江苏省常州市第一中学2024--2025学年高三下学期四月份适应性测试数学试题（含答案解析）

这是一份江苏省常州市第一中学2024--2025学年高三下学期四月份适应性测试数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
1. 集合，那么的真子集个数有（ ）
2. 设复数，则的个位数字是（ ）
3. 圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （ ）
4. 一不均匀硬币抛掷一次，正面向上概率为p，设抛掷五次正面向上次数为随机变量X， ，则（ ）
5. 已知，则的最小值是（ ）
6. 空间直角坐标系里有一点，过P作一动平面m，直线l的方向向量坐标为．当原点到m距离d最大时，下列说法正确的是（ ）
7. 设数列满足，，，为的前项和，若，则的最小值为（ ）
8. 设为单位向量，，当和夹角最大时，（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
9. 某次演唱比赛结束后，10个评委为选手评分，恰好原始评分为9.1到10.0（公差为0.1的等差数列），按照规则要求去掉最高分和最低分，那么（ ）
10. P在椭圆C上，C的左右焦点在x轴上，和分别交C于点A，B，周长为20，左顶点和上顶点距离为，设离心率为e，那么（ ）
11. 设数列的前n项和为，若对任意的，均存在，使得，则称为“和数列”；若可拆分为2个“和数列”的和，则称为“双和数列”，下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 设，则_______．
13. 已知，直线是函数的切线，那么的斜率的取值范围是________；如果切线与有且只有一个交点，那么直线l的方程是________
14. 冷暖色调的调配是美术作品创作过程中不可避免的问题，现考虑对一个4*4方格（16个格子）进行冷暖色调染色，提供红，橙，黄，棕，蓝，紫，绿，青颜色（前四种为暖色，后四种为冷色）对格子染色，每个颜色使用两次，为了美观要求每行每列均由两个暖色格子，两个冷色格子组成，则符合要求的染色方式数目为_________（数字作答，不考虑格子的旋转）
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知锐角满足．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．
16. 已知椭圆的两个焦点为，点P在C上，直线交C于点A，B．
(1)点Q是椭圆平面外一点，且到椭圆所在平面距离为3，求三棱锥体积的最大值；
(2)证明：为定值．
17. 已知函数R.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18. 某答题打怪游戏遵循如下规则：游戏开始时会有一个Bss，其血量由玩家选择的难度而定．随后页面会显示答题区，在答题开始后，若答错一题那么Bss将会扣1点血，每答对一题Bss扣血点数为上次扣血的两倍（如果第一题答对则扣2点血），在给定题目作答结束后如果血量扣完（血量≤0）则挑战成功，否则挑战失败．为简化研究，现假设玩家每题答对的概率均相同且不变，且作答第一题后Bss扣血量的期望为，每次答题点相独立，则：
(1)假设Bss初始血量为4点，答题次数为3，则本次挑战失败的概率是多少？
(2)假设Bss初始血量足够多，求第n次答题时的扣血点数的期望．
19. 已知和分别为正项等比和等差数列，且．
(1)求的前n项和．
(2)将数列与去除公共项后从小到大排列为，记表示去除项在原数列中的项数n，设．求和的通项公式以及．
江苏省常州市第一中学2024--2025学年高三下学期四月份适应性测试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面解析几何、计数原理与概率统计、等式与不等式、空间向量与立体几何、数列、平面向量、三角函数与解三角形
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．4
B．6
C．16
D．36
A．
B．
C．
D．
A．0
B．
C．
D．1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．5
B．6
C．
D．
A．去掉最高分和最低分之前，评分的80百分位数为9.8
B．去掉最高分和最低分之前，评分的80百分位数为9.3
C．去掉最高分和最低分之后，方差相比原先减小
D．去掉最高分和最低分之后，极差相比原先减小
A．椭圆焦距为3
B．
C．面积最大值为12
D．和斜率乘积为定值
A．为“和数列”
B．为“和数列”
C．为“双和数列”
D．为“双和数列”
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
1
适中
12
较难
5
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
判断集合的子集（真子集）的个数；交集的概念及运算；根据函数的值域求定义域
2
0.65
求复数的模；复数的乘方
3
0.65
由圆的位置关系确定参数或范围；圆的公切线条数
4
0.65
独立重复试验的概率问题
5
0.65
基本不等式求和的最小值；条件等式求最值
6
0.65
空间位置关系的向量证明；求空间中两点间的距离；平面法向量的概念及辨析
7
0.65
由递推关系式求通项公式；求等比数列前n项和
8
0.4
用定义求向量的数量积；向量夹角的计算；数量积的坐标表示；向量与几何最值
二、多选题
9
0.65
计算几个数据的极差、方差、标准差；总体百分位数的估计；计算几个数的平均数
10
0.85
椭圆定义及辨析；椭圆中三角形（四边形）的面积；根据a、b、c求椭圆标准方程；求椭圆的离心率或离心率的取值范围
11
0.4
数列新定义；等差数列通项公式的基本量计算；等差数列前n项和的基本量计算
三、填空题
12
0.65
已知弦（切）求切（弦）；利用正切函数的单调性求参数；求15°等特殊角的正切
13
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求过一点的切线方程；基本初等函数的导数公式；导数的运算法则
14
0.4
涂色问题
四、解答题
15
0.65
逆用和、差角的余弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；二倍角的余弦公式；和差化积公式
16
0.4
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中的定值问题；锥体体积的有关计算
17
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间
18
0.4
利用对立事件的概率公式求概率；计算古典概型问题的概率；独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题
19
0.15
分组（并项）法求和；数列新定义；求等差数列前n项和；求等比数列前n项和
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,13,17
3
复数
2
4
平面解析几何
3,10,16
5
计数原理与概率统计
4,9,14,18
6
等式与不等式
5
7
空间向量与立体几何
6,16
8
数列
7,11,19
9
平面向量
8
10
三角函数与解三角形
12,15