解题秘籍02 反比例函数综合（16种题型汇总+专题训练）-【+答案】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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【题型汇总】
【考情分析】反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填空题的形式出现, 解答题考查居多，此类题型多是反比例函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，此类题型常涉及以下问题: ①求反比例函数的解析式; ②求交点坐标、图形面积; ③利用函数图象比较一次函数与反比例函数值的大小; ④反比例函数与几何图形综合.
题型01 反比例函数与一次函数交点问题
【解题方法】1）当直线与坐标轴重合时，直线与双曲线没有交点；
2）当直线与坐标轴平行时，直线与双曲线由一个交点；
3）当直线与坐标轴既不重合也不平行时，将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：.
1．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的x,y可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y=10，满足条件的x,y可看成一次函数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的x,y就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y=8xx>0的图象与直线l1：y=−2x+10的交点坐标为1,8和_________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点2,4时，直线y=−2x+a与反比例函数y=8xx>0的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点2,4时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）4,2；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点2,4作l1的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点2,4代入y=−2x+a，即可求出a的值；
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a=8xa>0有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函数图象经过点1,8，8,1，则当y=−2x+a与y=8x图象在点1,8左边，点8,1右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=8xx>0，直线l1：y=−2x+10，
∴联立得：y=8xy=−2x+10，
解得：x1=1y1=8，x2=4y2=2，
∴反比例函与直线l1：y=−2x+10的交点坐标为1,8和4,2，
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：4,24；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l1所示：
∵l1与函数y=8x图象没有交点，
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l1所示，l3即为y=−2x+a图象，
将点2,4代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题，
即方程−2x+a=8xa>0有实数根，
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=−a2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
把x=1代入y=8x得：y=81=8，
∴反比例函数图象经过点1,8，
把y=1代入y=8x得：1=8x，解得：x=8，
∴反比例函数图象经过点8,1，
令A1,8，B8,1，过点A1,8，B8,1分别作直线l3的平行线，
由图可知，当y=−2x+a与y=8x图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；

把8,1代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
