Q的纵坐标为，
故；
⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图；
⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图；
综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ．
【答案】2或6
【详解】解：由题意，令，
，
，
将该图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），
，
由题意得，平移前后的函数图象相交于点，若，
当点E在x轴上方时，如下图：
由对称性得：，
点纵坐标为，横坐标为，
点在二次函数的图象上，
，
解得：（不合题意舍去）；
当点E在x轴下方时，
同理：点纵坐标为，
，
解得：（不合题意舍去）；
故答案为：2或6．
5．（24-25九年级上·广东广州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
(1)求直线的解析式；
(2)求，的值；
(3)平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【详解】（1）解：直线经过点，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）直线与抛物线都经过点，且点，都在直线上，
直线与抛物线不可能有三个交点，且、两点的横坐标相同，
抛物线只能经过、两点，
把，代入得：
，
解得：，；
（3）由（2）知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，则其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线为与轴交点纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．
6．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为．
①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”；
②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴点D的坐标为；
（2）解：①将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为，
设抛物线的表达式为
∵抛物线是的“子抛物线”，
∴抛物线经过点，
又∵抛物线经过原点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为，
在中，当时，，
∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上，
又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线，
∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”；
②∵四边形是平行四边形，
∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得，
∴，
解得．
7．（2025·江西赣州·二模）已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表：
(1)抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______；
求抛物线的解析式及的值．
(2)如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线．
抛物线的解析式为______；
记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，或，
对称轴为，
把，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：，；
由可知，抛物线的解析式为，
把代入，得：，
解得：；
（2）解：如图：设的顶点为，的顶点为，
当时，，
，
将抛物线绕点旋转后，得到抛物线，
点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，
，
，，
，
抛物线的解析式为；
直线经过点，
，即直线为，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，
故图象与过点的直线有且仅有一个交点时，的取值范围是．
8．（2024·江西宜春·模拟预测）二次函数（）的图象交轴于原点及点．
(1)求点的坐标．
(2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式．
(3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）．
②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值．
③若点，在上，且，请直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：令，
得，
．
（2）二次函数（）的图象经过，
，解得，
该二次函数的解析式为．
（3）① （或）
由（2）知，的函数解析式为，
的顶点坐标为．
∴由绕点旋转得到，
∵与的顶点关于点对称，且与的开口大小相同、方向相反，
∴的顶点坐标为，
∴的函数解析式为．
② 直线与有三个交点，
由图象可知．
当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为与均大于，
不妨记这三个点从左至右依次为
，
．
由图象可知点，在上，点在上，
由抛物线的对称性可知，
，
．
当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为，
与均大于，不妨记这三个点从左至右依次为
．
，
由图象可知点在上，点在上，
由抛物线的对称性可知，
，
．
当时，易知，
，不符合题意，舍去．
综上所述，或．
③ 或
方法一：结合图象可知，
当点均在上时，
，的对称轴为直线，的开口向上，
点到直线的距离大于点到直线的距离，
且点在直线的左侧．
当点在直线的左侧时，
由二次函数的性质可得，符合题意，此时，即．
当点在直线的右侧时，，即．
故当点均在上时，．
当点均在上时，
，的对称轴为直线，的开口向下，
点到直线的距离小于点到直线的距离，
且点在直线的右侧，
当点在直线的右侧时，由二次函数的性质可得，符合题意，此时．
当点在直线的左侧时，，即．
故当点均在上时，．
当点在上，点在上时，易知，不符合题意．
综上，的取值范围为或．
方法二：结合图象可知，当点均在上时，
，的对称轴为直线，
点连线的中点在直线的左侧，
，即．
当点均在上时，
，的对称轴为直线，
点连线的中点在直线的右侧，
，即．
当点在上，点在上时，易知，不符合题意．
综上，的取值范围为或．
9．（25-26九年级上·江苏南通·月考）（1）如图，已知点，且，抛物线（）图象经过A，B，C三点．求抛物线的解析式；
