2026年南京市中考数学终极押题模拟卷三（含答案）

这是一份2026年南京市中考数学终极押题模拟卷三（含答案），共5页。
A．﹣2B．2C．10或﹣2D．﹣10或﹣2
2．（2分）能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则△ABC的最小覆盖圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．256
3．（2分）无论x取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A．x−1x2B．xx2+1
C．x2+1xD．x2(x+3)2
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．64=8B．3−9=−3C．−4=2D．25=±5
5．（2分）如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A表示的数为a，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞﹣2.3B．a＜﹣2.3C．a＝﹣2.3D．无法确定
6．（2分）在平面直角坐标系中，直线y＝ax（a为常数且a≠0）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若△AOB的面积为3，则a的值为（ ）
A．﹣6B．3C．3或﹣3D．6或﹣6
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）若一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a等于 ．
8．（2分）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 ．
9．（2分）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b=a×bb−a（b＞a），则2※6＝ ．
10．（2分）若关于x的分式方程mxx−3=m+2x−3−1无解，则m＝ ．
11．（2分）如果将关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方成（x﹣1）2+a＝2，那么a＝ ．
12．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝16，EB＝4，则⊙O的半径为 ．
13．（2分）如图，已知AB⊥BE于点B，AD⊥ED于点D，AB＝BD＝6，CE＝9，则AD＝ ．
14．（2分）反比例函数y=−2x，当y≥﹣2时，x的取值范围是 ．
15．（2分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点，连接AE，在平面内有一动点F，若△AEF与△ABE全等时，则BF＝ ．
16．（2分）如图，已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，AB＝52，∠ABO＝105°，若将线段AB沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为 ．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组：3(x−2)≤6+x1+2x3＜x−1．
18．（7分）尺规作图：已知点M在∠ACB内部，过M作直线MN，使得MN∥BC．（不写作法，保留作图痕迹）
19．（8分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”．
20．（7分）已知1a+b+c+1a+b+d+1a+c+d+1b+c+d≠0；且ab+c+d+ba+c+d+ca+b+d+da+b+c+4的值为0，求a+b+c+d．
21．（8分）万里河山披锦绣，一轮明月寄深情，10月5日，以“心在当下，月满人间”为主题，河南卫视《2025中秋奇妙游》再度给全国观众献上一场精彩绝伦的视觉盛宴．错过直播的小桐和小奕想补看以下四个节目：A舞蹈《天女散花》；B歌曲《圆月》；C情景喜剧《不做NPC》；D舞蹈《落花生香》．但是考虑到九年级学习任务比较紧张，他们决定每人随机选择一个节目观看．
（1）小桐选择观看舞蹈节目的概率是 ．
（2）通过列表或画树状图的方法，求出两人选择观看不同节目的概率．
22．（7分）某校为提高学生的文化自信，开展了“爱我中华”优秀传统文化大赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）进行统计、整理．
信息一：七年级抽取的学生的初赛成绩如下：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
信息二：八年级抽取的学生的初赛成绩制作成如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别计算七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩；
（2）若学校要给两个年级中的一个年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请从两个角度说明理由．
23．（8分）如图，⊙O的内接△ABC中AB＝AC，BE是⊙O的直径，CE是弦，AD⊥CE的延长线于D．
（1）求证AD与⊙O相切；
（2）若DE＝1，AD＝3，求弦CE的长．
24．（8分）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图为甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数图象．
（1）求两个气球上升过程中y与x函数解析式；
（2）当这两个气球海拔相差5千米时，直接写出x的值．
