沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的判定练习

这是一份沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的判定练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在一个单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3 ， △A 3A 4A 5 ， △A 5A 6A 7 ， …，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，﹣1），A 3（0，0），则依图中所示从律，A 2022的纵坐标为（ ）
A . ﹣1010 B . 1010 C . ﹣1011 D . 1011
2.在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A . 4 B . 6 C . 8 D . 10
3.如图，在 △ABC中， ED∥BC ， ∠ABC和 ∠ACB的平分线分别交 ED于点G、F，若 BE=5,DC=9,DE=20 ， 则 FG=（ ）
A . 4 B . 6 C . 8 D . 10
4.判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若 a＞1且 b＞1 ， 则 a+b＞2；③全等三角形对应角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中逆命题正确的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 0个
5.在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
二、填空题
1.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形 ABCD是一个筝形，其中 AD=CD ， AB=CB ， 在探究筝形的性质时，得到如下结论：① △ABD≌△CBD；② AC⊥BD；③四边形 ABCD的面积 =12AC⋅BD；④ AO=OC ． 其中正确的结论有 ________ ．
2.已知：如图 Rt△ABC中， ∠B=90°,AB=BC=16 ， M在 BC上，且 BM=4 ， N是 AC上一动点，则 BN+MN的最小值为 ________ ．
3.已知 △ABC和 △EDF都是等腰三角形，且 △ABC≌△FED ， 顶角 ∠C=40° ． 等腰 △EDF的顶点 D在 AC边上滑动，点 E在 BA边的延长线上滑动．将线段 DA绕点 D逆时针旋转 40°得到线段 DG ， 连结 EG、 FG ， 若 △EFG是以 FG为腰的等腰三角形，则 ∠FGE= ________ ．
4.六根等长的磁力棒可以搭成的等边三角形最多有 ________ 个．
5.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为 ________ ．
6.如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 ________ 个．
7.如图，在四边形 ABCD中， AB=BC ， AD=3 ， ∠D=45° ， AC⊥AD ， 点 E在边 CD上，且 CE=CA ， 四边形 ABCD的面积为12．点 F为四边形内部一点，连接 EF ， 且 EF∥AD ， 连接 CF ， 将 CF绕点 C逆时针旋转 45°得到 CG ， 连接 BG ， 当 CG取得最小值时， △BCG的面积为 ________ ．
8.如图，点D为△ABC内部一点，连接AD、BD，且BD=AC，∠BDA+∠DAC=180°，∠DAC+∠ACB=120°，若S △ABD= 3 ， 则BC= ________ .
三、综合题
1.如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F.
（1） 如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2） 如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3） 如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）.
2.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1） 请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2） 试说明：DC⊥BE．
3.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1） 如图1，当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时，求证：AE+CF=EF．
（2） 如图2，当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
（3） 当∠MBN绕B点继续旋转到图3位置时，AE=10，CF=2．求EF的长度．
4.如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．
（1） 求证：AE=CD；
（2） 若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．
5.已知△ABC≌△EDC，过点A作直线l∥BC；
（1） 如图1，点D在线段AC上时，点E恰好落在直线l上点A的右侧，求∠ACB的度数；
（2） 如图2，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，G是线段CE上一点，且满足CG＝CF，连接DG交EF于点H，连接CH.求证： S△CHGS△CBE=GHBE；
（3） 如图3，∠ACB大小与（1）中相同，当点D不在线段AC上时，且点F、点G、点H满足（2）中条件，点M，N分别为线段CE，GD的延长线与直线l的交点.请直接写出△GMN为等腰三角形时，∠EBC与∠BCD满足的数量关系.
四、解答题
1.（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点 1,2处，则点B的坐标为 ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数 y=−2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段 BC⊥AB且 BC=AB ， 直线 AC交x轴于点D．
①点A的坐标为 ， 点B的坐标为 ；
②直接写出点C的坐标 ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中， △ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且 ∠ACB=90° ， AC=BC ． 若点C的坐标为 4,0 ， 点A的坐标为 0,2 ， 点B在第四象限时，请求出点B的坐标．
2.如图， O是等边 △ABC内一点， OA=6 ， OB=8 ， OC=10 ， 将线段 BO绕点 B逆时针旋转 60°得到线段 BO' ．
（1） 求点 O与 O'的距离；
（2） 求 ∠AOB的度数；
（3） 求 △AOC与 △BOC的面积之和，请直接写出结果．
3.我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到 a+b2=a2+2ab+b2 ．
（1） 写出由图2所表示的数学等式：______；
写出由图3所表示的数学等式：______．
（2） 利用上述结论，解决下面问题：
①已知 a+b+c=12 ， a2+b2+c2=48 ， 求 ab+bc+ac的值．
②在①的条件下，若 a、 b、 c分别是 △ABC的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
五、阅读理解
1.阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如 x2−4y2−2x+4y ， 细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2−4y2+2x−4y
=(x2−4y2)+(2x−4y)
=(x+2y)(x−2y)+2(x−2y)
=(x−2y)(x+2y+2)
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2−6xy+9y2−3x+9y
（2） ΔABC的三边 a,b,c满足 a2−b2−ac+bc=0 ， 判断 ΔABC的形状．
2.先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出 a ， 再把它的后两项分成一组，并提出 b ， 从而得 am+an+bm+bn=am+n+bm+n ． 这时，由于 am+n+bm+n中又有公因式 m+n ， 于是可提公因式 m+n ， 从而得到 m+na+b ， 因此有 am+an+bm+bn=am+an+bm+bn=am+n+bm+n=m+na+b ．
这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．
（1） 请用上面材料中提供的方法分解因式：
① ab−ac+bc−b2；② x2y2−2x2y−4y+8 ．
（2） 已知 △ABC的三边长为 a ， b ， c ， 并且 a2+b2+c2−ab−bc−ca=0 ， 试判断此三角形的形状．
3.（1）阅读理解：
如图1，在 △ABC中，若 AB=5 ， BC=3 ． 求 AC边上的中线 BD的取值范围．
某同学是这样思考的：延长 BD至点 E ， 使 DE=BD ， 连接 CE ． 利用全等将边 AB转化到 CE ， 在 △BCE中利用三角形三边关系即可求出中线 BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 .中线 BD的取值范围是 ．
（2）问题解决：
如图2，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，点 M在 AB边上，点 N在 BC边上，若 DM⊥DN ． 求证： AM+CN>MN ．
（3）问题拓展：
如图3，在 △ABC中，点 D是 AC边的中点，分别以 AB ， BC为直角边向 △ABC外作等腰直角三角形 ABM和等腰直角三角形 BCN ， 其中 ∠ABM=∠NBC=90° ， 连接 MN ， 探索 BD与 MN的数量关系和位置关系，并说明理由．