初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的性质同步测试题

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1.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形， 其中AD＝CD，AB＝CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③点O到四条边的距离都相等，④AO＝OC.其中正确的结论有（ ）个.
A . 4 B . 3 C . 2 D . 1
2.如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠AMB的度数为（ ）
A . 144° B . 120° C . 108° D . 100°
3.如图所示，各边相等的五边形ABCDE中，若∠ABC=2∠DBE，则∠ABC等于（ ）
A . 60° B . 120° C . 90° D . 45°
4.木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A . 角平分线定理
B . 等腰三角形的三线合一
C . 线段垂直平分线定理
D . 两直线垂直的性质
5.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE ， 其中 ∠AFB=（ ）
A . 54° B . 63° C . 72° D .81°
6.如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）
​
A . 55° B . 45° C . 35° D . 65°
7.若实数x，y满足|x﹣4|+ y−8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A . 12 B . 16 C . 16或20 D . 20
8.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆 DE上一点 A往地面拉两条长度相等的固定绳 AB与 AC ， 当固定点 B ， C到杆脚 E的距离相等，且 B ， E ， C在同一直线上时，电线杆 DE就垂直于 BC ． 工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A . 等边对等角
B . 等腰三角形“三线合一”
C . 垂线段最短
D . 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
9.如图，直线l//m，等腰Rt△ABC，直角顶点C在直线l上，另一个顶点B在直线m上，若∠1＝28°，则∠2＝（ ）
A . 17° B . 62° C . 73° D . 75°
二、填空题
1.如图所示的网格是正方形网格，则 ∠BAC+∠CDE= ________ （点A，B，C，D，E是网格线交点）．
2.如图，在5×5的正方形网格中，点A、 B在格点上，在该网格中取一个格点 M ， 能使A、 B、 M为顶点的等腰三角形中为等腰直角三角形的概率为 ________ ．
3.学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5”，你认为小明回答是否正确： ， 理由是 ________
4.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP= ________ 海里．
5.已知直线 a∥b ， 将以 PM ， PN为两腰的等腰 △PMN的顶点 P ， N按如图所示的方式分别放在 a ， b上，若 ∠M=40° ， ∠1=35° ， 则 ∠2= ________ ．
6.直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有 ________ 个.
三、作图题
1.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
2.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
3.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上。
（1） 在方格纸中画出以AB为斜边的Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且在直线AB的下面；
（2） 在方格纸中画出以DE为一边的等腰△DEF，点F在小正方形的顶点上，且△DEF的面积为 152 ， 连接CF，直接写出CF的长.
四、综合题
1.解决下列问题：
（1） 已知x+3y＝7，xy＝2，求x﹣3y的值；
（2） 已知等腰△ABC的三边a、b、c为整数，且满足a 2+b 2＝4a+10b﹣29，求△ABC的周长.
2.如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E.
（1） 依题意补全图形.
（2） 若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3） 连接CE，求证：BE＝AE+CE.
3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B处，在沿海城市 A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东 30°方向向 C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半）
试问：
（1） A城市是否会受到台风影响？
（2） 若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？
（3） 若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
4.已知关于x、y的方程组 {ax+2y=14x+y=4与 {x−y=2x+by=13的解相同．
（1） 求a、b的值；
（2） 如果a、b是等腰三角形的两边，求该等腰三角形的周长．
5.已知 OP平分 ∠MON ， 如图1所示，点B在射线 OP上，过点B作 BA⊥OM于点A，在射线 ON上取一点C，使得 BC=BO ．

（1） 若线段 OA=3cm ， 求线段 OC的长；
（2） 如图2，点D是线段 OA上一点，作 ∠DBE ， 使得 ∠DBE=∠ABO，∠DBE的另一边交 ON于点E，连接 DE ．
① ∠OBC=2∠DBE是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段 CE，OD，DE的数量关系，并说明理由．
五、解答题
1.已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足 b=2a−3+3−a+7 ， 求此等腰三角形周长．
2.陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图）
小淇同学作法如下：
（1）在直线l上任意取一点C，连接AC；
（2）作AC的中点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示；
（4）作直线AB．
则直线AB就是所要作图形．
你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明．
3.如图1，直线 y=kx−8与y轴交于点B，与x轴交于点A，与直线 y=−2x交于点 Ca,−4 ．
（1） 求点C的坐标以及直线 AB的表达式；
（2） 点P在y轴上，若 △PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3） 如图2，若y轴上有一点Q，且使得以B，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
4.如图矩形ABCD中，点E在BC上，且AE=EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．
5.利用所学的知识计算：
（1） 已知a和b都为正数， a2+b2=13,ab=6, 求 a+b的值；
（2） 已知a，b，c为等腰 △ABC的三边的长，若 a2+b2+85=4a+18b ， 求等腰 △ABC的周长．
六、阅读理解
1.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
2.在学习乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式 x2+4x+5的最小值．总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵ (x+2)2≥0，∴当 x=−2时， (x+2)2的值最小，最小值是0，
∴ (x+2)2+1≥1，∴当 x=−2时， (x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴ x2+4x+5的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1） 填空： m2+8m+_=(m+4)2；
（2） 若 y=x2+2x−3 ， 当 x= 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3） 已知a、b、c是 △ABC的三边长，满足 a2+b2=12a+8b−52 ， 且c的值为代数式 −x2+6x−5的最大值，判断 △ABC的形状，并说明理由．