25．（8分）海中有一小岛A，在它周围10千米内布满了暗礁．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向，航行10千米后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向．如果这艘轮船不改变航向，继续向东航行，请通过计算判断是否存在触礁的危险．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
26．（9分）如图，点P（7，a）在抛物线上C：y＝4﹣（6﹣x）2，且在抛物线的对称轴右侧．
（1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值；
（2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝﹣（x﹣3）2．直接写出点P′平移的方向和距离．
27．（11分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点P是AB的中点．动点M沿CB边从点C开始，向点B以每秒1个单位长度的速度运动，当点M到达点B时停止运动，以点C为圆心，CM的长为半径作圆，与AC交于点N，过点N作NQ⊥AB，垂足为点Q．设运动的时间为t秒．
（1）BC＝ ，CP＝ ；
（2）求NQ的长（用含t的代数式表示）；
（3）当⊙C与AB相切时，切点为D，求DN的长（sin37°=35，结果保留π）；
（4）当⊙C与线段PQ有交点时，直接写出t的取值范围和线段NQ所扫过的面积．
2026年 南京中考数学终极押题密卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）若m＝4，|n|＝6，且m﹣n＞0，则m+n的值是（ ）
A．﹣2B．2C．10或﹣2D．﹣10或﹣2
【考点】绝对值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】利用绝对值的定义解答．
【解答】解：∵|n|＝6，
∴n＝±6，
∵m＝4，且m﹣n＞0，
∴n＝﹣6，
∴m+n＝4﹣6＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．
2．（2分）能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则△ABC的最小覆盖圆的半径是（ ）
A．3B．4C．5D．256
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则BF＝CF=12BC＝4，∠BAC＝2∠BAF，在Rt△ABF中，根据sin∠BAF=BFAB=45＞22得∠BAF＞45°，则∠BAC＞90°，由此得△ABC是钝角三角形，作△ABC的外接圆⊙O，则点O在AF的延长线上，连接OB，再以点F为圆心，BF为半径作圆⊙F，显然⊙O和⊙F都是△ABC的覆盖圆，根据OB＞BF得⊙F是△ABC最小覆盖圆，由此即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，过点A作AF⊥BC于点F，如图1所示：
∴BF＝CF=12BC＝4，∠BAC＝2∠BAF，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB=45＞22，
∴∠BAF＞45°，
∴∠BAC＞90°，
即△ABC是钝角三角形，
设△ABC外接圆的圆心为O，作△ABC的外接圆⊙O，则点O在AF的延长线上，连接OB，再以点F为圆心，BF为半径作圆⊙F，如图2所示：
显然⊙O和⊙F都是△ABC的覆盖圆，
在Rt△OBF中，∠BFO＝90°，
∴OB＞BF，
又∵OB是⊙O半径，BF是⊙F的半径，
∴⊙O半径大于⊙F的半径，
∴⊙F是△ABC最小覆盖圆，
∴△ABC的最小覆盖圆为⊙F，其半径是4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
3．（2分）无论x取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A．x−1x2B．xx2+1
C．x2+1xD．x2(x+3)2
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可．
【解答】解：对于A，当x＝0时分母x2＝0，故分式无意义，不符合题意；
对于B，分母x2+1≥1＞0，恒不为0，故分式总有意义，符合题意；
对于C，当x＝0时分母x＝0，故分式无意义，不符合题意；
对于D，当x＝﹣3时分母（x+3）2＝0，故分式无意义，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握该知识点是关键．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．64=8B．3−9=−3C．−4=2D．25=±5
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根的运算法则来解答．
【解答】解：64=8，本选项正确，故符合题意；
3−9≠−3，本选项不正确，故不符合题意；
−4=−2，本选项不正确，故不符合题意；
25=5，本选项不正确，故不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键是根据它的定义来解答．
5．（2分）如图，在数轴上作长、宽分别为2和1的长方形，以原点为圆心，长方形对角线的长为半径画弧，与数轴相交于点A．若点A表示的数为a，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞﹣2.3B．a＜﹣2.3C．a＝﹣2.3D．无法确定
【考点】实数与数轴．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】由题意得长方形对角线的长度，则知道了A点表示的数，与﹣2.3比较，可得．
【解答】解：由题意得，长方形对角线=12+22=5，
∴点A表示的数为−5，
2.32＝5.29，（5）2＝5，
∴2.3＞5，
﹣2.3＜−5，
即a＞﹣2.3，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴的应用，关键是能够根据题意确定点在数轴上表示的数．
