专题17正方形（知识清单）（3大考点+14大题型+3大易错+7大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版）

这是一份专题17正方形（知识清单）（3大考点+14大题型+3大易错+7大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测（原卷版+解析版），文件包含浙江省温州市瑞安市2025-2026学年七年级下学期5月期中语文试题pdf、浙江省温州市瑞安市2025-2026学年七年级下学期5月期中语文试题参考答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（3个核心考点）
考点01正方形的有关概念 考点02正方形的性质
考点03正方形的判定
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（14大重难题型）
题型01利用正方形的性质求角的度数 题型02利用正方形的性质求线段长
题型03利用正方形的性质求面积 题型04利用正方形的性质进行计算与证明
题型05正方形的判定条件 题型06证明一个四边形是正方形
题型07正方形的性质与判定 题型08正方形与折叠问题
题型09正方形与动点问题 题型10正方形与最值问题
题型11中点四边形问题 题型12正方形与几何探究问题
题型13正方形与函数综合问题 题型14四边形与新定义问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点）
易错点01混淆正方形的判定条件
易错点02利用正方形的性质求角时漏解
易错点03正方形中的图形变换问题
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧）
技巧01：添加条件证明四边形是正方形
技巧02：利用正方形的性质求面积
技巧03：正方形与最值综合问题
技巧04：正方形与翻折综合探究问题
技巧05：正方形中的十字架模型
技巧06：四边形中的对角互补模型
技巧07：正方形中的半角模型
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
1.探索并证明正方形的性质定理，会利用正方形的性质和判定进行有关的计算与证明
2.探索并证明正方形的判定定理，会证明一个四边形是正方形
3.掌握正方形的常考题型：正方形性质的有关计算与证明；正方形的判定及证明；正方形的性质与判定综合问题；正方形的几何综合问题；正方形与函数综合问题
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点01正方形的有关概念
1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
如果在矩形的基础上证明它是正方形，则需附加一组邻边相等；如果在菱形的基础上证明它是正方形，
则需附加一个角是直角.两者不要混淆.
2.正方形的定义有三个要素：一是平行四边形；二是有一组邻边相等；三是有一个角是直角.三者缺一不可.
3.正方形与其他特殊四边形之间的关系
4.方法总结：
(1)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形和菱形.
(2)可以用下图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的从属关系
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1.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.总结如下：
2.(1)正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形：每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解，
(2)正方形的对角线互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算，
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点03正方形的判定
1.正方形的判定
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
题型01利用正方形的性质求角的度数
【典例1】（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ．
【变式练习】
1．（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东肇庆·三模）如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的一边于点P，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东·模拟预测）如图，已知两点在正方形的对角线上移动，，连接，并延长分别交于两点，则 ．
‍
题型02利用正方形的性质求线段长
【典例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在正方形中，，点在边上，．若，分别是，的中点，则的长为 ．
【变式练习】
4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的对角线与相交于点O，E、F分别是的中点，连接，．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·湖南·模拟预测）东汉数学家赵爽在注解《周髀算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（后称“赵爽弦图”），以形证数，巧妙证明了勾股定理．如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结．若，，则的长为（ ）

A．2B．C．3D．
6．（2025·宁夏吴忠·三模）如图， 在正方形中，， 点P在上，， 将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，点A 的对应点到的距离为 ．
题型03利用正方形的性质求面积
【典例3】（2020·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ．
【变式练习】
7．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（ ）
A．25B．28C．33D．36
8．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
9．（21-22八年级下·吉林长春·月考）如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的顶点，若两个正方形的边长都是2，则两者重合部分的面积是 ．
题型04利用正方形的性质进行计算与证明
【典例4】（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【变式练习】
10．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，四边形是正方形，点在上，点在的延长线上，且，连接．证明：．
11．（2025·湖南益阳·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数．
12．（2024·安徽六安·模拟预测）点E是正方形的对角线上一点，过点E作交于点F，的延长线交于点G，交于点H．
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，若，，求的长．
题型05正方形的判定条件
【典例5】（2025·上海·模拟预测）在平行四边形中，，对角线、相交于点O．若要添加一个条件使四边形为正方形，这个条件可以是 ．
【变式练习】
13．（2024·山西·模拟预测）我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形变为特殊图形．下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等
C．对角线垂直且相等D．对角线互相垂直
14．（2025·山西长治·二模）如图，已知，在边的同侧作正、正和正，连接，，则下列选项中不正确的是（ ）