2．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于A−1,0，B4,0两点，与y轴交于点C．直线l由直线BC平移得到，与y轴交于点E0,n．四边形MNPQ的四个顶点的坐标分别为Mm+1,m+3，Nm+1,m，Pm+5,m，Qm+5,m+3．
(1)填空：a=______，b=______；
(2)若点M在第二象限，直线l与经过点M的双曲线y=kx有且只有一个交点，求n2的最大值；
(3)当直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2都有交点时，存在直线l，对于同一条直线l上的交点，直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．
①当m=−3时，直接写出n的取值范围；
②求m的取值范围．
【答案】(1)12，−32
(2)当m=−2时，n2可以取得最大值，最大值为2
(3)①n的取值范围为：12≤n≤1或n=−4；②m的取值范围：−13≤m≤3−572
【分析】（1）将点A−1,0，B4,0代入函数解析式y=ax2+bx−2得a−b−2=016a+4b−2=0，解之即可；
（2）设直线BC的解析式为y=dx+ed≠0，将点B4,0和C0,−2代入得4d+e=0e=−2，求出直线BC的解析式y=12x−2；再求出直线l的解析式为y=12x+n，根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=m+1m+3=m2+4m+3，再由直线l与双曲线有公共点x2+2nx−2m2−8m−6=0，由直线l与双曲线有且只有一个交点得Δ=0，进而可求得；
（3）当直线l与抛物线有交点时，联立直线y=12x+n与抛物线y=ax2+bx−2的解析式，得y=12x2−32x−2y=12x+n，可求得n≥−4；当n=−4时，直线y=12x−4与抛物线有且只有一个交点F2,−3；①当m=−3时，四边形MNPQ的顶点分别为M−2,0，N−2,−3，P2,−3，Q2,0．第一种情况：如图2，n=−4时，直线l与四边形MNPQ，抛物线y=ax2+bx−2都有交点，且满足直线l与矩形MNPQ的交点的纵坐标都不大于与抛物线y=ax2+bx−2的交点的纵坐标．第二种情况：当直线l经过点A时，如图3所示，12×(−1)+n=0，解得，n=12，当直线l经过点M时，如图4所示得n=1，12≤n≤1，最终可得n的取值范围为：12≤n≤1或n=−4．
②（Ⅰ）当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点Mm+1,m+3在直线y=12x−4上时，直线l与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，得解得，m=−13．
（Ⅱ）如图5，当m的值逐渐增大到使矩形MNPQ的顶点Mm+1,m+3在这条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线l（即经过此时点M的直线l）与四边形MNPQ、抛物线y=ax2+bx−2同时有交点，且同一直线l与四边形MNPQ的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，12(m+1)2−32(m+1)−2=m+3，解之可求出m；综合（Ⅰ）到（Ⅱ），得m的取值范围：−13≤m≤3−572．
【详解】（1）将点A−1,0，B4,0代入函数解析式y=ax2+bx−2得
a−b−2=016a+4b−2=0
解得a=12b=−32
故答案为：12，−32；
（2）设直线BC的解析式为y=dx+ed≠0，
∵直线BC经过B4,0和C0,−2，
∴4d+e=0e=−2，解得d=12e=−2，
∴直线BC：y=12x−2．
∵直线BC平移得到直线l，且直线l与y轴交于点E0,n，
∴直线l：y=12x+n，
∵双曲线y=kx经过点Mm+1,m+3，
∴k=m+1m+3=m2+4m+3，
∴y=m2+4m+3x．
∵直线l与双曲线有公共点，
联立解析式得：y=12x+ny=m2+4m+3x，
∴12x+n=m2+4m+3x，
整理得：x2+2nx−2m2−8m−6=0，
∵直线l与双曲线有且只有一个交点，
∴Δ=0，
即(2n)2−4−2m2−8m−6=0，
整理得：4n2+8m2+32m+24=0，
化简得：n2+2m2+8m+6=0，
∴n2=−2m2−8m−6=−2m+22+2，
∵点M在第二象限，
∴m+10，
解得，−30)；（2）A'(−1，2)或(1，−2)
【分析】（1）由三角函数值，即可求出OB=2，然后求出点A的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据题意，可分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，两种情况进行分析，即可得到答案．
【详解】解：（1） ∵AB⊥x轴于点B
∴∠OBC=90°
在Rt△OBC中，OC=3，cs∠BOC=23
∴OBOC=23，OB=2
∴点A的横坐标为2
又∵点A在正比例函数y=12x的图象上