6．（2分）在平面直角坐标系中，直线y＝ax（a为常数且a≠0）沿y轴向上平移6个单位长度后，与x轴交于点A，与y轴交于点B．若△AOB的面积为3，则a的值为（ ）
A．﹣6B．3C．3或﹣3D．6或﹣6
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】利用平移的规律求得平移后的直线解析式，然后分别计算x＝0和y＝0时对应的值，可得OA和OB的值，根据△AOB的面积为3，列方程可得结论．
【解答】解：直线y＝ax（a为常数且a≠0）沿y轴向上平移6个单位长度后，得到直线y＝ax+6，
当y＝0时，kx+6＝0，
∴x=−6k，
∵直线y＝kx+6与x轴交于点A，
∴OA＝|6k|，
当x＝0时，y＝6，
∴OB＝6，
∵△AOB的面积为3，
∴12×6×|6k|=3，
∴k＝±6．
故选：D．
【点评】本题考查了右侧函数图象与几何变换，一次函数上点的坐标特征，三角形的面积，计算OA和OB的长是解本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）若一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a等于 3 ．
【考点】算术平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据算术平均数的计算公式即可求出a．
【解答】解：由题意得，a＝3×5﹣4﹣2﹣5﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平均数，熟记公式是解决本题的关键．
8．（2分）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 7 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】7
【分析】分两种情况讨论，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是7，于是得到答案．
【解答】解：当等腰三角形的腰长是3时，
3+3＜7，不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的第三边不能是3；
当等腰三角形的腰长是7时，
7+3＞7，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的第三边为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．
9．（2分）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b=a×bb−a（b＞a），则2※6＝ 3 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；新定义；二次根式；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进一步化简即可．
【解答】解：∵a※b=a×bb−a（b＞a）
∴2※6
=2×66−2
=124
=232
=3．
故答案为：3．
【点评】本题题考查二次根式的混合运算，理解新定义运算，正确列出算式，并掌握二次根式乘除法计算法则a⋅b=ab（a≥0，b≥0）；ab=ab（a≥0，b＞0）是解题关键．
10．（2分）若关于x的分式方程mxx−3=m+2x−3−1无解，则m＝ ±1 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】±1．
【分析】先按照解分式方程的一般步骤，把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论：当整式方程无解和分式的分母为0，进行解答即可．
【解答】解：mxx−3=m+2x−3−1，
mx＝m+2﹣x+3，
mx+x＝m+5，
（m+1）x＝m+5，
当m+1＝0，即m＝﹣1时，整式方程无解；
当m+1≠0时，x=m+5m+1，
当x﹣3＝0，即m+5m+1=3时，原分式方程无解，
∴m+5＝3（m+1），
m+5＝3m+3，
3m﹣m＝5﹣3，
2m＝2，
m＝1，
检验：当m＝1时，m+1≠0，
∴m＝1是原分式方程的解，
综上可知：当m＝±1时，分式方程无解，
故答案为：±1．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意解分式方程要检验．
11．（2分）如果将关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方成（x﹣1）2+a＝2，那么a＝ ﹣1 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可．
【解答】解：由题知，
x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
则（x﹣1）2﹣1＝2．
又因为（x﹣1）2+a＝2，
所以a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键．
12．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝16，EB＝4，则⊙O的半径为 10 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】10．
【分析】连接OC．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴CE=12CD＝8，
设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，
∵OC2＝OE2+CE2，即r2＝82+（r﹣4）2，
解得r＝10，
故答案为：10．
【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