A．一定会出现平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当，且时四边形为正方形
D．当，且时，四边形为菱形
15．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）．
题型06证明一个四边形是正方形
【典例6】（2025·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点．
(1)判定四边形的形状并证明；
(2)给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明．
【变式练习】
16．（2025·江苏盐城·一模）如图，四边形是菱形，点、在线段上，且．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)当的值为________时，四边形是正方形（直接写出结果，不需要证明）
17．（16-17九年级上·甘肃张掖·期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，．
(1)求证：；
(2)当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
18．（2025·河南郑州·二模）如图，在四边形中，是线段上的任意一点（点与点、不重合），、、分别是、、的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接，若，且，求证：四边形是正方形．
题型07正方形的性质与判定
【典例7】（2025·安徽滁州·三模）如图，在矩形中，平分交于点E，连接，点F在边上，且，过点C作的垂线交于点G，垂足为点H，连接．
(1)求证：．
(2)若点F为的中点，求 的值．
【变式练习】
19．（2024·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为上的一个动点，连接并延长，交的延长线于点G，以为底边在下方作等腰，且．
(1)如图①，若点H恰好落在上，连接，．
①求证：；
②若，，求的面积
(2)如图②，点H落在矩形内，连接，若，，求四边形面积的最大值．
20．（2025·河北邯郸·三模）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在，上，点G在的延长线上，且
(1)直接写出和的数量关系及位置关系；
(2)尺规作图：以线段为边作出正方形（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(3)连接（2）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：
21．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G
(1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）；
(2)证明：；
(3)若点为的中点，求的值．
题型08正方形与折叠问题
【典例8】（2024·湖北·三模）有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图1）；然后将纸片沿折叠，使点C落在第一次的折痕上的点G处，点H在上（如图2），则的长为 ．
【变式练习】
22．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
23．（2024·辽宁·模拟预测）如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，连接，折叠该纸片，点A落在处，连接，则的长为 ．
24．（2025·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，，，点分别在边上，沿着折叠矩形，使点分别落在处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接．
（）当与重合时， ；
（）若四边形为正方形，则 ．
题型09正方形与动点问题
【典例9】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点A出发，以速度沿线段向终点B运动．过点P作交折线于点Q，以为边向右侧作正方形．设点P的运动时间为，正方形与四边形重叠部分图形的面积为．
(1)____________．
(2)当点M与点C重合时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【变式练习】
25．（2023·江苏无锡·三模）在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为( )