∴y=12×2=1，
∴A(2,1)
把A(2,1)代入y=kx，得1=k2
∴k=2，
∴反比例函数的解析式是y=2x(x>0) ；
（2）根据题意，
∵点A为（2，1），
∵将△AOB绕点О旋转90°，
则分为：顺时针旋转90度和逆时针旋转90度，如图：
∴A'(−1，2)或(1，−2)．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，以及三角函数，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的画出图像进行分析．
39．（2024·河南郑州·三模）如图，Rt△OAB中，∠AOB=90°，AB⊥y轴，交y轴于点C0,3，点B为反比例函数y=kx的图象上一点，将△OAB绕点B逆时针旋转得到△NMB，当BA的对应边BM经过点O时，点O的对应点N落在x轴上．
(1)求反比例函数y=kx的解析式；
(2)求证：点M在反比例函数y=kx的图象上；
(3)若AM为点A的旋转路径，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】(1)y=33x
(2)证明见解析
(3)8π−63
【分析】（1）证明△BON是等边三角形，得到∠BON=∠OBC=60°，即得∠BOC=30°，∠ABO=60°，解直角三角形求出BC=OC·tan30°=3，OB=OCcs30°=23，过点B作BE⊥x轴，求出B3,3，再利用待定系数法即可求解；
（2）求出OM=OB，根据关于原点对称的点的坐标特征得到M−3,−3，再由−3×−3=33即可判断求解；
（3）求出AO=OB·tan60°=6，再根据S阴影部分=S扇形ABM−S△AOB即可求解；
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，待定系数法求反比例函数解析式，关于原点对称的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，求不规则图形面积，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵AB⊥y轴，即AB∥x轴，
∴∠ABO=∠BON，∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠MBN，
∴∠BON=∠OBN，
∴ON=BN，
∵ OB=BN，
∴OB=BN=ON，
∴△BON是等边三角形，
∴∠BON=∠OBC=60°，
∴∠BOC=30°，∠ABO=60°，
在Rt△OBC中，OC=3，
∴BC=OC·tan30°=3×33=3，OB=OCcs30°=332=23，
∴OB=ON=BN=23，
过点B作BE⊥x轴，
则OE=BC=3，BE=OC=3，
∴B3,3，
∵反比例函数y=kx的图象经过点B，
∴ 3=k3，
∴k=33，
∴反比例函数的解析式为y=33x；
（2）证明：∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴ ∠A=30°，
∴AB=2OB=43，
∵AB=BM，
∴ BM=2OB，
∴OM=OB，即点B、M关于原点对称，
∴M−3,−3，
∵−3×−3=33，
∴点M在反比例函数y=33x的图象上；
（3）解：在Rt△AOB中，AO=OB·tan60°=23×3=6，
∴S阴影部分=S扇形ABM−S△AOB=60π×432360−12×6×23=8π−63，
故答案为：8π−63．
题型08 反比例函数与规律探索问题
40．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点A1,A2,A3,⋯,An,An+1为反比例函数y=kxk>0图象上的点，其横坐标依次为1,2,3,⋯,n,n+1．过点A1,A2,A3,⋯,An作x轴的垂线，垂足分别为点H1,H2,H3,⋯,Hn；过点A2作A2B1⊥A1H1于点B1，过点A3作A3B2⊥A2H2于点B2，…，过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于点Bn．记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,⋅⋅⋅,△AnBnAn+1的面积为Sn．
(1)当k=2时，点B1的坐标为______，S1+S2=______，S1+S2+S3=______，S1+S2+S3+⋯+Sn=______（用含n的代数式表示）；
(2)当k=3时，S1+S2+S3+⋯+Sn=______（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)1,1；23；34；nn+1
(2)3n2n+2
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：