（2）若点P是如图中的直线上方的抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
（3）将图中的抛物线向下平移5个单位，将平移所得抛物线（）的部分记为，将绕原点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为L，完成以下问题：
①抛物线的函数解析式为 （）．
②若直线与L有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为，与，且，求t的值．
③若点，在L上，且，请直接写出m的取值范围．
【详解】解：（1）点，
，
，
，
，，
抛物线（）图象经过A，B，C三点，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，将点，代入，
得，
解得，
，
作轴，交于点，
设，则，，
，
；
，
四边形面积的最大值为；
（3）①将图中的抛物线向下平移5个单位，
所得抛物线为，
顶点坐标为，
将绕原点旋转后，的对称点坐标为，
即为抛物线的顶点坐标，这时抛物线开口向上，
抛物线的解析式为，即；
②将，合起来得到的图象记为L，如下图，
当时，，，是方程的两个根，
此时，，，
，即，
，
把代入，
同理可求当时，；
综上所述，t的值为；
③当点在上时，点关于直线的对称点，
，
，
；
当点在上时，点关于直线的对称点，
，
，
；
综上所述，m的取值范围是或．
10．（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D．
(1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标；
(2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）；
②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，
当时，，代入抛物线得：，
，
∴抛物线的方程为：．
∴抛物线的对称轴方程为：，
把代入，得，
∴点坐标为．
（2）解：在（1）中抛物线的方程为：，
①当时函数的图象记为，
∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点，
将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称，
∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点，
∴图象的解析式为：．
②直线与图象有3个交点，分两种情况，
当直线与有2个交点且与有1个交点时，，
，
令，得，
结合图象可得：，
同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，，
，
令，得，
结合图象可得：．
∴．
11．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，抛物线与轴交于点（点在点左边），，其顶点为．将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为．

(1)直接写出的值，点坐标，点坐标及抛物线的解析式；
(2)点是轴上一点，点是平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点坐标；
(3)如图，抛物线与轴交于，与轴交于点，点在第一象限的抛物线图象上，，交对称轴于，，分别交对称轴于，求值．
【详解】（1）解：设点在轴上对应的数为，
则有，
∴，
∴，，
把代入得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线，其顶点为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
即抛物线解析式为；
（2）解：如图，
当点在轴正半轴时，过作轴于，则，，
四边形是矩形，
，
，
，
∴，
，
，
，，
由点的平移可知，；
当点在轴负半轴时，同理可得，，
故点坐标为，；
（3）解：由题意可得，，，
设直线解析式为，
联立函数得，，
整理得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，设直线解析式为，可得，，
设直线解析式为，
联立函数式得，
整理得，，
则，可得，，
同理，设直线解析式为，可得，，
故，，从而，
又，，
．
12．（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离；
(3)已知点，，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意可得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：令，解得，，
，，
平移后的，，
线段的三等分点的坐标为，，
关于轴对称得到抛物线，
则设平移后的抛物线表达式为，
将代入，得，
，
，，
将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；
（3）解：秒后，点，，
抛物线的表达式为，
令时，得，则与抛物线所截线段长小于6．
如图1，当恰好在抛物线上时，
则，化简得，解得，（舍去），
如图2，当恰好在抛物线上时，
则，
化简得，解得，（舍去），
的取值范围为．
13．（2025·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点、点，且过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为．点、是轴上的两个动点（点在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值；
(3)如图2，直线上有一点，且点的横坐标为2，连接，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
【详解】（1）解：将、代入中，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，由得，，
∴，，
当时，，则，，
∴；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
如图1，过P作轴交直线于H，则，
∵，
∴，当的长度最大时，的长度最大；
设，则，
∴，
∵，，
∴当时，最大，即的长度最大，此时；
∵，
∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，
∴，当G在的延长线上时取等号，
∵,
∴的最大值为；
（3）解：∵直线上有一点，且点的横坐标为2，
∴当时，，则,
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，，
下面推导与、的关系，
如图，已知矩形中，，，，
设，，，，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故，
将抛物线关于轴对称得到新抛物线，
则新抛物线的表达式为，
设，
当Q在x轴上方时，，
整理，得，
