专题03 反比例函数及其应用【九大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

这是一份专题03 反比例函数及其应用【九大考点+知识串讲】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版），文件包含专题03反比例函数及其应用九大考点+知识串讲-全国通用原卷版docx、专题03反比例函数及其应用九大考点+知识串讲-全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。

模块二
知识点一遍过
（一）反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝eq \f(k,x)（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y=，y=，xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
（三）待定系数发生求解析式
①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=eq \f(k,x)（k为常数，k≠0）；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出解析式
（四）反比例函数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝eq \f(k,x)（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：（基础）
（五）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（六）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
模块三
考点一遍过
考点1：反比例函数定义
典例1：下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．xy=−2 B．y=1x2C．y=12x+1D．y=x3
【变式1】若y=2xa−2为关于x的反比例函数，则a的值是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式2】若fx=n2+2nxn2+n−1是反比例函数，则n的值为 ．
【变式3】已知函数y=m2+2m−3x|m|−2是反比例函数，则m=
考点2：反比例函数图像
典例2：小光根据学习函数的经验，探究函数y=1x−1的图象与性质．
(1)刻画图象
①列表：下表是x，y的几组对应值，其中a= ，b= ；
②描点：如图所示；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接．
(2)认识性质
观察图象，完成下列问题：
①当x>1时，y随x的增大而 ；
②函数y=1x−1的图象的对称中心是 ．（填写点的坐标）
(3)类比探究
①小光发现，函数y=1x−1的图象可以由反比例函数y=1x的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；
②函数y=4x−3的图象经平移可以得到函数y=4x+2的图象，请说明平移过程．
【变式1】如图所示的曲线是一个反比例函数的图像的一支，它过点(1,3)．
(1)求该曲线所表示的函数的表达式和自变量t的取值范围．
(2)若y≤2.5，求自变量t的取值范围．
【变式2】在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：

(1)画出函数y=6x的图象；
①由分式有意义可知，函数y=6x中自变量x取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空．
②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）．
(2)画出函数y=32x的图象；
(3)当取x何值时，对于其中x的每一个值，函数y=32x的值大于函数y=6x的值，直接写出x的取值范围．
【变式3】已知反比例函数y=3+ax，且当x=3时，y=−2．
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
考点3：反比例函数的增减性
典例3：已知反比例函数y=kxk≠0，当x>0时，y随x的增大而减小，关于x的一元二次方程x2+kx−k=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．与k的值有关，无法确定
【变式1】对于反比例函数y=4x，下列说法中错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小B．图象经过点−2,−2
C．图象与坐标轴无交点D．图象分布在第一、三象限
【变式2】当x>0时，反比例函数y=mx2m2+3m−6随x的减小而增大，则m的值为 ，图象在第 象限．
【变式3】已知反比例函数y=k−1x的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
考点4：反比例函数图像性质——比较大小
典例4：若点−43,y1,−2,y2,−13,y3均在反比例函数y=a2+1x的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y3>y1>y2D．y3>y2>y1
【变式1】已知x=1是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的一个根，点P−1,m、Q2,n均在反比例函数y=k−3x的图象上，则关于m、n的大小关系描述正确的是（ ）
A．m>n>0B．m>0>n
C．n>m>0D．n>0>m
【变式2】已知点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3都在反比例函数y=−5x的图象上，若x10)图象上两点，坐标分别是a,6、6,a．若△AOB的面积为16，则k值为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【变式2】如图，点A是y=2xx>0图像上任一点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，过点A作x轴的平行线交y=kxx>0的图像于点B，连接OB交AC于点D，若点D是AC的中点，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3】如图，点A，B都是双曲线y=kxk≠0,x>0上的点，连接AB并延长交x轴于点C，已知AB=2BC，△AOC的面积为12，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式4】如图，过反比例函数y=2xx>0图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y=kxx>0于点B．连接OA、OB．若S△AOB=3，则k的值为 ．
【变式5】如图，点A在双曲线y=5x上，点B在双曲线y=kxk≠0上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是7，则k的值为 ．
【变式6】如图，在反比例函数y=1x的图象上有P1,P2,P2,⋯,P2025等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2025，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2023,S2024，则S1+S2+S3+…+S2023+S2024= ．
【变式7】如图，过坐标原点O的直线AB与两函数y=18xx>0，y=2xx0的图象交于A1,6，B(6,a)两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为2，求点P的坐标；
(3)根据图象，直接写出满足y1−y2>0时x的取值范围．
【变式2】已知双曲线y=1x与直线y=kx+b交于点Ax1,y1，Bx2,y2
(1)当k=2，b=−1时，求x1+x2的值；
(2)用k，b表示x1+x2；
(3)若x1+x2=0，求y1+y2的值．
【变式3】如图，直线l1：y=x与双曲线y=kx相交于点Aa,2，将直线l1向上平移3个单位得到l2，直线l2与双曲线相交于B、C两点（点B在第一象限），交y轴于D点，连接AB．
(1)求双曲线y=kx和线段AB所在直线的解析式；
(2)求四边形DOAB的面积．
【变式4】如图，一次函数y=−x+b与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(m,3)和B(3,1)．