（1）先求出A11,2，A22，1，A33,23，进而得到A1H1=2，OH1=1，再求出B1H1=A2H2=1，A2B1=H1H2=2−1=1，则B11,1，同理可得B22,23，A44,12，B33,12，再根据三角形面积计算公式求出S1，S2，S3，S4的面积，然后找到规律求解即可；
（2）仿照（1）表示出S1，S2，S3，S4的面积，然后找到规律求解即可．
【详解】（1）解：当k=2时，反比例函数解析式为y=2x，
在y=2x中，当x=1时，y=2；当x=2时，y=1；当x=3时，y=23，
∴A11,2，A22，1，A33,23，
∵A1H1⊥x轴，
∴A1H1=2，OH1=1，
∵A2B1⊥A1H1，
∴B1H1=A2H2=1，A2B1=H1H2=2−1=1
∴B11,1；
同理可得B22,23，A44,12，B33,12，
∴S1=12A1B1⋅A2B1=12×2−1×1=12，S2=12A2B2⋅A3B2=12×1−23×1=16，
S3=12A3B3⋅A4B3=12×23−12×1=112，S4=12A4B4⋅A5B4=12×12−25×1=120
∴S1+S2=12+16=23，S1+S2+S3=23+112=34，S1+S2+S3+S4=34+120=45
……
以此类推可得，S1+S2+S3+⋯+Sn=nn+1；
故答案为：1,1；23；34；nn+1；
（2）解：当k=3时，反比例函数解析式为y=3x，
在y=3x中，当x=1时，y=3；当x=2时，y=32；当x=3时，y=1，
∴A11,3，A22，32，A33,1，
∵A1H1⊥x轴，
∴A1H1=3，OH1=1，
∵A2B1⊥A1H1，
∴B1H1=A2H2=32，A2B1=H1H2=2−1=1
同理可得B22,32，A44,34，B33,34，
∴S1=12A1B1⋅A2B1=12×1×3−32，S2=12A2B2⋅A3B2=12×1×32−1，
S3=12A3B3⋅A4B3=12×1×1−34，S4=12A4B4⋅A5B4=12×1×34−35
以此类推可得，S1+S2+S3+⋯+Sn
=12×1×3−32+32−1+1−34+34−35+⋯+3n−3n+1
=12×1×3−3n+1
=3n2n+2．
41．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，在反比例函数y=8x(x>0)的图象上有P1,P2,P3,⋯P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,⋯,S2023，则S1+S2+S3+⋯+S2023= ．

【答案】2023253
【分析】求出P1,P2,P3,P4…的纵坐标，从而可计算出S1,S2,S3,S4…的高，进而求出S1,S2,S3,S4…，从而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．
【详解】当x=1时，P1的纵坐标为8，
当x=2时，P2的纵坐标为4，
当x=3时，P3的纵坐标为83，
当x=4时，P4的纵坐标为2，
当x=5时，P5的纵坐标为85，
…
则S1=1×(8−4)=8−4；
S2=1×(4−83)=4−83；
S3=1×(83−2)=83−2；
S4=1×(2−85)=2−85；
…
Sn=8n−8n+1；
S1+S2+S3+…+Sn=8−4+4−83+83−2+2−85+⋯+8n−8n+1=8−8n+1=8nn+1，
∴S1+S2+S3+…+S2023=8×20232024=2023253．
故答案为：2023253．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出Sn=8n−8n+1．
42．（21-22九年级上·广西百色·期中）如图所示，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5⋯=An−1An，过A1、A2、A3、A4、A5⋯An，分别作x轴的垂线与反比例函数y=4x的图像交于点P1、P2、P3、P4、P5⋯Pn,并设△OA1P1、△A1A2P2、△A2A3P3⋯△An−1AnPn面积分别为S1、S2、S3⋯Sn，按此作法进行下去，Sn（n为正整数）的值为（ ）
A．4nB．n2C．12nD．2n
【答案】D
【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数y=kx中k的几何意义再结合图象即可解答．
【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=12|k|=2．
又因为OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
所以S1=2，S2=12s1=1，S3=13S1=23，S4=14S1=24，S5=15S1=25，
⋯，
依此类推：Sn的值为2n．
故选：D．
题型09 反比例函数与跨学科问题
解题方法：跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题.