解得，（舍去），此时；
当Q在x轴下方时，，
整理，得，
解得，（舍去），此时，
综上，满足条件的Q坐标为和．
14．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．
【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴；
（2）解：∵点在的图像上，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵，
∴当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）∵的图像与轴交点为，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
15．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
(1)求平移后新抛物线的表达式；
(2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新抛物线为；
（2）解：①如图，设，则，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
∴轴，
∴，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
综上：；
16．（25-26九年级上·重庆江北·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是线段上的一动点，过点在线段下方作交抛物线于点P，y轴有一动点，连接，过点作轴交抛物线的对称轴直线于点，连接．当取得最大值时，求点坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度后，再关于轴对称得到抛物线，抛物线交轴于A，G两点，与抛物线交于A，H两点，连接GH，AH，，点为抛物线上一动点．若，请直接写出符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标其中一种情况的过程．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线与轴的一个交点为，
∵，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
作轴交直线于点，过点作直线轴于点，并交于点，如图，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵轴，轴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴当取最大值时，取最大值，
∵，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，取最大值，
此时；
将向左平移1个单位，得到，作关于轴的对称点，连接交轴于点，
∴，
∵轴交抛物线的对称轴直线于点，连接，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即的最小值为；
（3）解：∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度，且是等腰直角三角形，
∴抛物线向右且向上各平移3个单位，
∴平移后的解析式为，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得或，
∴，
联立得，
整理得，
解得或，
∴，
作轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点在上方时，设直线交轴于点，如图，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
∴；
当点在下方时，如图，在下方作轴，且，过点作，使，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
∴；
综上，点的坐标为或．
题型三：二次函数图象对称性、增减性问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例3】（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且，
，且抛物线开口向上，
与x轴交点的坐标分别为，，且．
即向上平移1个单位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案为；；；；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：抛物线顶点坐标为，
对称轴为；
当时，，
当时，，
①当，则，
那么，在取得最大值，在取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）；
②当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或，
③当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或；
综上所述，b的值为或．
【变式3-1】难点10：与平移结合
（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
【变式3-2】新考法01：新定义问题
（25-26九年级上·浙江金华·期末）定义：在平面直角坐标系中，横坐标相等的两个点，，其纵坐标之差称为这两点的“高度差”，记；两个函数在某范围内所有对应点“高度差”中的最大值称为这两个函数在该范围内的“最大高度差”．
例如：点和点两点的“高度差”为，函数与函数所有对应点的“高度差”可以表示为，在范围内的“最大高度差”为5．已知，，．
(1)点和点的“高度差”为 ．
(2)求与在范围内的“最大高度差”．
(3)若与在范围内的“最大高度差”小于3，求a的取值范围（直接写出答案）．
【详解】（1）解：点和点的“高度差”为．
故答案为：；
（2）解：函数与函数所有对应点的“高度差”可以表示为，
解得，
即交x轴于，对称轴为直线，
画出函数图象如图所示，
当时，；
当时，；
当时，；
即与在范围内的“最大高度差”为3；
（3）解：函数与函数所有对应点的“高度差”可以表示为，
当时，，
∵与在范围内的“最大高度差”小于3，
∴在恒成立，
当时，，成立；
当时，
∵，
∴，
即在恒成立，
整理得，
对于，整理得，
令，
∵，
∴，
即，
则
对于，其对称轴为直线，在对称轴右侧，y随t增大而增大，
即当时，y随t增大而增大，最小值为，
∴，
解得；
对于，整理得，
令，
∵，
∴，
即，
则，
对于，其对称轴为直线，在对称轴右侧，y随c增大而减小，
即当时，y随c增大而减小，最大值为，
∴，
解得：；
综上所述，若与在范围内的“最大高度差”小于3，．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数（b、c为常数）的图象经过点，对称轴为直线
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
∴解得，
∴二次函数的关系式为.
