初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的性质同步练习题

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）等腰三角形的性质同步练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法中，正确的有（ ）
①三角形的三条高都在三角形内部，且都相交于一点．②任意多边形的外角和都是 360° ， 与边数无关．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④角的对称轴是它的角平分线所在的直线．⑤钝角三角形一定不是等腰三角形．
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
2.（比例的应用）一个等腰三角形的一条腰长是 20厘米，其中有两条边的长度比是 2:5 ， 这个等腰三角形的周长是（ ）厘米．
A . 90 B . 120 C . 48 D . 48或120
3.如图，在 △ABC中， AB=AC=24cm ， ∠B=∠C ， BC=16cm ， 点 D为 AB的中点，如果点 P在线段 BC上以 4cm/s的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q在线段 CA上由 C点向 A点运动．若在某一时刻能使 △BPD与 △CQP全等．则点 Q的运动速度为（ ）

A .4cm/s
B .3cm/s
C . 4cm/s或3cm/s
D . 4cm/s或6cm/s
4.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组 2a-b=3a+b=3 ， 则此等腰三角形的周长为（ ）
A . 5 B . 4 C . 3 D . 5或4
5.给出下列命题：（1）有两条边对应相等的两个直角三角形一定全等；（2） 11 的整数部分是3，小数部分是 11−3 ；（3）平方根等于本身的数是0、1；（4）等腰三角形两条边的长度分别为1和3，则它的周长为5或7.其中真命题的个数为（ ）
A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个
6.如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（ ）
​
A . 80° B . 100° C . 140° D . 160°
7.如图，点D在等边△ABC的边CB的延长线上，点E在线段BC上，连接AD，AE，若DA＝DE，且∠DAB＝20°，那么∠EAC的度数为（ ）
A . 20° B . 15° C . 10° D . 5°
二、填空题
1.学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手讲：“另两条边长为3、6或4.5、4.5”，你认为小明回答是否正确： ， 理由是 ________
2.如图，在边长为6的等边 △ABC中，D是 BC的中点，点E在线段 AD上，连接 BE ， 在 BE的下方作等边 △BEF ， 连接 DF ， 当 DE=2AE时，则点F到 BC的距离是 ________ ．
​
3.已知实数x，y满足|x﹣8|+ y2-10y+25=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ________
4.如图，∠MON=30°，点A 1 、A 2 、A 3 、A 4 …在射线ON上，点B 1 、B 2 、B 3 …在射线OM上，△A 1B 1A 2 、△A 2B 2A 3 、△A 3B 3A 4 …均为等边三角形，若OA 1 =1，则△A 6B 6A 7的边长为 ________ ．
5.等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B= 度．
6.小芳和小林为了研究图中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的角（锐角）”问题，设计出如下两个方案：
现在小林只测得∠β=115°，小芳作了AB=BC，并只测得∠1=80°，请你根据以上信息求出直线a，b所成角的度数 ________ .
7.已知等腰ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则ΔABC的面积为 ________ .
8.已知：Rt △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜∠BAD＜45°），以AD为直角边作Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点F，过点A作AH⊥DE于点G，交BC于H，在D点的运动过程中，有下列结论：① △ABD≌ △ACE：②BD 2+DC 2＝2AD 2；③BD 2+HC 2＝DH 2；④当BD =2−1时，AC平分∠HAE；⑤当∠BAD＝22.5°时， S△ADG=2S△AGF ， 其中正确的有 ________ ．（将所有正确结论的番号填在答题卡对应题号的横线上）
9.如图，点C为线段AE上一点，在AE同侧分别作正三角形ABC和CDE，AD分别与BC、BE交于点P、O，BE与CD交于点Q，以下结论：① △ACD≌△BCE；②AD＝BE；③∠AOB＝50°；④AP＝BQ．其中结论正确的有 ________ （把你认为正确的序号都填上）．
三、作图题
1.如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段DE，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上。
（1） 在方格纸中画出以AB为斜边的Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且在直线AB的下面；
（2） 在方格纸中画出以DE为一边的等腰△DEF，点F在小正方形的顶点上，且△DEF的面积为 152 ， 连接CF，直接写出CF的长.
2.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
四、综合题
1.已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE.
（1） 如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2） 如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE.
2.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.
（1） 着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2） 若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
3.在等边 ΔABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线.动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边 ΔCDE ，连结BE.
（1） 若点 D 在线段 AM 上时（如图），则 AD ________ BE （填“＞”、“＜”或“=”）， ∠CAM＝ ________ 度；
（2） 设直线BE与直线 AM 的交点为O.
①当动点 D 在线段 AM 的延长线上时（如图），试判断 AD 与 BE 的数量关系，并说明理由；

②当动点 D 在直线 AM 上时，试判断 ∠AOB 是否为定值？若是，请直接写出 ∠AOB 的度数；若不是，请说明理由.
4.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域 B处，在沿海城市 A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东 30°方向向 C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半）
试问：
（1） A城市是否会受到台风影响？
（2） 若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？
（3） 若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
五、解答题
1.在直角坐标系中等边三角形 AOB的位置如图所示，等边三角形的边长为2．
（1） 求点A的坐标；
（2） 直线 y=−33x+b过点A，与x轴交于点C，求该直线的表达式；
（3） 在x轴上是否存在点Q，使得三角形 ACQ是以 AC为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2.陆老师布置了一道题目：过直线l外一点A作l的垂线．（用尺规作图）
小淇同学作法如下：
（1）在直线l上任意取一点C，连接AC；
（2）作AC的中点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径画弧交直线l于点B，如图所示；
（4）作直线AB．
则直线AB就是所要作图形．
你认为小淇的作法正确吗？如果不正确，请画出一个反例；如果正确，请给出证明．
3.学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知 Rt△EDF中， ∠D=90°，∠F=60° ． 请根据他们的叙述条件完成题目．
（1） 若 △ACB为等腰直角三角形，且 ∠C=90°，∠A=45°；
①甲同学：如图1， Rt△ACB和 Rt△EDF的直角边 DE，BC在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边 CF与 AB相交于点P，那么∠APF= ▲ 度；
②乙同学：如图2， Rt△ACB和 Rt△EDF直角顶点C，D互相重合于点P，斜边 AB与斜边 EF互相平行，求 ∠EPB的度数，并写出解答过程；
（2） 若 △ACB为等腰三角形，已知 AC=BC ．
丙同学：如图3，若 Rt△EDF直角顶点D恰好与 △ACB底边 AB的中点重合， Rt△EDF的斜边 EF经过 △ACB的顶点C，若 EF∥AB ， 设 ∠ACB=x ， 请用含x的式子表示 ∠EPB的度数，并写出解答过程．
4.（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=40°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE的度数；
（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）．
六、阅读理解
1.阅读下列一段文字，然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2 ， y2 ）其两点间的距离P1P2 = (x1−x2)2+(y1−y2)2 ，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为| x2 − x1 |或| y2 − y1 |.
（1） 已知 A (1，4)、B (-3，2)，试求 A、B两点间的距离；
（2） 已知一个三角形各顶点坐标为 D(-1，4)、E(-2，2)、F(3，2)，你能判定此三角形的形状吗?说明理由：
（3） 在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在 x轴上找一点 P，使得∆PDF是以DF为底的等腰三角形，求点P的坐标.
2.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．