43．（2024·广西南宁·模拟预测）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R=2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=12R+RL，通过实验得出如下数据：
(1)a=______，b=______；
(2)根据以上实验，构建出函数y=12x+2x≥0，结合表格信息，探究函数y=12x+2x≥0的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2x≥0的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______；
(3)结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−x+6的解集为______．
【答案】(1)4，3
(2)①见解析；②不断减小
(3)x≥4或x=0．
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
（1）由已知列出方程，即可求解，
（2）①用描点法，画出图象，②根据烦你里函数的图象性质，即可求解，
（3）作函数y=−x+6的图象，根据图象，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：a=121+2，2.4=12b+2，
∴4=3，b=3，
故答案为：4，3，
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数y=12x+2(x≥0)的图象如图1:
②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）作函数y=−x+6的图象，如图2，
由函数图象可知，
当x≥4或x=0时，12x+2≥−x+6，
即当x≥0时，12x+2≥−x+6的解集为：x≥4或x=0，
故答案为：x≥4或x=0．
44．（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
任务一：凸透镜的焦距OF为6cm，蜡烛AB的高为4cm，离透镜中心O的距离是9cm时，请你利用所学的知识填空：①ONOB=______，②MN=____；
任务二：凸透镜的焦距OF为6cm，蜡烛AB是4cm，离透镜中心O的距离是xcm x>6时，蜡烛的成像MN的高ycm，请你利用所学的知识求出y与x的关系式：
任务三：
（1）根据任务二的关系式得出下表：
其中m=______；
（2）请在坐标系中画出它的图像：
（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论：
____________________________________________________．
【答案】任务一：①2；8cm，任务二：y=24x−6，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当x>6时，y随着x的增大而减小．
【分析】任务一：①由矩形BAOC，得到OC的长，由△COF∽△NMF，得到OCOF=MNMF，即：MNMF=23，设MN=2a，用含a的代数式，表示出MF、OM，由△BOC∽△ONM，得到BCOC=OMMN，解出a=4，即可求解，任务二：由BCOC=OMMN，整理得到a=12x−6，代入MN=2a，即可求解，任务三：（1）将x=14代入y=24x−6，即可求解，（2）根据描点法，即可求解，（3）根据反比例函数的增减性，即可求解，
本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质，解题的关键是：读懂题意，列出关系式．
【详解】解：任务一：①根据题意得：矩形BAOC，
∴OC=AB=4cm，
根据题意得：OC与MN平行，
则△COF∽△NMF，
∴OCOF=MNMF，即：MNMF=OCOF=46=23，
设MN=2a，则MF=3a，OM=OF+MF=6+MF=6+3a，
由题意得∠BCO=∠OMN=90°,∠BOC=180°−90°−∠MON=90°−∠MON=∠ONM，
∴△BOC∽△ONM，
∴BCOC=OMMN，即：94=6+3a2a，解得：a=4，
∴MN=2a=2×4=8cm，
∵△BOC∽△ONM，
∴ONOB=MNAB=84=2，
任务二：∵BCOC=OMMN，即：x4=6+3a2a，解得：a=12x−6，
∴y=MN=2a=2×12x−6=24x−6，
任务三：（1）当x=14时，y=2414−6=3，
∴m=3，
（2）作图如下：
（3）当x>6时，y随着x的增大而减小，
故答案为：任务一：①2；8cm，任务二：y=24x−6，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当x>6时，y随着x的增大而减小．
题型10 反比例函数系数k的几何意义