（2）解：将点向上平移2个单位长度，再向左平移m个单位长度的点为，恰好落在抛物线上，
∴，
解得或（舍去），
∴的值为4．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，关于直线对称，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
当时，，
分三种情况：
①当时，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时取得最大值，即最大值为，
当时取得最小值，即最小值为，
∵最大值与最小值的差为，
∴，
解得
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时时取得最大值，即最大值为，
时取得最小值，即最小值为，
此时最大值与最小值的差为，符合题意；
③当时，
此时时取得最小值，即最小值为，
时取得最大值，最大值为，
由题意可得：，
解得，，
与前提矛盾，这种情况不符合题意，舍去；
综上，n的取值范围为.
2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为m，且，求实数t的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，且对称轴为直线，
，
，
该二次函数的表达式为；
（2）解：，
设将其左右平移h个单位后，函数解析式为，
新图象经过原点，
，
即，
开方得，
当时，；当时，，
平移方式为：向右平移1个单位或向左平移5个单位；
（3）解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值
①当，即时，函数在取最小值，时取最大值，
当时，y随x的增大而增大，
此时时，y有最小值；
当时，y有最大值，
∴，
，
，
解得，
，
；
②当时，当时，y随x的增大而减小，
此时时，y有最大值；
时，y有最小值，
∴，
，
，
，
，
；
③，即时，y的最大值为9，
若，即时，时y取的最小值，
∴，
，
，
解得或，
，
，
若，即时，时y取得最小值，
∴，
，
，
解得或，
，
．
综上，实数t的取值范围是或．
3．（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，
当时，，
∴，
如图所示，连接，
∵，，，
∴．
（3）解：当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（4）解：∵对称轴为直线，
∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4，
①当时，
当时，最大值为，
当时，最小值为，
∴，解得（舍）．
②当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴；
③当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴（舍），（舍）
综上所述，n的取值范围为．
4．（2025·甘肃天水·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D，与y轴交于点E，顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，函数最大值与最小值的差为，求p的取值范围；
(3)如图2，连接，已知的面积为10．
①求点D的坐标；
②若M是线段上的一动点，N是线段上的一动点，且，求的最小值．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将点代入，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
时，，
当时，，
解得；
当时，；
时，函数最大值与最小值的差为；
（3）解：①当时，，
解得或，
，
，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得或，
；
②过点A作，使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
当E、M、F三点共线时，有最小值为的长，
此时，在中，，，
∴，
有最小值为．
题型四：二次函数图象公共点问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
【详解】（1）证明：令，则，
∵，
∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：由二次函数的解析式得，
函数图象对称轴为直线，最大值为4．
，
，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
，解得或（舍去），
二次函数的解析式为．
（3）①证明：对称轴为直线，
∴
∴二次函数解析式为．
令，则，解得或，
则，
令，则，则
∴．
设，由题意知，且均不为0，2．
设直线的解析式为，
，解得，
∴直线的解析式为．（记为①式）
又直线过点，
，即．
同理设直线的解析式为，
把代入得
解得，
直线的解析式为．（记为②式）
同理得直线的解析式为．（记为③式）
由②③式联立得，
解得
．
若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得
，将①式代入化简得，
由对应系数相等得，
∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上．
②解：直线l的解析式为或
理由：，
∴，
，
，
，
∴，
由①知，
∴，
∴
当时，，整理得．
又，
∴
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
，
直线l的解析式为；
当时，，整理得．
又，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
∴直线l的解析式为．
综上所述，当时，直线l的解析式为或．
【变式4-1】难点11：定抛物线与动线段
（25-26九年级上·山东青岛·期末）对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数