13．（2分）如图，已知AB⊥BE于点B，AD⊥ED于点D，AB＝BD＝6，CE＝9，则AD＝ 2455 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】2455．
【分析】先证明△DBC∽△EBD，然后即可求得BC的长，再根据勾股定理求出AC的长，最后证明△ABC∽△EDC，即可求得CD的长，由图可知AD＝AC+CD，从而可以求得AD的长．
【解答】解：∵AB＝BD，
∴∠A＝∠BDC，
∵AB⊥BE，AD⊥ED，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠EDC，
∴∠A＝∠BED，△ABC∽△EDC，
∴∠BDC＝∠BED，
又∵∠DBC＝∠EBD，
∴△DBC∽△EBD，
∴BCBD=BDBE，
∵AB＝BD＝6，CE＝9，
∴BC6=6BC+9，
解得BC＝3，
∴AC=AB2+BC2=62+32=35，
∵△ABC∽△EDC，
∴BCDC=ACEC，
即3DC=359，
解得DC=955，
∴AD＝AC+CD＝35+955=2455，
故答案为：2455．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
14．（2分）反比例函数y=−2x，当y≥﹣2时，x的取值范围是 x≥1或x＜0 ．
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】x≥1或x＜0．
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出y＝﹣2时x的值，即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y=−2x中，k＝﹣2＜0，
∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵当y＝﹣2时，x＝1，
∴当﹣2≤y＜0时，x≥1；
当y＞0时，x＜0．
综上所述，x的取值范围是x≥1或x＜0．
故答案为：x≥1或x＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
15．（2分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点，连接AE，在平面内有一动点F，若△AEF与△ABE全等时，则BF＝ 5cm，245cm，75cm ．
【考点】矩形的性质；圆周角定理；轴对称的性质；全等三角形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】5cm，245cm，75cm．
【分析】以AE的中点为圆心52为半径作圆，得出F点的位置，进而分别求得BF即可求解．
【解答】解：∵AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点，
∴BE=12BC=3cm，
∴AE=42+32=5（cm），
如图所示，以AE的中点为圆心，52为半径作圆，
当F在AD上时，△AEF与△ABE全等，
则∠AF1E＝∠ABE＝90°，∠BAF1＝90°，
∴四边形ABEF1是矩形，则EF1＝AB＝4，AF1＝BE＝3cm，
∴BF1=32+42=5（cm），
当B，F2关于AE对称时，设BF2，AE交于点G，则BF2⊥AE，
∴BG=AB×BEAE=125（cm），
∴BF2=2BG=245cm，
当F1，F3关于AE对称时，连接F2F3，则四边形AF2EF3是矩形，
∴F2F3＝AE＝5cm，
又∵BF1＝F2F3，
∴四边形F1F2BF3是矩形，
∴BF3=52−(245)2=75（cm），
综上所述，BF＝5cm，245cm，75cm，
故答案为：5cm，245cm，75cm．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是关键．
16．（2分）如图，已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，AB＝52，∠ABO＝105°，若将线段AB沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为 562−522或53 ．
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】562−522或53．
【分析】以点B为圆心，BA长为半径画圆，交⊙O于点A1，A2，此时BA1，BA2即为BA翻折后的线段，分情况讨论：当BA＝BA1时和当AB＝BA2时，分别作∠ABA1，∠ABA2的角平分线，交⊙O上一点为C1，C2，利用圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质及解直角三角形等性质作出对应的辅助线，通过计算得出对应的线段长度即可．
【解答】解：如图，以点B为圆心，BA长为半径画圆，交⊙O于点A1，A2，
此时BA1，BA2即为BA翻折后的线段，
①当BA＝BA1时，
作∠ABA1的角平分线，交⊙O上一点为C1，连接OC1，OA1，
∵AB=BA1=52，OB＝OA1＝5，
∴OB2+OA12=BA12，
∴∠BOA1＝90°，
∴∠A1BO＝∠BA1O＝45°，
由条件可知∠ABA1＝∠ABO﹣∠A1BO＝60°，
∴∠C1BA1=12∠ABA1=30°，
∴∠C1BO＝∠C1BA1+∠A1BO＝75°，
∵OC1＝OB，
∴∠C1BO＝∠BC1O＝75°，则∠C1OB＝30°，
过点B作BN⊥OC1交OC1于点N，
∵OC1＝OB＝5，
在Rt△BON中，BN=12BO=52，
由勾股定理得，ON=BO2−BN2=52−(52)2=532，
∴C1N=OC1−ON=5−532，
由勾股定理得BC1=BN2+C1N2=(52)2+(5−532)2=562−522，
∴弦BC1的长度为562−522；
②当AB＝BA2时，
作∠ABA2的角平分线，交⊙O上一点为C2，连接OC2，OA2，
同理可得△BOA2为等腰直角三角形，
∴∠OBA2＝∠OA2B＝45°，
∴∠ABA2＝105°+45°＝150°，
∴∠C2BA2=12∠ABA2=75°，