45．（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习：
【答案】（1）y2=6x；（2）4.5；（3）98；（4）S△BDE=12k1k1−k22
【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键．
（1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点E3,2，再把点E3,2代入y2=k2xx>0，即可求解；
（2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入y2=6x求出横坐标，即可得出点D32,4，从而可求得BD=32，BE=12AB=2，然后利用S△ODE=S距形OABC−S△COD−S△AOE−S△BDE=k1−k2−S△BDE，即可求解；
（3）设Bm,4m，则Dm4,4m，Em,1m，则BE=4m−1m=3m，BD=m−m4=34m，根据S△BDE=12BE×BD求解即可；
（4）设Bm,k1m，则Dmk2k1,k1m，Em,k2m，则BE=k1m−k2m=k1−k2m，BD=m−mk2k1=k1−k2k1m，根据S△BDE=12BE×BD=12×k1−k2m×k1−k2k1m求解即可．
【详解】解：（1）∵B的坐标是3,4，AE=BE，四边形OABC是矩形，
∴E3,2，
∵E在y2=k2xx>0上，
∴k2=3×2=6，
∴y2=6x；
（2）∵B的坐标是3,4，CB∥x，D在CB上，
∴D的纵坐标为4，
∵D在y2=6x上，
∴D的横坐标64=32，
∴D32,4，
∴BD=3−32=32，BE=12AB=2，
∵B的坐标是3,4，
∴k1=3×4=12，
∴S△ODE=S距形OABC−S△COD−S△AOE−S△BDE=k1−k2−S△BDE
=12−6−12×32×2=6−32=92；
（3）∵k1=4，k2=1，
设Bm,4m，则Dm4,4m，Em,1m，
∴BE=4m−1m=3m，BD=m−m4=34m，
∴S△BDE=12BE×BD=12×3m×34m=98；
（4）设Bm,k1m，则Dmk2k1,k1m，Em,k2m，
∴BE=k1m−k2m=k1−k2m，BD=m−mk2k1=k1−k2k1m，
∴S△BDE=12BE×BD=12×k1−k2m×k1−k2k1m=12k1k1−k22；
即S△BDE=12k1k1−k22．
46．（2024·山西运城·一模）阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
反比例函数是初中函数学习的重要组成部分，它与物理、化学等密切相关，函数本身又是一个重要的数学思想，利用函数的思想和方法可以加深对一些代数问题的理解，现从反比例函数系数k的几何意义出发来探究反比例函数的一些规律．
逐梦学习小组在熟练掌握k的几何意义基础之上又进行了深入的探究后发现：如图1，以矩形OCBA的顶点O为坐标原点，射线OA为x轴正半轴、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，若反比例函数y=kxx>0的图象交BC于点E，交AB于点F，当CE=BE时，则AF=BF，在老师指导下逐梦学习小组进行了如下推理，证明了这一结论是正确的．
证明：在图1中，过点E作EG⊥x轴，垂足为G，过点F作FH⊥y轴，垂足为H
根据k的几何意义，易知S矩形OCEG=S矩形OHFA=k，
∵CE=BE，
∴S矩形OCEG=S矩形GEBA=12S矩形OCBA，
∴S矩形OHFA=12S矩形OCBA，
∴AF=12AB，即AF=BF．
任务：
(1)在图1中，已知CE=BE，若反比例函数y=kxx>0的系数k=1，则矩形OCBA的面积=______；
(2)逐梦学习小组继续探究后发现，如图2，若反比例函数y=kxx>0的图象交BC于点E，交AB于点F，若CE=12BE，则AF=12BF，请帮助逐梦学习小组完成证明；
(3)如图3，反比例函数y=1xx>0的图象交BC于点E，交AB于点F，若CE=13BE，则图中阴影部分（即四边形OEBF）的面积=______．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
（1）由题意知，S矩形OCEG=1，由CE=BE，可得S矩形OCEG=12S矩形OCBA=1，进而可得S矩形OCBA=2；
（2）如图2，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H， 证明过程同题干；
（3）如图3，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H，同理可得，S矩形OCEG=S矩形OHFA=1，S矩形OCBA=4，S△AOF=12S矩形OHFA=12，S△COE=12S矩形OCEG=12，根据S阴影=S矩形OCBA−S△COE−S△AOF，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，S矩形OCEG=1，