【积累巩固】
（1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为．
①求二次函数的表达式；
②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由．
【拓展创新】
（2）当，时，二次函数（为常数）．
①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________；
②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________．
【详解】解：（1）①∵它的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，，
∴二次函数的表达式为；
②是等腰三角形，理由：
∵二次函数的图象与轴交于点，，
∴当时，，整理得，
解得，，，
∵在的左侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）①当二次函数经过点时，，解得，
当二次函数经过点时，，解得，
∴时，二次函数图象与线段有2个公共点，
故答案为：；
②设直线的解析式为，
∴将点，代入得，
，解得，
∴，
当有一个根时，，
解得，，
∴时，二次函数的图象与直线没有公共点，
故答案为：．
【变式4-2】难点12：动抛物线与定线段
（2025·江苏常州·二模）如图，在直角坐标系中，已知：将二次函数 c为常数， 的图像向上平移5个单位后经过点且不论a、c为何值，二次函数 图像总经过一定点R，R点的横坐标大于1．设二次函数图像与直线 的公共点为P、Q（在左侧）．
(1)二次函数图像的对称轴为 ；
(2)求点R的坐标：
(3)设 的面积为S．
①当点P在y轴上时，求S的值：
②当点P在y轴右侧时，直接写出S的取值范围 ．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数图像的对称轴为直线，
故答案为：直线；
（2）解：∵将二次函数 c为常数， 的图像向上平移5个单位后解析式为，平移后经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴不论a、c为何值，二次函数 图像总经过一定点和，
∵不论a、c为何值，二次函数 图像总经过一定点R，R点的横坐标大于1，
∴；
（3）解：∵，
∴当时，，
∴一定在直线下方，抛物线与直线一定有交点
过作轴交于，连接，，
∴，
∴，
∴；
①令，则，直线与y轴交点为，
当点P在y轴上时，即，
把代入得，
解得，
∴二次函数解析式为，
联立，整理得，
解得，，
∴；
②联立，整理得，
解得，，
∴，
∴，
∵当点P在y轴右侧时，
∴，
∴，，
解得，
∴，
∴的值随着的增大而增大，
∴，
∴
∴，
即，
故答案为：．
【变式4-3】难点13：对称轴确定的动抛物线
（24-25九年级上·江苏淮安·月考）我们学习了二次函数后，掌握了二次函数的图象和性质，为了方便进一步研究，我们定义：二次函数的增减性和对称性合起来叫增对性，利用增对性可以解决很多二次函数问题，请利用增对性研究有关二次函数的一些问题．
【特例探究】
（1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为_____．
（2）当，时， 若，则x的取值范围为_____．
【拓展探究】
（3）①若当时，，则该二次函数的开口向_____（填“上或下”），对称轴为____．
②在①的条件下，点，为二次函数图象上的两点，设，当时均满足，则t的取值范围_____．
③在①的条件下，已知，，该二次函数的图像与线段只有一个公共点，求a的取值范围．
【详解】解：（1）∵点，是该二次函数图像上两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
（2）当，时，
∴抛物线为：，
∵，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
如图，
∴当时，或；
（3）①当时，，如图，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线；
②由①得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等；
如图，
当时，随的增大而减小，
∵，当时均满足，
∴，解得：；
③在①的条件下，，对称轴为直线：，
如图，当抛物线过时，
∴，
∵对称轴为直线：，
解得：，
如图，当抛物线过时，
∴，而，
解得：，
综上：当时，该二次函数的图象与线段只有一个公共点．
【变式4-4】新考法02：新定义问题
（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“和谐点”，例如就是“和谐点”；若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”，例如二次函数就是“和谐二次函数”．
(1)直线上的“和谐点”坐标为________；
(2)若“和谐二次函数”的图象与轴的交点是“和谐点”，求这个“和谐二次函数”的表达式；
(3)若“和谐二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限．
①当时，这个“和谐二次函数”的最小值为6，求的值；
②已知点，，当线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：设直线上的“和谐点”的坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴直线上的“和谐点”坐标为，
故答案为：；
（2）解：∵函数是“和谐二次函数”，设它的顶点为，
∴，
∵“和谐二次函数”的图像与轴的交点是“和谐点”，
∴与轴交点为，
将代入中，得：，
解得，，
当时，；
当时，，
∴这个“和谐二次函数”的表达式为或；
（3）解：设“和谐二次函数”的解析式为，且图像过点，
∴，
解得，，
∵这个“和谐二次函数”的图像顶点在第一象限，
∴，
∴，
∴，
①∵“和谐二次函数”，，图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，当时，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴，