(1)求一次函数及反比例的表达式和m值
(2)请根据图象，直接写出不等式kx≥−x+b的解集；
(3)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，当S的值最小时，求出点P的坐标及S的最小值．
【变式5】如图，一次函数y=32x+bk≠0图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于点A2,6，与y轴交于点B．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)连接AO并延长与反比例函数y=kxk≠0的图象交于另一点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
【变式6】如图，已知反比例函数y=mx与一次函数y=kx+b的图象交于A2,4，Ba,−1两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D．
(1)m=______，k=______，b=______．
(2)若Pt,0t≠2是x轴的正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点M，N，设MN的长为d，求d与t之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7】如图，已知直线y=kxk>0与双曲线y=8x交于A、B两点，且点A的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点Pa,2，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q．
(1)直接写出k的值及点B的坐标；
(2)求线段PQ的长；
(3)如果在直线y=kx上有一点M，且满足△BPM的面积等于12，求点M的坐标．
考点8：反比例函数的实际应用
典例8：【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图1，即FA×L1=FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1=1m，距右端L2=0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．
(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为____________；
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为ycm．则：
①y关于x的函数解析式是________________．
②完成表格：a=______________；b=________________．
③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象．
(3)在（2）的条件下，若点A的坐标为20,0，点B的坐标为0,2，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得S△ABC=46，请直接写出所有满足条件的点C的坐标．
【变式1】在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长80cm且质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处30cm挂一个重4N的物体，为了保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂），在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，改变弹簧测力计与中点O距离Lcm，看弹簧测力计的示数FN的变化情况．在做此实验后，得到的数据如表所示．
(1)在已学过的函数中选择合适的模型，求FN与Lcm的函数表达式；
(2)补充表中数据：a=______，b=______；
(3)在实验中发现，在弹簧测力计承受范围内，为了保持木杆水平，弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就______
A．变大 B．变小 C．不变
(4)若弹簧测力计的最大量程是5N，求L的取值范围．
【变式2】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：kmh）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）．
(1)求v与t的函数表达式；
(2)已知在限速区间AB上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于80km/h，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间范围．
【变式3】学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y上课时间x（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数y是时间x的一次函数．10分钟以后注意力指数y是x的反比例函数．
(1)当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
(2)当10≤x≤40时，求y关于x的函数关系式；
(3)如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲完这道题？
【变式4】【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
(1)a=______，b=______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2（x≥0），结合表格信息，探究函数y=12x+2（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2（x≥0）的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+20的图象经过点A23,1，射线AB与反比例函数的图象交于另一点B1,a，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴于点D．
(1)填空：
①k的值为__________．
②tan∠DAC=_________；直线AC的函数解析式为__________．
(2)如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过点M作直线l⊥x轴，与AC交于点N，连接CM．求△CMN面积的最大值．
【变式1】如图，反比例函数y=kx(k>0)与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=2，OC=4，连接OD、OE、DE.记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．
(1)①点B坐标为______；
②S1 ______S2（填“>”、“0的图象经过点M，N．
(1)求反比例函数的表达式及点M、N的坐标；
(2)观察图象，当x>0时，写出关于x的不等式kx+12x−3>0的解集；
(3)若点P在第一象限内的反比例函数图象上，且△OCP的面积是四边形BMON面积的3倍，求点P的坐标．
【变式3】已知反比例函数y=kxx>0的图象与正比例函数y=3xx≥0的图象交于点P，点P的纵坐标为6，PA⊥x轴，垂足为点A，点M为双曲线上点P右侧的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图，过点M作MB⊥AP于点B，若PBBM=32，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，点N是射线OP上一点，若△PMN的面积为3，求点N的坐标．
【变式4】如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，边AB在x轴上，∠BAD=60°，B−1,0，点C在反比例函数y=kxk≠0的图象上．
(1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式；
(2)将菱形ABCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边BC与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离．
【变式5】如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，AD=6，点P从点B出发，沿射线BC方向一直运动．连接AP、PD，过点D作△APD的高DE，设AP的长为x，DE的长为y．请解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；
(2)根据函数表达式，在坐标系中画出函数图象，并写一条该函数的性质：________；
(3)若y1=−x+5x≥1，在图2中画出该图象，并直接写出当y>y1时x的取值范围________．
反比例函数
的符号
所在象限
一、三象限
二、四象限
大致图像
增减性
在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。
在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。
对称性
图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称
x
…
−4
−2
−1
0
12
23
34
54
43
32
2
3
4
…
1x−1
…
−15
−13
−12
−1
−2
a
−4
4
3
2
1
b
13
…
x
−6
−4
−3
−2
−1.5
−1
1
1.5
2
3
4
6
y
6
4
3
2
1.5
1
xN
10
20
30
40
50
…
ycm
…
8
a
83
2
b
…
第1组
第2组
第3组
第4组
L/cm
a
30
32
37.5
F/N
4.8
4
b
3.2
RΩ
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…