∵CE=BE
∴S矩形OCEG=12S矩形OCBA=1，
解得，S矩形OCBA=2，
故答案为：2；
（2）证明：如图2，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H，
根据k的几何意义，易知S矩形OCEG=S矩形OHFA=k，
∵CE=12BE，
∴S矩形OCEG=12S矩形GEBA=13S矩形OCBA，
∴S矩形OHFA=13S矩形OCBA，
∴AF=13AB，
∴AF=12BF．
（3）解：如图3，作EG⊥OA于G，FH⊥OC于H，
根据k的几何意义，易知S矩形OCEG=S矩形OHFA=1，
∵CE=13BE，
∴S矩形OCEG=13S矩形GEBA=14S矩形OCBA，
解得，S矩形OCBA=4，
∴S△AOF=12S矩形OHFA=12，S△COE=12S矩形OCEG=12，
∴S阴影=S矩形OCBA−S△COE−S△AOF=3，
故答案为：3．
47．（2023·浙江湖州·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=−12x+b与坐标轴交于C，D两点，反比例函数y=12xx>0的图象与直线CD交于A，B两点，连结AO，BO，分别过点A，B作x轴的垂线AE和BF，AE交BO于点G．

(1)若点B的横坐标为12，求△BDF的面积；
(2)若阴影部分的面积为12，
①记△BDF的面积为S1，△OGE的面积为S2，求证：S1=2S2；
②求b的值．
【答案】(1)1
(2)①见解析；②b=33
【分析】（1）由反比例函数解析式，求出点B的坐标，代入直线CD解析式，进而求得点D坐标，利用三角形面积公式，即可求解，
（2）①根据反比例函数系数k的几何意义，求出S△AOE=S△BOF=6，得出 S△AOE+S△BOF=S△AOG+S四边形BGEF+2S△EOG=12，即：S△AOG+S四边形BGEF+2S2=12，即可求解，
②设点Am,12m，点Bn,12n，求得DF=BFtan∠CDO=24n，在Rt△COD中，CO=OD⋅tan∠COD，即m2+12m=12n+24n，求出mn=24，即AH=DF，由△OEG∽△OFB，可得OEOF=GEBF=12，进而得出OE=EF=DF=13OD=23b，将A2b3,2b3代入y=12x，即可求解，
本题考查了，反比例函数与一次函数交点，求一次函数解析式，反比例函数系数k的几何意义，解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握反比例函数系数k的几何意义．
【详解】（1）解：当x=12时，y=1212=1，得点B的坐标为12,1，
把B12,1代入y=−12x+b，即：1=−12×12+b，解得：b=7，
∴直线CD的函数表达式为y=−12x+7，
令y=0，得：0=−12x+7，解得：x=14，得点D的坐标为14,0，
∴S△BDF=12×DF×BF=12×14−12×1=1,
故答案为：△BDF的面积为1，
（2）解：①∵点A，B在反比例函数y=12xx>0的图象上，
∴S△AOE=12×OE×AE=12×xA×yA=6，S△BOF=12×OF×BF=12×xB×yB=6，
∵S△AOE+S△BOF=S△AOG+S四边形BGEF+2S△EOG，
∴S△AOG+S四边形BGEF+2S△EOG=12，即：S△AOG+S四边形BGEF+2S2=12，
∵阴影部分的面积为12，
∴S△AOG+S四边形BGEF+S△BDF=12，即S△AOG+S四边形BGEF+S1=12，
∴S1=2S2．
②设点Am,12m，点Bn,12n，
由直线y=−12x+b，得：C0,b，D2b,0，
在Rt△COD中，tan∠CDO=12，
∴在Rt△BFD中，DF=BFtan∠CDO=24n，
如图，过点A作AH⊥y轴于点H，则∠CAH=∠CDO，

∴在Rt△BFD中，CH=AH⋅tan∠CAH=m2，
在Rt△COD中，CO=OD⋅tan∠COD，即m2+12m=12n+24n，
∵m≠n，整理得mn=24，
∴m=24n，即AH=DF，
∴OE=DF，
由①可知，S1=2S2，
即DF⋅BF=2OE⋅EG，
∴BF=2EG，
∵EG∥BF，
∴△OEG∽△OFB，
∴OEOF=GEBF=12，
∴OE=EF=DF=13OD=23b，
∴CH=AH⋅tan∠CAH=b3，OH=OC−CH=2b3，
∴点A的坐标为2b3,2b3，
把A2b3,2b3代入y=12x，得49b2=12，解得：b=33，
故答案为：①S1=2S2；②b=33．条件
如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，与坐标轴交于C，D两点
AE⊥y轴于点E, BF⊥x轴于点F,，连接EF
图示
结论
EF∥AB, EF=BC=AD
EF∥AB, EF=BC=AD
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6