当，即时，函数的最小值为，
∴不存在最小值为；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，
∴，
解得，，
∵，
∴，
综上所述，的值为或；
②∵，
∴点在直线上运动，
设直线与“和谐二次函数”交于点，
当时，，
∴，
设二次函数的顶点为，
∴，
∵，
∴当点的坐标为时，此时点、、共线且与二次函数的图像只有一个交点，
如图所示，
当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；
当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点，
∴当线段与这个“和谐二次函数”的图像有且只有一个公共点时，的取值范围为或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·江苏苏州·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果A为函数图象上一点，点A的纵坐标是点A横坐标的2倍，我们称点A为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”．
①点为函数的“和谐点”；
②函数的图象经过函数的“和谐点”，则m的值为3；
③若“和谐二次函数”的图象与直线的交点是“和谐点”，则这样的“和谐二次函数”有两个；
④若二次函数是“和谐二次函数”，点，线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则n的取值范围为或；
上述结论正确个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：∵，
∴当时，，
又∵，
∴点为函数的“和谐点”；故①正确；
∵，
∴当时，则：，
∴，
∴的和谐点为：或，
当经过时，，解得：；
当经过时，，解得：；故②错误；
∵“和谐二次函数”的图象与直线的交点是“和谐点”，
∴的图象经过点，且是的顶点，
∴，故③错误；
∵二次函数是“和谐二次函数”，对称轴为直线，
∴二次函数的顶点坐标为，
∴，
∵，
∴在直线上，
∵线段与抛物线只有1个交点，如图，有两种情况：
①，此时满足条件；
②，即：；
故④正确；
综上，正确的有2个；
故选B．
2．（2025·山东济南·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】B
【详解】解：设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点，
，
解得：，
∵这个“叠梦二次函数”的图象顶点在第一象限，
∴，
，
，
，
∴点在直线上运动，
设直线与“叠梦二次函数”交于点，
当时，，
，
二次函数的顶点为，
，
∴当点的坐标为时，此时点与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点，即；
∴当线段与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或．
故选：B．
3．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）下表记录了二次函数中两个变量x与y的5组对应值，其中．
根据表中的信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线过点、，
∴抛物线的对称轴为，
又∵抛物线过点，，
∴，
∴抛物线与轴的交点为、，
设抛物线解析式为，
整理得：
又∵二次函数
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
∴当时，，
当时，，
当时，最大值，
∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
∴．
故选：C．
4．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，．
(1)当时，求的值；
(2)当，且时，求的取值范围；
(3)线段长的最小值为 ．
【详解】（1）解：把代入得，
∵ 图像与x轴的公共点为，，
∴．
∵，
∴；
（2）解：把代入得，
把代入得，
当时，则，
∴．
当时，则，
∴．
综上所述，m的范围是：或；
（3）解：把代入得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
5．（25-26九年级上·浙江·月考）已知二次函数．
(1)若该二次函数图象经过原点，求该二次函数的顶点坐标；
(2)求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求n的取值范围．
【详解】（1）过原点，
∴代入得，解得．
∴，
∴顶点坐标为．
（2），
．
，
，
故函数图象与x轴总有两个公共点．
（3）二次函数对称轴为，点、纵坐标相同，
∴对称轴为，即，得．
由，得，．
，抛物线开口向上，且，
点到对称轴的距离，
点到对称轴距离为2．
由，得．
6．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数（为常数，且）．
(1)求证：该二次函数的图像与轴总有两个公共点；
(2)若点、和在该二次函数的图像上；且，直接写出的取值范围；
(3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为4，求的值．
【详解】（1）证明：当时，
∴
又∵
∴
∴该二次函数的图像与轴总有两个公共点
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，
对称轴为直线
点在该二次函数的图像上；
∴
∵
∴
∴，解得：
解得：或
∴
（3）由（2）可得、在抛物线上，
∵
∴
∵对称轴为直线
①当时，即，
∵该二次函数的最大值与最小值的差为4，
当时，
此方程无解；
②当时，最大值在顶点即
当时，当时，
解得：（舍去）或（舍去）
当，即时，
解得：（舍去）或
③当即时，
解得：（舍去）
综上所述，