∴∠C2BO＝30°，
过点C2作C2M⊥BO交BO的延长线于点M，
∵OC2＝BO＝5，
∴∠C2BO＝∠BC2O＝30°，则∠C2OM＝60°，
由勾股定理得C2M=OC22−OM2=52−(52)2=532，
∴BM=BO+OM=5+52=152，
在Rt△C2BM中，BC2=C2M2+BM2=(532)2+(152)2=53，
∴弦BC2的长度为53，
综上所述，562−522或53．
故答案为：562−522或53．
【点评】本题考查了圆的性质，翻折的性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，勾股定理及解含30°的直角三角形等知识点．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）解不等式组：3(x−2)≤6+x1+2x3＜x−1．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】4＜x≤6．
【分析】根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法求解即可．
【解答】解：3(x−2)≤6+x①1+2x3＜x−1②，
①3x﹣6≤6+x，
2x≤12，
解得x≤6，
②1+2x＜3x﹣3，
﹣x＜﹣4，
解得x＞4，
∴4＜x≤6．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”是关键．
18．（7分）尺规作图：已知点M在∠ACB内部，过M作直线MN，使得MN∥BC．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】如图，直线MN即为所作．
【分析】结合平行线的判定，作相等的同位角，则直线MN即为所作．
【解答】解：结合平行线的判定，作相等的同位角，如图，直线MN即为所作．
．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定，熟练掌握作一个角等于已知角及平行线的判定是解答本题的关键．
19．（8分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】其中好酒是10瓶，薄酒是9瓶．
【分析】设其中好酒是x瓶，薄酒是y瓶，根据“33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设其中好酒是x瓶，薄酒是y瓶，
根据题意得：3x+13y=33x+y=19，
解得：x=10y=9．
答：其中好酒是10瓶，薄酒是9瓶．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．（7分）已知1a+b+c+1a+b+d+1a+c+d+1b+c+d≠0；且ab+c+d+ba+c+d+ca+b+d+da+b+c+4的值为0，求a+b+c+d．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式；运算能力．
【答案】a+b+c+d＝0．
【分析】把4分成四个1和每个分式先结合计算，再提取公因式，利用乘积为0的因数的性质得结论．
【解答】解：∵ab+c+d+ba+c+d+ca+b+d+da+b+c+4的值为0，
∴ab+c+d+ba+c+d+ca+b+d+da+b+c+4＝0．
∴ab+c+d+1+ba+c+d+1+ca+b+d+1+da+b+c+1＝0．
∴a+b+c+db+c+d+a+b+c+da+c+d+a+b+c+da+b+d+a+b+c+da+b+c=0．
∴（a+b+c+d）（1b+c+d+1a+c+d+1a+b+d+1a+b+c）＝0．
∵1a+b+c+1a+b+d+1a+c+d+1b+c+d≠0，
∴a+b+c+d＝0．
【点评】本题考查了分式的运算，掌握分式的加减法法则及乘积为0的各因式的值为0是解决本题的关键．
21．（8分）万里河山披锦绣，一轮明月寄深情，10月5日，以“心在当下，月满人间”为主题，河南卫视《2025中秋奇妙游》再度给全国观众献上一场精彩绝伦的视觉盛宴．错过直播的小桐和小奕想补看以下四个节目：A舞蹈《天女散花》；B歌曲《圆月》；C情景喜剧《不做NPC》；D舞蹈《落花生香》．但是考虑到九年级学习任务比较紧张，他们决定每人随机选择一个节目观看．
（1）小桐选择观看舞蹈节目的概率是 12 ．
（2）通过列表或画树状图的方法，求出两人选择观看不同节目的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）12；
（2）34．
【分析】（1）先确定舞蹈节目数量与总节目数，用“舞蹈节目数÷总节目数”计算概率；
（2）通过列表/树状图列出所有等可能结果，数出“两人选不同节目”的结果数，再用“不同节目结果数÷总结果数”计算概率．
【解答】解：（1）节目中舞蹈节目是A（《天女散花》）和D（《落花生香》），共2个；总节目数是4个．
因此概率为：24=12，
故答案为：12；
（2）小桐的选择有A、B、C、D，小奕的选择也有A、B、C、D，树状图如下：

由图可知，总共有4×4＝16种等可能的结果．
其中两人选择不同节目的结果数：16﹣4＝12种．
因此，两人选择观看不同节目的概率为：1216=34．
【点评】本题考查了概率的计算（古典概型），解题的关键是确定所有等可能结果及符合条件的结果数．
22．（7分）某校为提高学生的文化自信，开展了“爱我中华”优秀传统文化大赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）进行统计、整理．
信息一：七年级抽取的学生的初赛成绩如下：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，
9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
信息二：八年级抽取的学生的初赛成绩制作成如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别计算七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩；