A． B．C．D．
26．（2025·江西抚州·一模）如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为 ．
27．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在矩形中，，，．动点从点出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，以为腰作等腰直角三角形，使点在同侧．设与重合部分的面积为，点运动的时间为秒．
(1)当点落在上时，求的值；
(2)在点运动的过程中，求与的函数解析式；
(3)当时，直接写出线段扫过的面积．
题型10正方形与最值问题
【典例10】（2024·海南·三模）如图，正方形的边长为，点为边上一个动点，点在边上，且线段，点为线段的中点，连接、、，则 ；的最小值为 ．
【变式练习】
28．（2024·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A．B．C．D．
29．（2026·陕西·一模）如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为 ．
30．（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，，，，连接，，延长至点，使，连接，则的最大值为 ．
题型11中点四边形问题
【典例11】（2025·云南·模拟预测）如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分．
【变式练习】
31．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．下列结论：
①连接，则有；
②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形；
③连接，相交于点，则；
④若，则．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
32．（2025·河南南阳·二模）（1）如图①点E、F、G、H分别是菱形各边中点，可判定四边形的形状为_________；
（2）如图②点E，F，G，H分别是四边形各边中点，且对角线，判定四边形的形状，并证明；
（3）在（2）的条件下，请对四边形增添一个条件，使四边形为正方形．（直接写出所添条件）
33．（24-25八年级下·河南漯河·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
(1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是__________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)如图，已知四边形是“中方四边形”、分别是的中点．
①若线段的长度为，求的长；
②若线段的长度为，请直接写出的最小值．
题型12正方形与几何探究问题
【典例12】（2025·河南平顶山·模拟预测）已知A，C关于直线l对称，在直线l上取两点B，D，使得是以为底的等腰三角形，且的度数为，在上取点M，连接，过点C作，交直线l于点N．
【发现】
（1）如图1所示，若，请直接写出，，之间的数量关系_____．
【探究】
（2）如图2所示，若，其余条件不变，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由．
【拓展】
（3）在（2）的前提下，已知，点M为直线l上一点，且，请直接写出线段的长．
【变式练习】
34．（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接．
【特例发现】
（1）如图1，当时，________；
【类比探究】
（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值；
【拓展运用】
（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长．
35．（2025·四川甘孜·三模）如图1，点E为正方形内一点，，，，将绕点A逆时针方向旋转，点B、E的对应点分别为点、．
(1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
36．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）在正方形中：
(1)如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）；
(2)如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
题型13正方形与函数综合问题
【典例13】（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点．
(1)若其中一个交点为．
①求a的值；
②求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围．
【变式练习】
37．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接．动点P满足，交x轴于点C．
(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，的长为 ；
(2)当动点P在线段的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值；
(3)当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点．若，，求的值．
38．（2025·广东揭阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，矩形的顶点，在坐标轴上，，点在上运动．
(1)如图（1），当时，求点的坐标；
(2)如图（2），连接，将绕点顺时针旋转得到，若，求点坐标；
(3)如图（3），点在上，垂直平分交于点，当时，求的值．
39．（2025·湖北·二模）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)直接写出结果a=___________，b=___________；
(2)如图，过点A的直线与y．轴交于点D，与抛物线交于另一点E，若，求的值；
(3)如图，点，是抛物线上异于点的动点，线段与轴交于点H，且是的中点．以点N为中心，将线段MN顺时针旋转90°，得到线段，以，为边作正方形．设点的横坐标为m．
①当正方形的面积为18时，求的值；
②点M，N在运动的过程中，当抛物线在正方形内的部分对应的函数y随x的增大而减小时，请直接写出的取值范围．
题型14四边形与新定义问题
【典例14】（2025·山东聊城·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是______（填序号）；
(2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连．
①判断四边形是否为“神奇四边形”，并说明理由；
②如图2，点M，N，P，Q分别是，的中点．判断四边形是否是“神奇四边形”，并说明理由．
【变式练习】
40．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
(1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ．
(2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形．
(3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
41．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题
在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”．
(1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
(2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由．
(3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01混淆正方形的判定条件
【错因】对于正方形的判定条件掌握不熟练
【避错关键】在判断一个四边形是否为正方形时，易忽略某个条件，致使判断失误.要避免这种错误就必须
熟记正方形的定义和判定定理，认真分析定义及各个判定定理的条件，不要混淆各自的判定条件。
【典例】
1．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（ ）
A．当时，是菱形
B．当时，是菱形
C．当时，是矩形
D．当时，是正方形
2．在中，已知、为对角线，现有以下四个条件：①；②；③；④．从中选取两个条件，可以判定为正方形的是 ．（写出一组即可）
3．如图，在等边三角形中，点在边上，点、在边上，点在边上，下面四个结论中，
①存在无数个三角形是等腰直角三角形．
②存在无数个四边形是正方形．
③存在无数个三角形是等边三角形．
④存在无数个三角形是等腰直角三角形．
正确的是 ．（填写序号）
4．如图，以的三边为边在上方分别作等边，且点在内部．给出以下结论：
四边形是平行四边形；
当时，四边形是矩形；
当时，四边形是菱形；
当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．

"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02利用正方形的性质求角时漏解
【错因】没有进行分类讨论
【避错关键】根据所给的条件，全面考虑点和线的所有情况，画出正确的图形
【典例】
5．正方形中，点是边上一点，连接，，点是直线上的一点，，连接，则 度．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点03正方形中的图形变换问题
【错因】对于正方形的图形变换找不到变化过程中的角、边的规律
【避错关键】图形的平移、折叠、旋转不改变图形的形状、大小，仅改变位置.在此类题目中，要抓住图形变换过程中的对应边（或角），进而利用不变性解决问题，
【典例】
6．如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小（ ）