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数．
(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为．
（2）证明：△，
二次函数图象与轴总有两个公共点．
（3）解：∵点，都在二次函数图象上，
对称轴为直线，
，，．
，
，
抛物线过，
，即，
，
，
解得，即，
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
，
即，则有或，
解得：或，
综上所述：．
8．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）对于二次函数，规定函数是它关于直线的相关函数．
(1)已知二次函数：，如图1，求其关于直线的相关函数的图像与坐标轴的交点坐标．
(2)已知二次函数的顶点为点，与轴交于点，点在二次函数关于直线的相关函数的图像上，点在轴上．若、、、四点能构成以为边的平行四边形，求点的坐标．
(3)如图2，已知点，的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与二次函数关于直线的相关函数的图像有两个公共点，请直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：，
其关于直线的相关函数为，
由图可知，
当时，，此时函数图像与轴有一个交点，
令，解得，
该图像与轴的交点坐标为；
当时，，此时函数图像与轴有两个交点，
令，解得，
此时函数图像与轴的交点坐标为或；
综上所述，二次函数关于直线的相关函数的图像与坐标轴的交点坐标为，，；
（2）解：二次函数，
顶点坐标．
令，解得，
．
二次函数关于直线的相关函数为，
设，的横坐标为，
当时，在上，所以设，
当为对角线时，、、、四点能构成以为边的平行四边形，
此时满足，解得（舍去），
此时，点的坐标为；
当时，在上，所以设，
当为对角线时，、、、四点能构成以为边的平行四边形，
此时满足，解得（舍去），
此时，点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：如图1所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有1个公共点，
所以当时，，即，解得．
如图2所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点，
抛物线与轴交点纵坐标为1，
，
解得．
当时，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点．
如图3所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有3个公共点，
抛物线经过点，
．
如图4所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点，
抛物线经过点，
，解得，
时，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点．
综上所述，的取值范围是或．
9．（24-25九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”．
(1)若“友好二次函数”的图象与直线的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
(2)若二次函数是“友好二次函数”，点，，抛物线的对称轴与交于点；
①当时，点在线段上，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
②当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围．
【详解】（1）解：∵是“友好二次函数”，且顶点坐标为，
∴，得：，
∵的图象与直线的交点是“友好点”，且交点为，
∴，得：，
联立，解得：或，
∴这个“友好二次函数”的表达式为：或；
（2）解：二次函数是“友好二次函数”，且顶点坐标为，
∴，解得：，
∴该二次函数的表达式为：，
①当时，，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
如图，当时，；
如图，当时，；
综上所述，；
②二次函数的表达式为：，
∴顶点坐标为，
如图，在直线上运动，当时，与抛物线只有一个交点，当运动到点的上方但在点的下方时，与抛物线只有一个交点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，或．
10．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）已知二次函数（a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过C，D两点）与二次函数图象交于E，F两点，直线与直线相交于点P．
①通过证明可以得出结论：点P在一条定直线上．请直接写出这条定直线的解析式_______．（不用写证明过程）
②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
【详解】（1）证明：令，则，
∵，
∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：由二次函数的解析式得，
函数图象对称轴为直线，最大值为4．
，
，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
，解得或（舍去），
二次函数的解析式为．
（3）解：①依题意，对称轴为直线，
∴
∴二次函数解析式为．
令，则，解得或，
则，
令，则，则
∴．
设，由题意知，且均不为0，2．
设直线的解析式为，
，解得，
∴直线的解析式为．（记为①式）
又直线过点，
，即．
同理设直线的解析式为，
把代入得
解得，
直线的解析式为．（记为②式）
同理得直线的解析式为．（记为③式）
由②③式联立得，
解得
．
若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得
，将①式代入化简得，
由对应系数相等得，
∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上．
故答案为：
②解：直线l的解析式为或
理由：，
∴，
，
，
，
∴，
由①知，
∴，
∴
当时，，整理得．
又，
∴
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
，
直线l的解析式为；
当时，，整理得．
又，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
∴直线l的解析式为．
综上所述，当时，直线l的解析式为或．
11．（24-25九年级上·辽宁大连·月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”．
(1)直线上的“友好点”坐标为____________；
(2)若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
(3)若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限
①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值；
②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为，
∴，
解得：，
∴，
∴直线上的“友好点”坐标为，
故答案为：；
（2）∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为，
∴，
∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，
∴与轴交点为，
将代入中，得：，
解得：，，
当时，；
当时，，
∴这个“友好二次函数”的表达式为或；
（3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点，
∴，
解得，，
∵这个“友好二次函数”的图像顶点在第一象限，
∴，
∴，
∴，
①∵“友好二次函数”，，图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
当，即时，函数的最小值为，
∴不存在最小值为；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
综上所述，的值为或；
②如图所示，
∵，
∴点在直线上运动，
设直线与“友好二次函数”交于点，
当时，，
∴，
设二次函数的顶点为，
∴，
∵，
∴当点的坐标为时，此时点、、共线且与二次函数的图像只有一个交点，
当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；
当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点，
∴当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，的取值范围为或．
12．（2025·福建福州·一模）已知二次函数（为常数）．
(1)求证：不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与轴交于A，两点（点A在点左侧），与轴交于点．点关于对称轴的对称点为，点为的中点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．求证：点在一条定直线上．
【详解】（1）证明：令，则，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
不论为何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
（2）解：由二次函数的解析式得，
抛物线的顶点是，
函数图象对称轴为直线，最大值为4．
，
，
，
∴，，
当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，
，
（舍去）或，
∴二次函数的解析式为；
（3）证明：如图，
作于，作对称轴直线于点，
作于，作于，作于，
对称轴直线，，
抛物线的解析式为：，
，，
设，，
，，
∵，
，
，
，
，
即，
，，
，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
将代入，，
点在一条定直线上．题型一：二次函数图象与a、b、c的关系
难点01：结合代数式比较大小
难点02：数形结合方法
难点03：确定代数式的范围
难点04：判断一元二次方程根的大小
难点05：结合代数式的最值
题型二：二次函数图象变换问题
难点06：关于x轴对称
难点07：绕原点旋转
难点08：关于y轴对称
难点09：沿直线y=kx+b平移
题型三：二次函数图象对称性、增减性问题
难点10：与平移结合
新考法01：新定义问题
题型四：二次函数图象公共点问题
难点11：定抛物线与动线段
难点12：动抛物线与定线段
难点13：对称轴确定的动抛物线
新考法02：新定义问题
解决这类试题的关键点:
关键点1二次函数图象与系数的关系:
1.a的正负决定开口方向;
2.a,b同时决定对称轴的位置:“同左异右”;b=0,对称轴为y轴;
3.c决定与y轴交点位置.
关键点2增减性:
重点在于确定对称轴位置，结合开口方向，确定对称轴两侧的增减性.
关键点3与一元二次方程结合:
1.抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根;
2.利用根个数判断出系数间关系.
解决这类试题的关键点:
关键点1理解二次函数图象平移后的实质:
从图象上考虑:二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移(以研究顶点坐标为主)，平移过程中开口方向及大小不变,因此可先求出其顶点坐标，再根据顶点坐标的平移求解即可.
关键点2牢记二次函数图象平移规律:
左右平移:左加右减;上下平移:上加下减
…
1
2
3
4
5
…
…
0
0
3
8
…
解决这类试题的关键:确定区间内二次函数的最值
若点M(m,yM),N(n,yN)为抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)上两点，且点M在点N左侧(以a>0,b