（2）若学校要给两个年级中的一个年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请从两个角度说明理由．
【考点】条形统计图；算术平均数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩都是8.3；
（2）见解析．
【分析】（1）利用平均数公式计算可得；
（3）答案不唯一，可从平均数、中位数、众数、优秀率的角度来分析．根据两个年级众数和方差解答即可；
【解答】解：（1）七年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6×2+7×3+8×5+9×7+10×320=8.3（分），
八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为6+7×6+8×4+9×4+10×520=8.3（分）；
（2）从众数角度看，七年级的众数为9大于八年级的众数为7；从中位数来看，七年级的中位数8.5高于八年级的中位数8，
综上所述，应该给七年级颁奖．（答案不唯一，也可从众数、优秀率的角度来分析）．
【点评】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
23．（8分）如图，⊙O的内接△ABC中AB＝AC，BE是⊙O的直径，CE是弦，AD⊥CE的延长线于D．
（1）求证AD与⊙O相切；
（2）若DE＝1，AD＝3，求弦CE的长．
【考点】切线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；直线与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）8．
【分析】（1）连接OA，OC，延长AO交BC于F点．证明四边形AFCD为矩形，得到∠FAD＝90°，则OA⊥AD，即可证明AD与⊙O相切；
（2）作OH⊥CE，垂足为H，证明四边形AOHD为矩形，则DH＝OA＝OE，OH＝AD＝3．证明EH＝CH设EH＝CH＝x，则DH＝x+1，OE＝OA＝DH＝x+1，在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，得到32+x2＝（x+1）2，解得x＝4，即可求出弦CE的长．
【解答】（1）证明：连接OA，OC，延长AO交BC于F点．
由条件可知OA为BC的垂直平分线，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∵BE是⊙O的直径，AD⊥CE，
∴∠BCE＝90°，
∴∠D＝90°，
∴四边形AFCD为矩形，
∴∠FAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴AD与圆O相切．
（2）解：作OH⊥CE，垂足为H，由（1）得AO⊥AD，
由条件可知∠OHD＝∠OAD＝∠D＝90°，
∴四边形AOHD为矩形，
∵DE＝1，AD＝3，
∴DH＝OA＝OE，OH＝AD＝3．
∵OH⊥CE，
∴EH＝CH，
设EH＝CH＝x，则DH＝x+1，OE＝OA＝DH＝x+1，
由勾股定理可得32+x2＝（x+1）2，
∴x＝4，
∴CE＝2x＝8．
【点评】此题考查了切线的判定、矩形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理是关键．
24．（8分）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图为甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数图象．
（1）求两个气球上升过程中y与x函数解析式；
（2）当这两个气球海拔相差5千米时，直接写出x的值．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；推理能力；模型思想；应用意识．
【答案】（1）甲气球的函数解析式为：y＝x+5（0≤x≤60），乙气球的函数解析式为：y=12x+15（0≤x≤60）；
（2）9960min．
【分析】（1）根据图象中坐标，利用待定系数法求解；
（2）根据分析可知：当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差5000m，可得方程x+5﹣（12x+15）＝5000，解之即可．
【解答】解：（1）设甲气球的函数解析式为：y＝kx+b，乙气球的函数解析式为：y＝mx+n，
分别将（0，5），（20，25）和（0，15），（20，25）代入，
5=b25=20k+b，
解得：k=1b=5，
15=n25=20m+n，
解得：m=12n=15，
∴甲气球的函数解析式为：y＝x+5（0≤x≤60），乙气球的函数解析式为：y=12x+15（0≤x≤60）；
（2）由初始位置可得：
当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差5000m，
且此时甲气球海拔更高，
∴x+5﹣（12x+15）＝5000，
解得：x＝9960，
∴当这两个气球的海拔高度相差5千米时，上升的时间为9960min．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是结合实际情境分析函数图象．
25．（8分）海中有一小岛A，在它周围10千米内布满了暗礁．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向，航行10千米后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向．如果这艘轮船不改变航向，继续向东航行，请通过计算判断是否存在触礁的危险．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
【分析】点A作AM⊥BC，交BC的延长线于点M，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：点A作AM⊥BC，交BC的延长线于点M，如图，