A．随着旋转角度的增大而增大
B．随着旋转角度的增大而减小
C．不变，都是
D．不变，都是
7．问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为的正方形的对角线相交于点，分别延长到点，到点，使，再以为邻边做正方形，连接；

(1)解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______；
(2)深入研究：如图正方形固定不动，将正方形绕点顺时针方向旋转，判断与的关系，并证明：
(3)拓展延伸：如图，在正方形旋转过程中，分别交于点，连接．当时，求的值．
8．【问题情景】
数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作：
将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向．
(1)【思考尝试】
如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系；
(2)【应用迁移】
如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长．
(3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点04正方形中的动点探究问题
【错因】对于正方形的动点问题，找不到解题的思路
【避错关键】解决动点问题的关键是抓住题中的变量和不变量，同时应注意解决这类问题时，分析方法可“执果索因”，而在说明理由时需要“由因索果”，有据推理，
【典例】
9．如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边运动．过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．以为边向其右侧作正方形，设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为．
(1)当点与点重合时，的值为______；
(2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)连接，当平分正方形的边时，直接写出的值．
10．如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，
点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位．
(1)菱形的周长为___________．
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(3)当为直角三角形时，直接写出的值．
11．如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿
以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接．
(1)当点与点重合时，的值为________．
(2)直接写出的长（用含的代数式表示）；
(3)当平分面积时，求的值；
(4)当时，直接写出的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：添加条件证明四边形是正方形
【典例】
1．如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，点 ， 分别是 和 的中点．
(1)求证∶ ；
(2)连接 ． 从下面两个问题中选择其中一个进行解答， (若多选，按第一个解答计分)
我选______． (填写序号“①”或“②”)．
①当 满足什么条件时，四边形 的形状为菱形 请加以证明．
②当 满足什么条件时，四边形 的形状为矩形？ 请加以证明．
(3)在（2） 的条件下，对 添加一个______条件时，四边形 为正方形？ 不需证明．
2．四边形是边长为的正方形，点E是对角线上的一个动点（点E与A、C不重合），连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接、，与交于点G，延长线与线段交于点H．
(1)求证：，；
(2)猜想：当 时，四边形是正方形；
(3)设，的面积为y，确定y与x的函数关系式，并求出y的最大值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：利用正方形的性质求面积
【典例】
3．如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．
(1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用；
(2)试用含有的代数式表示五边形的面积；
(3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？
4．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点．
(1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是___________．
(2)当正方形绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论．
5．正方形与正方形的边和边在直线上，起始状态如图所示，点与点重合，点在边上．已知，．正方形沿方向以的速度运动，两个正方形重叠部分图形的面积为．
(1)在正方形平移过程中，若秒，则 ，若秒，则 ．
(2)在这段时间内，求与的函数关系式．
(3)当，求的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：正方形与最值综合问题
【典例】
6．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ．
7．如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为 ．
8．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．

"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：正方形与翻折综合探究问题
【典例】
9．如图，在正方形纸片中，，点E在边上，且，将沿所在直线折叠，点D的对应点为点F，延长交边于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求证：．
10．如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足．
(1)______．
(2)①求证：四边形是正方形．②若，求的面积．
(3)如图（2），在中，，其高，，则的长度是______．
11．在数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．
动手操作：
第一步：如图①，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图②；
第二步：沿直线折叠，使点D落在处，设交于点G．如图③；
第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图④．
解决问题：
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为2．
（I）求的长；
（Ⅱ）求的值．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧05：正方形中的十字架模型
【典例】
12．综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．
(1)操作判断
如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系．
(2)迁移探究
如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长．
(3)拓展应用
如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：．
13．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．
（1）如图1，求证AE⊥BF；
（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；
14．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点．

