江苏省常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期期末适应性考试数学试题（含答案解析）

这是一份江苏省常州市金坛区第一中学2025-2026学年高三上学期期末适应性考试数学试题（含答案解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 设集合，，若，则（ ）
2. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为（ ）
3. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数为（ ）
4. 正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ）
5. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ）
6. 已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（ ）
7. 已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
8. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为（ ）
二、多选题
9. 设函数，则（ ）
10. 在空间四边形ABCD中，，，则（ ）
11. 已知函数的函数值等于的正因数的个数.例如.则下列选项正确的是（ ）
三、填空题
12. 某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有___________个．
13. 复数满足，，则的最小值为_______．
14. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形所在的平面内，，，该刍甍的体积最大时，________，体积的最大值为_________．
四、解答题
15. 已知函数，其中.
(1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；
(2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.
16. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点．
(1)求的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值．
17. 如图，在各棱长均相等的三棱柱中，，四棱锥的体积为.
(1)求点到平面的距离；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知函数.
(1)直线是在处的切线，求直线在轴上的截距；
(2)求函数的值域；
(3)当时，求方程的实根个数.
19. 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏.
(1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望；
(2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）.
①证明数列，，，，是等比数列；
②求活动参与者得到礼券的概率.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
A．
B．
C．
D．
A．32
B．64
C．
D．
A．100
B．120
C．128
D．240
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．3
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．在上单调递减
B．时，的值域为
C．有三个零点
D．曲线关于点对称
A．若M为CD的中点，则
B．直线AD与BC所成角的余弦值为
C．
D．空间四边形ABCD外接球的表面积为
A．
B．
C．
D．设，则