由题意得，∠CBA＝30°，∠ACM＝45°，
∴∠CAM＝45°，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴CM＝AM，
设CM＝AM＝x海里，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，tan∠ABM=AMBM，
∴AM＝BM•tan∠ABM，即x＝（10+x）•tan30°，
∴x=15+533≈7.88，
∵7.88＜10，
答：渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（9分）如图，点P（7，a）在抛物线上C：y＝4﹣（6﹣x）2，且在抛物线的对称轴右侧．
（1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值；
（2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝﹣（x﹣3）2．直接写出点P′平移的方向和距离．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）抛物线对称轴为：x＝6，最大值为：4，a＝3；
（2）点P′向左平移3个单位，再向下平移4个单位．
【分析】（1）根据抛物线顶点式可直接回答对称轴最大值并求出a值；
（2）对比两个抛物线顶点式，根据“左加右减，上加下减”法则解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣（6﹣x）2+4＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线对称轴为：x＝6，最大值为：4；
∵点P（7，a）在抛物线上C：y＝4﹣（6﹣x）2上，
∴a＝﹣（7﹣6）2+4＝3；
（2）原抛物线y＝﹣（x﹣6）2+4，平移后的抛物线y＝﹣（x﹣3）2．
由平移规律得，抛物线y＝﹣（x﹣3）2是由函数y＝﹣（x﹣6）2+4的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．
∴点P′向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握平移法则是解题的关键．
27．（11分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，点P是AB的中点．动点M沿CB边从点C开始，向点B以每秒1个单位长度的速度运动，当点M到达点B时停止运动，以点C为圆心，CM的长为半径作圆，与AC交于点N，过点N作NQ⊥AB，垂足为点Q．设运动的时间为t秒．
（1）BC＝ 3 ，CP＝ 52 ；
（2）求NQ的长（用含t的代数式表示）；
（3）当⊙C与AB相切时，切点为D，求DN的长（sin37°=35，结果保留π）；
（4）当⊙C与线段PQ有交点时，直接写出t的取值范围和线段NQ所扫过的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；梯形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）BC＝3，CP=52；（2）NQ=12−3t5；（3）t的取值范围为2.5≤t≤3，线段NQ所扫过的面积为0.3．
【分析】（1）利用勾股定理和直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
（3）设⊙C与AB相切于D，连接CD，利用勾股定理和直角三角形的面积公式求得CD，再利用直角三角形的边角关系定理求得圆心角的度数，最后利用弧长公式解答即可；
（4）利用分类讨论的思想方法求得临界值确定t的取值范围，再利用点的轨迹的知识确定出线段NQ所扫过的面积即为梯形N1Q1Q2N2的面积，再利用梯形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC=AB2−AC2=3．
∵点P是AB的中点，
∴CP=12AB=52．
故答案为：BC＝3，CP=52；
（2）由题意得：CN＝CM＝t，
∴AN＝AC﹣CN＝4﹣t，
在Rt△ABC中，
sinA=BCAB=35，
在Rt△AQN中，
∵sinA=NQAN，
∴NQ=AN⋅sinA=12−3t5；
（3）如图所示，设⊙C与AB相切于D，连接CD，
∵⊙C与AB相切，切点为D，
∴CD⊥AB，
∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC=AB2−AC2=3，
∵S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴CM=CD=125，
∵sinA=BCAB=35，sin37°=35，
∴∠A＝37°，
∴∠ACD＝53°，
∴DN的长=53π180×125=5375π；
（3）当⊙C与线段PQ有交点时，t的取值范围为2.5≤t≤3，线段NQ所扫过的面积为0.3．理由：
如图所示，当⊙C恰好经过点P时，连接CP，
∵∠ACB＝90°，AB＝5，点P为AB的中点，
∴CM1=CP=12AB=2.5，
∴t＝2.5，
∴N1Q1=12−3t5=0.9，AN1＝AC﹣CN1＝1.5，
∴AQ1=AN12−A1Q12=1.2；
如图所示，当⊙C恰好经过点B时，
∴CM2＝CB＝3，
∴t＝3，
∵⊙C与线段PQ有交点，
∴所以t的取值范围为：2.5≤t≤3．
∴N2Q2=12−3t5=0.6，AN2＝AC﹣CN2＝1，
∴AQ2=AN22−N2Q22=0.8，
∴Q1Q2＝AQ1﹣AQ2＝0.4，
∵⊙C与线段PQ有交点，
∴线段NQ所扫过的面积即为梯形N1Q1Q2N2的面积，
∴线段NQ所扫过的面积=0.9+0.62×0.4=0.3．
∴线段NQ所扫过的面积为0.3．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，直角三角形的边角关系定理，圆的有关计算，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
B
B
A
A
D