（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）探索，，之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧06：四边形中的对角互补模型
【典例】
15．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧07：正方形中的半角模型
【典例】
16．【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．
【探索发现】
(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．
17．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
一、单选题
1．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直D．平行四边形的对角线相等
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（ ）
A．3B．12C．10D．5
4．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图1，将正方形 沿线段剪开，再把得到的四个四边形按如图所示的方式拼接成一个四边形．若图中正方形的边长为，，则图中正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·安徽·模拟预测）如图，为正方形中边上一点，为对角线，连接，交于点，若，则的度数为( )
A．B．°C．°D．
6．（2025·广东佛山·三模）如图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个与图1中完全相同的直角三角形分别摆放为如图2、图3所示的图形，其中阴影小正方形的面积分别记为，则的值为（ ）
A．9B．4C．1D．0
7．（2024·浙江·模拟预测）如图，在正方形 中， 是对角线 上的一点(与点 不重合)， 于点 于点 ，连结 并延长交 于点 ． 下列结论：① ；② ；③ ；④正方形 的面积为 ． 其中结论正确的是( )
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
8．（2025·湖北·模拟预测）如图，正方形的对角线相交于点O，以点C为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线交于点H，下列结论不正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
9．（2023·安徽合肥·三模）如图，正方形中，，， 分别从，同时出发，点以每秒的速度沿运动，点以每秒的速度沿运动，点到达点时运动停止．设点运动（秒）时，的面积，则关于的函数图象大致为：（ ）

A．B． C． D．
10．（2025·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，、分别为、的中点，连接、交于点，将沿对折，得到，延长线交延长线于点，下列结论正确的个数为（ ）
①；②；③；④；
⑤．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
11．（25-26九年级上·广东深圳·期末）2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为 （结果保留根号）．
12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是 ．
13．（25-26九年级上·广东揭阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择 (限填序号)．
14．（2026·山东潍坊·二模）如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．

15．（2025·北京·模拟预测）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连接，取中点，连接，则最小值为 ．
16．（2025·安徽合肥·二模）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在，上．将该正方形沿折叠，使点A落在边上的点M处，连接，与折痕交于点P．
（1）若M是的中点，则的长为 ；
（2）若G为的中点，随着折痕位置的变化，的最小值为 ．
三、解答题
17．（25-26九年级上·甘肃甘南·月考）如图，在正方形中，分别延长、至点、，且，连接、．求证：．
18．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数．
19．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）某社区有一个正方形空地，准备把此正方形空地分成面积相等的四部分，分别种植四种不同的花草，请你运用所学的知识，设计三种不同的方案．（画出即可）
20．（2025·山西·模拟预测）如图，在正方形中，为对角线延长线上一点，连接．
(1)实践操作：利用尺规在线段下方作，射线与的延长线交于点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)猜想与证明：试猜想线段，的位置关系，并加以证明．
21．（2025·四川南充·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
(3)已知，当点恰为中点时，求的长度．
22．（2024·海南·三模）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将沿着折叠，点C落在点F处，连接交于点O，延长交于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，若点E为的中点，连接，若=2，求的长；
(3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，点E为的中点，同样将沿着折叠，的延长线恰好经过点A．
① 求证：四边形是平行四边形；
② 若，直接写出n的值．
23．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在四边形中，，，于点E，，，动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以的速度向终点E运动，点Q沿折线以的速度向终点D运动，设点P的运动时间为．的面积为．
(1)四边形的形状是_______；
(2)当点P在折线上运动时，用含x的代数式表示的长；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(4)当与四边形的对角线平行时，直接写出x的值．
24．（2023·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．

(1)求证：；
(2)如图1，若，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为、上的动点，若，请直接写出的最小值．
元素
性质
符号表示
图示
边
对边平行
AB//CD,AD// BC
四条边相等
AB=BC=CD=DA
角
四个角都是直角
∠ABC=∠BCD=
∠CDA=∠DAB=90°
对角线
对角线相等且互相
垂直平分
AC=BD,AC⊥BD,
OA=OB=OC=OD
每一条对角线平分
一组对角
∠BAC=∠DAC=∠DCA= ∠BCA=
∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠ADB=45°
对称性
是轴对称图形,有四条对称轴,是中心对称图
形,对称中心是对角线的交点
元素
文字语言
符号语言
基本图形
边
有一组郁边相等
的矩形是正方形
∵四边形ABCD是矩形,且AD=AB,
∴.矩形ABCD是正方形
角
有一个角是直角
的菱形是正方形
∵四边形ABCD是菱形,且∠ABC=90°,
∴ 菱形ABCD是正方形
对角
线
对角线互相垂直
平分且相等的四
边形是正方形
∵在四边形ABCD中, OA=OC,
OB=OD,AC⊥ BD,AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形
对角线互相垂直
且相等的平行四
边形是正方形
四边形ABCD是平行四边形,
且 AC ⊥BD,AC=BD,∴平行
四边形ABCD是正方形
对角线相等的菱
形是正方形
四边形ABCD是菱形,且 AC=BD,
∴菱形ABCD是正方形
对角线互相垂直
的矩形是正方形
四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD,
∴矩形ABCD是正方形
《方法技巧》
判定一个四边形为正方形的常用方法
(1)根据定义，先判定其为平行四边形，再证明它有一组邻边相等，且有一个角是直角：
(2)先判定它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直：
(3)先判定它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等
《方法技巧》
求几何图形面积的两种方法
方法1：根据几何图形的面积计算公式，找到相应线段的长度，直接套用公式求出.
方法2：对于一些不规则图形或面积计算公式中所需线段长度计算过于烦项的几何图形，其面积可通过相关几何图形面积的和或差间接求出，
《方法技巧》
正方形与最值问题在初中数学（尤其是中考）和高中数学中都很常见。它往往结合了几何性质、代数建模、函数思想和重要不等式。
处理正方形中的最值问题，通常有两条主线：
几何法：利用正方形的对称性、旋转全等、定点到定直线距离、圆的相关性质（如直径所对圆周角为直角）、三角形三边关系等，将动态线段最值转化为基本几何模型。
2.代数（坐标）法：建立合适的平面直角坐标系，将几何量表示为函数，然后利用配方法、二次函数性质、基本不等式等求最值。
《方法技巧》
正方形中的翻折问题（几何折叠问题）是初中数学和中考的热点，它综合了轴对称性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形、三角函数等多个知识点.翻折的本质是轴对称变换，要抓住以下不变性：
1.全等：翻折前后的图形全等，即对应边、对应角相等。
2.对称轴垂直平分对应点连线：折痕是两对称点连线的垂直平分线。
3.翻折后点的位置：一般在正方形的边或延长线上，需分类讨论。
4.引入变量：常设未知线段，利用勾股定理列方程。
《方法技巧》
1.十字架模型通常指正方形内两条互相垂直的线段，分别连接对边中点或特定比例分点，形成“十字形”垂直结构。常见的有两种： 正十字模型 和斜十字模型 常见考题中最经典的一个结论是： “正方形内任意两条互相垂直的线段，若分别连接两组对边，则这两条线段长度相等。”
2.常见的解题策略：
（1）识别模型：题目中出现正方形内两条互相垂直的线段连接对边（不一定过中心），应想到“十字架模型”，可能用到“垂直两线段相等”的结论快速解题。
（2）辅助线方法
①旋转法：将其中一条线段绕正方形中心旋转 90°，与另一线段重合或共线，从而得到全等三角形。
②构造直角三角形：过端点作垂线，构造全等直角三角形，证明线段相等。
③坐标法：建立平面直角坐标系，用解析法计算，适合较复杂的位置。
《方法技巧》
1.旋转构造全等三角形：一般将三角形旋转90°，利用补角关系证明新三点共线，从而得到等腰直角三角形或特殊边关系。
2.四点共圆与角的转化：利用四点共圆的条件和圆内接四边形对角互补、圆周角的性质进行角的转化
3.对称变换：以对角线为对称轴进行翻折，把互补的角转化为邻补角或对顶角，进而得到三点共线
《方法技巧》
遇到正方形中 45 ∘ 45 ∘ 角（或更一般地，大角为 2α，小角为 α），常采用：
1.旋转法：将包含半角的两三角形之一旋转，使两相邻边重合。
2.截长补短：直接在线段截取一条线段相等，证全等。
3.利用对称与全等：通过辅助线构造全等三角形，转移边角条件。